, Конкурс «Презентація до уроку»
Клас: 6
Назад вперед
Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.
Цілі уроку: Мотивація пізнавальної діяльності, що дає можливість учням узагальнювати та систематизувати набуті під час уроку знання на освоєнні інших систем числення, крім звичної десяткової.
Досягнення цієї мети здійснювалося через завданняуроку:
Методи та прийоми
Навчально-методичне оснащення уроку:
Технічні вимоги: Windows або Лінокс; графічний редактор Paint або...; презентація PowerPoint.
Цей урок покликаний:
Передбачається залучення максимальної кількості учнів, як у викладення нового матеріалу, так і в роботу із закріплення його.
Епіграф:"Думка виражати всі числа десятьма знаками, надаючи їм крім значення за формою ще значення за місцем, настільки проста, що саме через цю простоту важко зрозуміти, наскільки вона дивовижна. Як нелегко було прийти до цього методу, ми бачимо на прикладі найбільших геніївгрецької вченості Архімеда та Аполлонія, від яких ця думка залишилася прихованою." П. Лаплас
Хід уроку
I. Організаційний момент(1 хв)
ІІ. Теоретична частина. Перегляд та робота з презентації уроку: «Історія виникнення чисел та систем числення». (20 хв.) ( Презентація)
Вступ(вчитель-слайди 1 і 2 см. ( Презентація)): Сучасна людина в повсякденному життіпостійно стикається з числами та цифрами - вони з нами скрізь. А дві тисячі років тому що знала людина про числа? А п'ять тисяч років тому? Вчені стверджують, що і тоді люди могли записувати числа та виконувати над ними арифметичні дії, але робили вони це зовсім за іншими принципами, ніж робимо це ми. Зараз ми дізнаємося про системи числення, що виникли в давнину, нині зникли, але заклали основи сучасних систем числення.
Система числення – спосіб запису (зображення) чисел.
Найпростіша система числення (СС)(Вчитель):
Адитивна система числення:Введення спеціальних символів для позначення великих чисел - п'яти, десяти і т. д. Розкриття на прикладах нумерації Майя та єгипетського принципу формування чисел у результаті підсумовування всіх знаків.
Висновок(Учні слайд 15 см. ( Презентація)): недолік - великий і не завжди зрозумілий запис, складність при розрахунку.
Алфавітно-адитивна система числення:Для позначення цифр використовуються існуючий алфавіт та титл.
Завдання-2. (7 хв.)Складемо у таблиці використовуючи картки з Рунами зі слов'янської дієслівної алфавіту свій день народження. Перевірка під час виконання завдання. Необхідно роздати таблицю «Мій день народження» (Додаток 1) та картки слов'янського дієслівного алфавіту (Додаток 2). ).
Висновок(учні): за основу взято однакові літери алфавіту.
Висновок (вчителі): Усі розглянуті раніше системи числення були не позиційними
Мультиплікативна система числення:
Висновок(вчителі слайд 30 см. ( Презентація)):
Китайська та індійська системи числення були позиційні.
Бліц опитування класу для аналізу розуміння пройденого матеріалу(3 хв).
За правильні відповіді учнів одержують картки.
ІІІ. Практична частина. (20 хв.)
Практична робота виконується у графічному редакторі. Учням надаються дві заготівлі: єгипетська нумерація, китайська нумерація (див. презентацію).
Роботаскладається з двох завдань:
Завдання.Необхідно використовувати інструменти редагування графічного редактора (копіювання та вставка фрагментів) зібрати дату свого народження.
Вчитель: «Ми зараз будемо виконувати практичну роботу.
Заготівля знаходиться
робочий стіл → папка «КЛАСИ»→ папка «6_а»→ системи_числення.jpg
Збережіть у своїй папці під ім'ям: СС_дата_народження.ipg
Завдання:
Висновок (учнів): Використання Китайської системи числення було незвично, але зручніше, ніж Єгипетської СС, оскільки вона позиційна
VI. Підбиття підсумків. (2 хв.) Виставлення відміток
Вчитель:Дякую кожному учаснику нашого сьогоднішнього уроку. Тільки спільна зацікавлена робота уможливила цю захоплюючу подорож у минуле. За активну участь та правильні відповіді у грі отримують позначки… самостійну роботупісля заповнення таблиці отримують позначки …
V. Домашнє завдання. (2 хв.)
Домашнє завдання задається чи задається за рішенням вчителя.
Приклад домашнього завдання.
Зробити невелике повідомлення
Історія систем числення
Сучасна людина у повсякденному житті постійно стикається з числами: ми запам'ятовуємо номери автобусів та телефонів, у магазині підраховуємо вартість покупок, ведемо свій сімейний бюджет у рублях та копійках тощо. і т.п. Числа, цифри... вони з нами скрізь. А що знала людина про числа кілька тисяч років тому? Питання не просте, але дуже цікаве. Історики довели, що й п'ять тисяч років тому люди могли записувати числа та робити над ними арифметичні дії. Звичайно, принципи запису були зовсім не такі, як зараз. Але в будь-якому випадку число зображувалося за допомогою одного або кількох символів.
Ці символи, що беруть участь у записі числа, в математиці прийнято називати цифрами .
Але що люди розуміють тоді під словом число ?
Спочатку поняття абстрактного числа було відсутнє, число було «прив'язане» до тих конкретних предметів, які перераховували. Абстрактне поняття натурального числа з'являється разом з розвитком писемності.
Сьогодні, на початку XXI століття, для запису чисел людство використовує переважно десяткову систему числення. А що таке система числення?
Система числення - це спосіб запису (зображення) чисел.
Різні системи числення, які існували раніше і використовуються в даний час, поділяються на дві групи: позиційні та непозиційні.
Найбільш досконалими є позиційні системи числення, тобто. системи запису чисел, у яких вклад кожної цифри у величину числа залежить від неї положення (позиції) у послідовності цифр, що зображує число. Наприклад, наша звична десяткова система числення є позиційною: у числі 34 цифра 3 позначається кількість десятків і вносить у величину числа 30, а в числі 304 та ж цифра 3 позначає кількість сотень і вносить в величину числа 300.
Системи числення, в яких кожній цифрі відповідає величина, яка не залежить від її місця в записі числа, називається непозиційними. Прикладом непозиційної системи числення є римська система числення.
Позиційні системи числення – результату тривалого історичного розвиткунепозиційних систем числення.
Поодинока система
Потреба запису чисел з'явилася в дуже давні часи, як тільки люди навчилися рахувати. Кількість предметів, наприклад, мішків, зображувалася нанесенням рисок або засічок на будь-якій твердій поверхні: камені, глині, дереві (до винаходу паперу було ще дуже далеко). Кожному мішку у такому записі відповідала одна рисочка. Археологами знайдено такі «записи» при розкопках культурних верств, що належать до періоду палеоліту (10-11 тисяч років до н.е.).
Вчені назвали такий спосіб запису чисел одиничної («паличної») системою числення. У ньому для запису чисел застосовувався лише одне вид знаків - паличка. Кожне число в такій системі числення позначалося за допомогою рядка, складеного з паличок, кількість яких дорівнювала числу, що позначається.
Незручності такої системи запису чисел та обмеженість її застосування очевидні: чим більша кількістьтреба записати, тим довше рядок з паличок; при записі великої кількості легко помилитися - завдати зайву кількість паличок або, навпаки, не дописати палички.
Можна припустити, що з полегшення рахунки люди почали групувати предмети по 3, 5, 10 штук. І під час запису почали використовувати знаки, відповідні групі із кількох предметів. Так як люди, природним чином, при підрахунку використовували пальці рук, першими з'явилися знаки для позначення груп предметів з 5 і 10 штук (одиниць). І, таким чином, виникли вже більше зручні системизапису чисел.
Давньоєгипетська десяткова непозиційна система
Давньоєгипетська десяткова непозиційна система виникла у другій половині третього тисячоліття до н. Папір замінювала глиняна дошка, і саме тому цифри мають таке зображення.
У давньоєгипетській системі числення використовувалися спеціальні знаки (цифри) для позначення чисел 1, 10, 10 2 , 10 3 , 10 4 , 10 5 10 6 , 10 7 . Числа в єгипетській системі числення записувалися як комбінації цих "цифр", у яких кожна "цифра" повторювалася не більше дев'яти разів.
У основі як паличної, і давньоєгипетської систем числення лежав простий принцип складання, за яким значення числа дорівнює сумі значень цифр, що у його записи.
Наприклад, число 345 стародавні єгиптяни записували так:
Вчені відносять давньоєгипетську систему числення до десяткової непозиційної.
Вавилонська шістдесяткова система
Так само далеко від наших днів, за дві тисячі років до н.е., в іншій великій цивілізації – вавилонській – люди записували цифри по-іншому.
Числа в цій системі числення складалися із знаків двох видів: прямий клин служив для позначення одиниць та лежачий клин – для позначення десятків. Клини й служили «цифрами» у цій системі. Число 60 знову позначалося тим самим знаком (прямий клин), що й 1. Цим же знаком позначалися числа 3600 = 60 2 , 216000 = 60 3 і всі інші ступеня 60. Тому вавилонська система числення отримала назву шестидесятирічної.
Для визначення значення числа треба було зображення числа розбити праворуч наліво. Чергування груп однакових знаків («цифр») відповідало чергуванню розрядів: (Цей запис відповідає числу 132 = 2 * 60 + 12).
Значення числа визначали за значеннями складових його "цифр", але з урахуванням того, що "цифри" в кожному наступному розряді означали в 60 разів більше тих же "цифр" у попередньому розряді.
Число 92 = 60 + 32 записували так: , а число 444 = 7 * 60 + 24 у цій системі запису чисел мало вигляд: .
Запис числа у вавилонян був неоднозначним, т.к. немає цифри для позначення нуля. Запис числа 92, наведений вище, міг позначати не тільки 92 = 60 + 32, але і, наприклад, 3632 = 3600 + 32 = 60 2 + 32. Для визначення абсолютного значення числа були потрібні додаткові відомості. Згодом вавилоняни ввели спеціальний символ для позначення пропущеного шестидесяткового розряду - , що відповідає появі цифри 0 у записі десяткового числа.
Число 3632 тепер потрібно було записувати так: .
Але в кінці числа цей символ зазвичай не ставився, тобто цей символ не був банкрутом у нашому розумінні. Таблицю множення вавилоняни ніколи не запам'ятовували, оскільки це практично неможливо. При обчислення вони користувалися готовими таблицями множення.
Шістдесяткова вавілонська система - перша відома нам система числення, заснована на позиційному принципі.
Система вавилонян зіграла велику роль у розвитку математики та астрономії, її сліди збереглися до наших днів. Так, ми й досі ділимо годину на 60 хвилин, а хвилину на 60 секунд.
Так само, наслідуючи приклад вавилонян, коло ми ділимо і 360 частин (градусів).
Римська система числення
Знайома нам римська система числення принципово відрізняється від єгипетської. Але вона більш поширена у наші дні: у книгах, у фільмах.
У ній для позначення чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 і 1000 використовуються великі латинські літери I, V, X, L, З, D і M (відповідно), що є «цифрами» цієї системи числення.
Число в римській системі числення позначається набором «цифр», що стоять поспіль. Значення числа дорівнює:
1) сумі значень кількох однакових «цифр», що йдуть поспіль (назвемо їх групою першого виду);
2) різниці значень двох «цифр», якщо ліворуч від більшої «цифри» стоїть менша. У цьому випадку від значення більшої цифри віднімається значення меншої цифри. Разом вони утворюють групу другого виду. Зауважимо, що ліва «цифра» може бути меншою за праву максимум на один порядок: так перед L(50) і С(100) з «молодших» може стояти тільки Х(10), перед D(500) і М(1000) - тільки З(100), перед V(5) - лише I(1);
3) сумі значень груп та «цифр», які не увійшли до груп першого або другого виду.
Наприклад, число 32 у римській системі числення має вигляд
XXXII = (X + Х + X) + (I + I) = 30 + 2 (дві групи першого виду).
Число 444, що має у десятковому записі 3 однакові цифри, У римській системі числення буде записано у вигляді СDХLIV = (D - С) + (L - X) + (V - I) = 400 +40 +4 (три групи другого виду).
Число 1974 римської системі числення має вигляд МСМLХХIV = М + (М - С) + L + (X + X) +
(V - I) = 1000 + 900 +50+20+4 (поряд із групами обох видів у формуванні числа беруть участь окремі «цифри»).
Алфавітні системи
Найдосконалішими непозиційними системами числення були алфавітні системи. До таких систем числення належали слов'янська, іонійська (грецька), фінікійська та інші. Вони числа від 1 до 9, цілі кількості десятків (від 10 до 90) і цілі кількості сотень (від 100 до 900) позначалися літерами алфавіту. Алфавітна система була прийнята і в Стародавній Русі.
Ч 
ісла від 1 до 10 записували так:
Над літерами, що позначали числа, ставився спеціальний знак. - титло. Це робилося для того, щоб відрізнити числа від звичайних слів:
Цікаво, що числа від 11 (один – на десять) до 19 (дев'ять – на десять) записували так само, як говорили, тобто «цифру» одиниць ставили до «цифри» десятків.
Якщо число не мало десятків, то «цифру» десятків не писали. Чи потрібні алфавітні системи?
Ми бачимо, що запис вийшов не довшим за наш десятковий. Це тим, що у алфавітних системах використовувалося, по крайнього заходу, 27 «цифр». Але ці системи були зручними лише для запису чисел до 1000.
Щоправда, слов'яни, як і греки, вміли записувати числа та більші 1000. Для цього до алфавітної системи додавали нові позначення. Приміром, числа 1000, 2000, 3000... записували тими самими «цифрами», як і 1, 2; 3... тільки перед «цифрою» ставили ліворуч знизу спеціальний знак ≠.
Число 10000 позначалося тією ж літерою, що й 1, тільки без титлу, її обводили кружком. Називалося це число «темрявою». Звідси й походить вислів «темрява народу».
Таким чином, для позначення «тем» ( множинавід слова темрява) перші 9 «цифр» обводилися гуртками.
10 тем, чи 100 000, було одиницею вищого розряду. Її називали "легіон". 10 легіонів складали "леорд". Найбільша з величин, що мають своє позначення, називалася «колода», вона дорівнювала 1050. Вважалося, що «більше немає людського розуму розумевати».
Такий спосіб запису чисел, як і алфавітної системі, можна як зачатки позиційної системи, оскільки у ньому позначення одиниць різних розрядів застосовувалися одні й самі символи, яких лише додавалися спеціальні знаки визначення значення розряду.
Алфавітні системи числення мало придатні для оперування з великими числами. У результаті розвитку людського суспільства ці системи поступилися місцем позиційним системам.
Індійська мультиплікативна система
Системи числення, засновані на позиційному принципі, виникли незалежно одна від одної у стародавньому Межиріччя (Вавилон), у племені Майя і, нарешті, в Індії. Усе це свідчить, що виникнення позиційного принципу був випадковістю.
Які ж були передумови щодо його створення? Що привело людей до цього чудового відкриття?
Щоб відповісти на ці питання, ми знову звернемося до Історії про древній Китай, Індію та в деяких інших країнах існували системи запису, побудовані на мультиплікативному принципі.
Наступним щаблем до позиційного принципу було опускання назв розрядів при листі подібно до того, як ми говоримо «три двадцять», а не «три рублі двадцять копійок». Але при записі чисел за такою системою дуже часто був потрібен символ позначення відсутнього розряду.
Нехай, наприклад, десятки позначаються символом X, а сотні – у. Тоді запис числа 323 схематично виглядатиме так: ЗУ 2Х3.
У таких системах для запису однакового числа одиниць, десятків, сотень або тисяч застосовуються ті самі символи, але після кожного символу пишеться назва відповідного розряду. З використанням введених позначень число 100 можна записати як 1У.
Трохи пізніше перестали писати назви розрядів, і це стало наступним щаблем до позиційного принципу (подібно до того, як ми пишемо «320», а не «3 сотні, 2 десятки»). Але при записі чисел за такою системою дуже часто був потрібен символ позначення відсутнього розряду.
Поява нуля
Сучасна десяткова система числення виникла Індії приблизно у V столітті н.е. Виникнення цієї системи стало можливим після найбільшого винаходу цифри 0 для позначення відсутньої величини.
Як же з'явився нуль?
Згадаймо, що вавилоняни вживали спеціальний символ для позначення нульового значення розряду. Приблизно вIIвіці до н.е. з астрономічними спостереженнями вавилонян познайомилися грецькі вчені. Разом з їх обчислювальними таблицями вони перейняли і вавилонську систему числення, але числа від 1 до 59 записували не за допомогою клинів, а в своїй алфавітній нумерації. Але найпрекраснішим було те, що для позначення нульового значення розряду грецькі астрономи почали використовувати символПро (за першою літерою грецького алфавіту слова O - ніщо ). Цей знак, мабуть, і був прообразом сучасного нуля.
Десяткова система числення
Індійці познайомилися з грецькою астрономією між ІІ та VI ст. н.е., перейнявши загальнотеоретичні положення цієї науки та багато грецьких термінів. У цей час в Індії вже використовувалась мультиплікативна система числення. За твердженням істориків, приблизно в цей час там познайомилися і з вавилонською системою числення, і з круглим грелем. Поєднавши свою десяткову мультиплікативну систему з принципами нумерації числа грецьких астрономів, індійські вчені зробили завершальний крок у створенні відомої десяткової системи числення.
У сучасній десятковій системі числення, що є позиційною, використовується 10 арабських цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Чому ми називаємо наші цифри арабськими? Справа в тому, що з десятковою системою числення, що виникла в Індії, першими познайомилися араби. Вони гідно її оцінили і почали використовувати при підрахунках у торгових операціях. Саме араби завезли цю систему числення до Європи. І з початку XII століття десяткова система набула поширення у всій Європі під назвою арабської.
Будучи простіше і зручніше за інші системи, вона досить швидко витіснила всі інші способи запису чисел. Ось з того часу цифри, що використовуються для запису чисел у десятковій системі числення, і називають арабськими.
У цьому таблиці показано поступове видозміна цифр, використовуваних арабами.
Вчитель інформатики
МКОУ «Калтуцька ЗОШ»
Перших Євгенія Іванівна
додавання
зберігання
процесор
векторний
передача
Історія розвитку систем числення. Непозиційні та позиційні системи числення.
Рахунок виник тоді, коли людині потрібно було інформувати своїх родичів про кількість виявлених їм предметів.
Спочатку люди просто розрізняли один предмет перед ними чи ні. Якщо предмет не один, то говорили «багато».
Найпростішим інструментом рахунку були пальці на руках людини
Одна з таких систем рахунку згодом і стала загальновживаною – десяткова.
У давнину люди ходили босоніж. Тому вони могли користуватися для рахунку пальцями як рук, так і ніг. Таким чином вони могли, здавалося б, рахувати лише до двадцяти.
Але за допомогою цієї «босоногої машини» люди могли досягати значно більших чисел.
1 людина – це 20,
2 особи - це двічі по 20 і т.д.
Запам'ятати великі числа було важко, тому до «лічильної машини» рук та ніг додавали механічні пристрої.
Способів рахунку було винайдено чимало: У різних місцях вигадувалися різні способипередачі чисельної інформації:
Наприклад, перуанці вживали для запам'ятовування чисел різнокольорові шнури із зав'язаними ними вузлами.
Для запам'ятовування чисел використовувалися камінці, зерна, черепашки тощо.
Археологами знайдено такі "записи" при розкопках культурних верств, що належать до періоду палеоліту (10 - 11 тис. років до н.е.)
Цей спосіб запису чисел називають
одиничною
("паличної", "унарної")
системою числення
Будь-яке число в ній утворюється
повторенням одного знака – одиниці.
За курсами навчання курсантів
5 курс 4 курс 3 курс 2 курс 1 курс
Відлуння одиничної системи числення зустрічаються і сьогодні. Так, щоб дізнатися, на якому курсі навчається курсант військового училища, потрібно порахувати, скільки смужок нашито на його рукаві. Самі того не усвідомлюючи, одиничною системою числення користуються діти, показуючи на пальцях свій вік, а лічильні палички використовуються для навчання учнів 1-го класу рахунку.
Система зчислення– це знакова система, у якій прийнято певні правила запису чисел. Знаки, за допомогою яких записують числа, називаються цифрами, А їхня сукупність - алфавітом системи числення.
Системи числення
Позиційні
Непозиційні
Непозиційні системи числення: Непозиційна с. – це система числення, у якій значення цифри залежить від її позиції запису числа. Єгипетська нумерація10000 100000 1000000 10000000
Виникла 5000 років тому
Непозиційні системи числення:Давньогрецька нумерація Римська система численняДо нас дійшла римська система числення. Її ми, як і раніше, використовуємо для позначення розділів, століть:Цифри записуються зліва направо у порядку спадання. Їх значення складаються. Якщо зліва стоїть менша цифра, а справа – більша, то їх значення віднімаються
Завдання 1. Переведіть числа з римської системи числення до десяткової системи числення:
LXXVI=50+10+10+5+1=76
XLIX = (50-10) + (10-1) = 49
Завдання 2. Запишіть десяткові числа у римській системі числення:
463=500-100+50+10+5-2=CDLXIIV
Непозиційні системи числення мають низку істотних недоліків:Позиційна с. - Це система числення, в якій значення цифри залежить від її позиції в записі числа.
Наприклад, Змінюючи позицію цифри 2 в десятковій системі числення, можна записати різні за величиною десяткові числа: 2; 20; 200; 2000 і т.д.
Підстава системи числення– кількість (p) різних символів, які використовуються для зображення числа у позиційній системі числення. Основа системи дорівнює кількості цифр у її алфавіті.
Основні переваги будь-якої позиційної системи числення:Назвіть основу кожної системи числення
Алфавіт системи числення– це набір символів, що використовується для позначення цифр у даній системі числення Алфавіт системи числення– це набір символів, що використовується для позначення цифр у даній системі числення. Алфавіт систем числення складається з цифр від 0 до р-1, де р – основа системи числення. Виходячи з цього заповнимо таблицю0,1,2,3,4.5,6,7,8,9
0,1,2,3,4.5,6,7,8,9,10(A),11(B),12(C),13(D),14(E),15(F)
Назвіть алфавіт кожної системи числення
Будь-яке дійсне число можна записати в будь-якій позиційній системі числення у вигляді суми позитивних та негативних
ступенів числа р (основа системи числення)
Розгорнута форма числа
76510=700+60+5=7*100+6*10+5*1=7*102 +6*101 +5*100
76,5410=7*10+6*1+5*0,1+4*0,01=7*101+6*100+5*10-1+4*10-2
Первинне осмислення та закріплення вивченого
1. Що таке системи числення?
2. Непозиційні системи числення – це…
3. Позиційні системи числення – це…
4. Що таке основу системи числення?
5. Що означає розгорнута форма числа?
Запишіть у розгорнутій формі числа
1 *102+2*101+3*100+4*10-1+5*10-2
5 4 3 2 1 0 -1 -2
1 *25+1*24+1*23+0*22+1*21+1*20+1*2-1+1*2-2
3 *83+4*82+5*81+6*80+6*8-1
3 *162+10*161+15*160+1*16-1+5*16-2
4 *102+8*101+5*100+2*10-1+3*10-2
4 3 2 1 0 -1 -2 -3
1 *24+1*23+0*22+1*21+1*20 +1*2-1+0*2-2+1*2-3
Домашнє завдання:
Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com
ІСТОРІЯ систем числення
Числа не керують світом, але показують, як керується світ. Йоганн Гете
Так говорили піфагорійці, наголошуючи на надзвичайно важливій ролі чисел у практичній діяльності. «Усе є число» Сучасна людина щодня запам'ятовує номери машин та телефонів, у магазині підраховує вартість покупок, веде сімейний бюджет.
Числа... вони з нами скрізь і завжди. Але в будь-якому випадку число зображувалася за допомогою одного або декількох символів - цифр. Люди завжди рахували та записували числа, навіть п'ять тисяч років тому. Але записували вони їх зовсім по-іншому, за іншими правилами.
Цифри - це символи, що становлять певний алфавіт. Що таке тоді число? Число - це деяка величина, що складається з цифр, складених за певними правилами. На різних етапах розвитку людства, у різних народівці правила були різні і сьогодні ми називаємо їх системами числення.
Система числення - це знакова система, де всі числа записуються за певними правилами з допомогою символів деякого алфавіту, званих цифрами. Непозиційні Позиційні
Отже, розглянемо різні непозиційні системи числення. Непозиційні системи числення виникли раніше за позиційні.
Спочатку люди просто розрізняли ОДИН предмет перед ними чи ні. Якщо предмет був не один, то говорили «БАГАТО»
Першими поняттями математики були "менше", "більше", "стільки ж". >
Достатньо було покласти поруч із кожною рибою по ножу, щоб обмін між племенами відбувся. Якщо одне плем'я міняло пійманих риб на зроблені людьми іншого племені кам'яні ножі, не треба було рахувати, скільки принесли риб і скільки ножів.
Рахунок виник тоді, коли людині знадобилося повідомляти своїм одноплемінникам про кількість знайдених їм предметів. І, оскільки багато народів у давнину не спілкувалися один одним, то у різних народів виникли різні системи числення та уявлення чисел і цифр.
Численні імена в багатьох мовах вказують, що у первісної людини знаряддям рахунку були переважно пальці. Пальці виявилися чудовою обчислювальною машиною.
Проте відомі народи, у яких одиницями рахунку були пальці, які суглоби. Тому вони могли користуватися для рахунку пальцями як рук, так і ніг. У давнину люди ходили босоніж. Досі існують у Полінезії племена, що використовують із 20-у систему числення.
Наприклад, на найбільшій світовій хлібній біржі в Чикаго пропозиції та запити, як і ціни оголошуються маклерами на пальцях без жодного слова. Пальцевий рахунок зберігся подекуди й досі
З'явилася потреба у записі чисел. Запам'ятати великі числа було важко, тому до «лічильної машини» рук та ніг стали додавати різні пристрої. Кількість предметів зображувалася нанесенням рисок або засічок на будь-якій твердій поверхні: камені, глині.
Поодинока («палична») періоду палеоліту 10-11 тисяч років до н.е. або археологами знайдені такі "записи" при розкопках культурних шарів, що належать до будь-якого числа в ній утворюється повторенням одного знака - одиниці.
Чим більше зерна збирали люди зі своїх полів, чим численнішими ставали їхні стада, тим більші числа ставали їм потрібні. Одиничний запис для таких чисел був громіздким і незручним, тому люди почали шукати компактніші способи позначати великі числа.
2,5 тисячі років до н.е. Давньоєгипетська десяткова = 2342
Число Символ Позначення 1 Як і більшість людей для невеликої кількості предметів Єгиптяни використовували палички. 10 Такими путами єгиптяни пов'язували корів 100 Це мірна мотузка, якою вимірювали земельні ділянки після розливу Нілу. 1 000 Квітучий лотос 10 000 "У великих числах будь уважний!" - каже піднятий вгору вказівний палець. 100 000 Звичайний жабенячий пуголовок 1 000 000 Число фараонів. Побачивши таке число, звичайна людина дуже здивується та піднесе руки до неба. 10 000 000 Єгиптяни поклонялися Амону Ра, богу Сонця, і, напевно, тому найбільше своє число вони зобразили у вигляді сонця, що сходить
Яке давньоєгипетське число записано? 5 3 8 6 4 2 1
З операціями складання та віднімання люди мали справу задовго до того, як числа отримали імена. Коли кілька груп збирачів коріння або рибалок складали в одне місце свій видобуток, вони виконували операцію. Коли люди почали сіяти хліб і побачили, що зібраний урожайу кілька разів більше, ніж кількість посіяного насіння, тоді воно познайомилося з операцією Коли видобуте м'ясо тварин або зібрані горіхи ділили порівну між усіма "ротами", виконувалася операція А операція віднімання? складання множення поділу
Множення та поділ єгиптяни проводили шляхом послідовного подвоєння чисел. Як же єгиптяни рахували?
приклад. 19 * 31 31 62 124 248 496 і складали числа, що стоять у зазначених рядках праворуч (31 + 62 + 496 = 589). Потім відзначали вертикальними рисками рядки лівого стовпця, з яких можна було скласти множник (19 = 1 + 2 + 16).
Єгипетські дроби завжди мали в чисельнику одиницю (виняток становило 2/3). Дробини записувалися як натуральні числа, тільки над ними ставилася точка. Виняток: спеціальні знаки були для 1/2 та для 2/3
Римська десяткова I, V, Х, L, C, D, M Число в римській системі числення позначається набором «цифр», що стоять поспіль. тисячі років до н. і до наших днів
У римській системі для позначення чисел використовуються знаки: I (один палець) для числа 1, V (розкрита долоня) для числа 5, X (дві складені долоні) для 10, а для інших чисел використовуються великі латинські літери відповідних латинських слів 50 - L , 100 - З entum, 500 - D emimille, 1000 - M ille, що є «цифрами».
444 400 40 4 Приклад. Записати число 444 у римській системі. (D – C) (L – X) (V – I) CDXLIV
444 CDXLIV УВАГА! Усі цифри числа у десятковій системі однакові, а римській – різні.
1986 Зразок. Записати число 1986 римської системи. 9 00 80 6 10 00 MCMLXX X VI M (M - C) (V + I) (L + X + X + X)
Алфавітні системи числення
Греки застосовували кілька способів запису чисел. Афіняни для позначення чисел користувалися першими літерами слів-числових: Грецька (іонійська) Наприклад, I, II, III, IIII - 1, 2, 3, 4 IIII – 10+10+10+4 = 34 Г Г п'ять десять Н сто X тисяча М десять тисяч
Великий грецький математик Діофант Олександрійський записував дроби приблизно так, як прийнято зараз: чисельник над знаменником, без межі. Це був один із способів запису дробів у Стародавній Греції.
За старих часів на Русі широко застосовувалися системи числення, що нагадують систему Стародавнього Єгипту. З їх допомогою збирачі податків заповнювали квитанції про сплату податки (ясака) та робили записи у податковому зошиті. Зірка – тисяча карбованців Колесо – сто карбованців Квадрат – десять карбованців Х - карбованець | - Копійку. Стародавня Русь 1232 руб. 24 коп.
У IX столітті ченцями братами Кирилом і Мефодієм Ця форма запису чисел набула великого поширення у зв'язку з тим, що мала повну схожість із грецьким записом чисел. було створено нову нумерацію разом із слов'янською алфавітною системою для перекладу священних біблійних книг.
Ми бачимо, що запис вийшов не довшим за наш десятковий. Це тим, що у алфавітних системах використовувалося, по крайнього заходу, 27 «цифр». приклад. Запишемо число 444 у слов'янській системі.
Ця форма запису чисел була офіційною на території сучасної Росії, Білорусії, України, Болгарії, Угорщини, Сербії та Хорватії до реформи Петра I (до кінця XVII століття). Але досі православні церковні книги використовують цю нумерацію.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 - титло "Аз" "Веді" "Дієслово" "Добро" "Є" "Зело" "Земля" "Іже" "Фіта" "І"
Число Зображення Позначення 1000 Тисяча 10 000 Темрява 100 000 Легіон 1 000 000 Леодр 10 000 000 Ворон 100 000 000 Колода
Щоправда, слов'яни, як і греки, вміли записувати числа та більше 1000. Для цього до алфавітної системи додавали нові позначення. Приміром, числа 1000, 2000, 3000. записували тими самими «цифрами», як і 1, 2, 3..., лише перед «цифрою» ставили ліворуч знизу спеціальний знак. Алфавітні системи зручні лише для запису чисел до 1000. Чи зручні алфавітні системи?
Такий спосіб запису чисел, як і алфавітної системі, можна як зачатки позиційної системи, оскільки у ньому позначення одиниць різних розрядів застосовувалися одні й самі символи, яких лише додавалися спеціальні знаки визначення значення розряду. Алфавітні системи числення мало придатні для оперування з великими числами. У результаті розвитку людського суспільства ці системи поступилися місцем позиційним системам.
Непозиційною системою числення - називається така система числення, яка має кількісний еквівалент («вага») цифри залежить від її розташування у записі числа.
Недоліки непозиційної системи числення 1. Існує постійна потреба запровадження нових знаків для запису великих чисел. 2. Неможливо представляти дробові та негативні числа. 3. Важко виконувати арифметичні операції, оскільки немає алгоритмів їх виконання.
Далі розглянемо позиційні системи числення. Але ми досі користуємося елементами непозиційної системи числення у повсякденному мовленні, зокрема, ми говоримо сто, а не десять десятків, тисяча, мільйон, мільярд, трильйон.
Позиційною системою числення - називається така система числення, яка має кількісний еквівалент («вага») цифри залежить від її розташування в записі числа. Розглянемо два числа 52 та 25 . Цифри одні й самі – 5 і 2, а чим ці числа відрізняються? Позицією цифри в числі.
Будь-яка позиційна система числення характеризується своєю основою. Основа позиційної системи числення - кількість різних цифр, використовуваних зображення чисел у цій системі числення. За основу можна прийняти будь-яке натуральне число - два, три, чотири, ..., утворивши нову позиційну систему: двійкову, трійкову, четвіркову та.. .
2 тисячі років до н. Вавилонська шістдесяткова - одиниці - десятки цифри: і - 60; 60 2; 60 3; …; 60 n 2-й розряд 1-ий розряд = 60 + 20 + 2 = 82 = 33
І до наших днів збереглися сліди рахунку шістьма десятками. Окружність ділять на 360 0 , тобто 6 * 60 градусів, градус – на 60 хвилин, а хвилину – на 60 секунд. 1 0 360 0 0 Досі ми ділимо годину на 60 хвилин, а хвилину на 60 секунд.
Арабський вчений математик (з міста Хорезма на річці Аму-Дар'я). Мухаммед бен Муса ал-Хорезм в 850 році н.е. він написав книгу про загальні правила вирішення арифметичних завдань за допомогою рівнянь. Вона називалася "Кітаб ал-Джебр". Ця книга дала ім'я науці алгебри.
Індійські вчені зробили одне з найважливіших у математиці відкриттів – винайшли позиційну систему числення, якою тепер користується весь світ. Через триста років (1120 р.) цю книгу переклали латинською мовою, і вона стала першим підручником "індійської" арифметики для всіх європейських міст. Ал-Хорезмі докладно описав індійську арифметику у своїй книзі.
10 у звичної десяткової системи числення (десять пальців на руках). Алфавіт: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. 60 придумано в Стародавньому Вавилоні: розподіл години на 60 хвилин, хвилини - на 60 секунд, кута - на 360 градусів. 12 поширили англосакси: у році 12 місяців, на добу два періоди по 12 годин, у футі 12 дюймів. 7 використовується для рахунку днів тижня Основи, що використовуються в наші дні
1. Що таке система числення? 2. Навести приклади позиційних та непозиційних систем числення. 3. А. С. Пушкін народився в MDCCXCIX році? 4.Що така основа системи числення? 5. Система числення з якою основою була найпершою? 6. У якій країні вперше почали використовувати спеціальні позначення для 100,1000,1000000? 7. Перерахуйте недоліки непозиційних систем числення. ПИТАННЯ ДЛЯ ЗАКРІПЛЕННЯ:
1. Які числа записані за допомогою римських цифр: МС I Х, L Х V? 2. Запишіть рік свого народження: А) у давньоєгипетській системі числення; Б) у римській системі числення; В) у давньослов'янській системі числення. Домашнє завдання.
Слайд 10
Потреба запису чисел з'явилася в дуже давні часи, як тільки люди почали рахувати. Кількість предметів, наприклад овець, зображувалася нанесенням рисок або засічок на будь-якій твердій поверхні: камені, глині, дереві (до винаходу паперу було ще дуже і дуже далеко). Кожній вівці у такому записі відповідала одна рисочка. Археологами знайдено такі " записи " при розкопках культурних верств, які стосуються періоду палеоліту (10 - 11 тисяч років до н.е.).
У цій системі числення для запису чисел використовується лише одна цифра. Її можна зобразити у вигляді палички, кружечка або будь-якої іншої фігури.
Така система числення використовувалася, і досі використовується переважно народами, які мають писемності.
Вчені назвали цей спосіб запису чисел одиничною ("паличною") системою числення. У ньому для запису чисел застосовувався лише одне вид знаків - " паличка " . Кожне число в такій системі числення позначалося за допомогою рядка, складеного з паличок, кількість яких і дорівнювала числу, що позначається.
Незручності такої системи запису чисел і обмеженість її застосування очевидні: чим більше треба записати, тим довше рядок з паличок. Та й при записі великої кількості легко помилитися, завдавши зайвої кількості паличок або, навпаки, не дописавши їх.
Унарна – одна цифра означає одиницю (1 день, 1 камінь, 1 баран, …)
