Важливий приклад діофантового рівняння дає теорема Піфагора, що зв'язує довжини x та y катетів прямокутного трикутника з довжиною його гіпотенузи:
Ви, звичайно, зустрічали одне із чудових рішень цього рівняння в натуральних числах, а саме піфагорову трійку чисел x = 3, y = 4, z = 5.Чи є такі трійки?
Виявляється піфагорових трійок дуже багато і всі вони давно знайдені. Вони можуть бути отримані за відомими формулами, про які ви дізнаєтесь із цього параграфу.
Якщо діофантові рівняння першого і другого ступеня вже вирішені, то питання вирішення рівнянь вищих ступенів досі залишається відкритим, незважаючи на зусилля найбільших математиків. В даний час, наприклад, ще остаточно не доведено і не спростовано знамениту гіпотезу Ферма про те, що за будь-якого цілого значення n2рівняння
у цілих числах немає рішень.
Для вирішення деяких типів діофантових рівнянь корисну роль можуть відіграти так звані комплексні числа.Що це таке? Нехай літерою i позначено якийсь об'єкт, який задовольняє умову i 2 = -1(зрозуміло, що жодна дійсна кількість цієї умови не задовольняє). Розглянемо вирази виду α + iβ,де α та β - дійсні числа. Такі вирази будемо називати комплексними числами, визначивши над ними операції складання та множення, як і над двочленами, але з тією лише різницею, що вираз i 2всюди замінюватимемо числом -1:
7.1. З однієї трійки багато
Доведіть, що якщо x 0 , y 0 , z 0- Піфагорова трійка, то трійки y 0 x 0 z 0і x 0 k, y 0 k, z 0 kпри будь-якому значенні натурального параметра також є піфагоровими.
7.2. Приватні формули
Перевірте, що за будь-яких натуральних значень m>nтрійка виду
є піфагорової. Чи всяку піфагорову трійку x, y, zможна уявити у такому вигляді, якщо дозволити переставляти місцями числа x та y у трійці?
7.3. Нескоротні трійки
Піфагорову трійку чисел, які мають спільного дільника, більшого 1, називатимемо нескоротною. Доведіть, що піфагорова трійка є нескоротною лише у випадку, якщо будь-які два з чисел трійки є взаємно простими.
7.4. Властивість нескоротних трійок
Доведіть, що в будь-якій нескоротній піфагоровій трійці x, y, z число z і одне з чисел x або y є непарними.
7.5. Усі нескоротні трійки
Доведіть, що трійка чисел x, y, z є нескоротною піфагоровою трійкою тоді і лише тоді, коли вона з точністю до порядку перших двох чисел збігається з трійкою 2mn, m 2 - n 2 , m 2 + n 2де m>n- Взаємно прості натуральні числа різної парності.
7.6. Загальні формули
Доведіть, що всі рішення рівняння
у натуральних числах задаються з точністю до порядку невідомих x та y формулами
де m>n і k - натуральні параметри (щоб виключити дублювання будь-яких трійок, досить вибирати числа тип взаємно простими і ще різної парності).
7.7. Перші 10 трійок
Знайдіть усі піфагорові трійки x, y, z,що задовольняють умові x
7.8. Властивості піфагорових трійок
Доведіть, що для будь-якої піфагорової трійки x, y, zсправедливі твердження:
а) хоча б одне із чисел x або y кратно 3;
б) хоча б одне із чисел x або y кратно 4;
в) хоча б одне із чисел x, y або z кратно 5.
7.9. Застосування комплексних чисел
Модулем комплексного числа α + iβназивається невід'ємне число
Перевірте, що для будь-яких комплексних чисел α + iβі γ + iδвиконується властивість
Користуючись властивостями комплексних чисел та їх модулів, доведіть, що будь-які два цілих числа m і n задовольняють рівності
тобто задають рішення рівняння
цілих числах (порівняйте із завданням 7.5).
7.10. Непіфагорові трійки
Користуючись властивостями комплексних чисел та їх модулів (див. задачу 7.9), знайдіть формули для будь-яких цілих рішень рівняння:
а) x 2 + y 2 = z 3; б) x 2 + y 2 = z4.
7.1. Якщо x 0 2 + y 0 2 = z 0 2то y 0 2 + x 0 2 = z 0 2і за будь-якого натурального значення k маємо
що й потрібно було довести.
7.2. З рівностей
укладаємо, що вказана в задачі трійка задовольняє рівняння x 2 + y 2 = z 2у натуральних числах. Однак не всяку піфагорову трійку x, y, zможна уявити у такому вигляді; наприклад, трійка 9, 12, 15 є піфагорової, але число 15 не є у вигляді суми квадратів будь-яких двох натуральних чисел m і n.
7.3. Якщо якісь два числа з піфагорової трійки x, y, zмають спільний дільник d, то він буде дільником і третього числа (так, у разі x = x 1 d, y = y 1 dмаємо z 2 = x 2 + y 2 = (x 1 2 + y 1 2)d 2звідки z 2 поділяється на d 2 і z поділяється на d). Тому для нескоротності піфагорової трійки необхідно, щоб будь-які два з чисел трійки були взаємно простими,
7.4. Зауважимо, що одне з чисел x чи y, скажімо x, нескоротної піфагорової трійки x, y, zє непарним, оскільки інакше числа x і y були б взаємно простими (див. завдання 7.3). Якщо при цьому інше число y також непарне, то обидва числа
дають залишок 1 при розподілі на 4 а число z 2 = x 2 + y 2дає при розподілі на 4 залишок 2, тобто. воно ділиться на 2, але не ділиться на 4, чого не може бути. Таким чином, число y має бути парним, а число z, отже, непарним.
7.5. Нехай піфагорова трійка x, y, zнескоротна і для визначеності число x парне, а числа y, z непарні (див. задачу 7.4). Тоді
де числа 
є цілими. Доведемо, що числа а та b взаємно прості. Справді, якби вони мали спільний дільник, більший за 1, то такий самий дільник мали б і числа z = a + b, y = a - b,тобто трійка не була б нескоротною (див. задачу 7.3). Тепер, розкладаючи числа а і b у твори простих множників, зауважуємо, що будь-який простий множник повинен входити до твір 4ab = x 2тільки парною мірою, причому якщо він входить у розкладання числа а, то не входить у розкладання числа b і навпаки. Тому будь-який простий множник входить у розкладання числа а чи b окремо лише парною мірою, отже, самі ці числа є квадратами цілих чисел. Покладемо 
тоді отримаємо рівності
причому натуральні параметри m>n взаємно прості (внаслідок взаємної простоти чисел а і b) і мають різну парність (через непарність числа z = m 2 + n 2).
Нехай тепер натуральні числа m>n різної парності є взаємно простими. Тоді трійка х = 2mn, y = m2 - n2, z = m2 + n2, згідно з твердженням задачі 7.2, є піфагоровою. Доведемо, що вона є нескоротною. Для цього достатньо перевірити, що числа y та z не мають спільних дільників (див. задачу 7.3). Насправді, обидва ці числа непарні, тому що числа тип мають різну парність. Якщо ж числа y і z мають якийсь простий спільний дільник (тоді вже обов'язково непарний), то такий же дільник має і кожне з чисел і з ними і кожне з чисел m і n, що суперечить їх взаємній простоті.
7.6. У силу тверджень, сформульованих у задачах 7.1, 7.2, зазначені формули задають тільки піфагорові трійки. З іншого боку, будь-яка піфагорова трійка x, y, zпісля її скорочення на найбільший загальний дільник k пари чисел x та y стає нескоротною (див. задачу 7.3) і, отже, може бути представлена з точністю до порядку чисел x та y у вигляді, описаному у задачі 7.5. Тому будь-яка піфагорова трійка визначається зазначеними формулами при деяких значеннях параметрів.
7.7. З нерівності z та формул задачі 7.6 отримуємо оцінку m 2 тобто. m≤5. Вважаючи m = 2, n = 1і k = 1, 2, 3, 4, 5,отримуємо трійки 3, 4, 5; 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12,16,20; 15, 20, 25. Вважаючи m = 3, n = 2і k = 1, 2,отримуємо трійки 5, 12, 13; 10, 24, 26. Вважаючи m = 4, n = 1, 3і k = 1,отримуємо трійки 8, 15, 17; 7, 24, 25. Нарешті, вважаючи m = 5, n = 2і k = 1,отримуємо трійку 20, 21, 29.
Черв'як Віталій
Конкурс наукових проектів школярів
В рамках крайової науково-практичної конференції «Евріка»
Малої академії наук учнів Кубані
Дослідження піфагорових чисел
Секція математики.
Черв'як Віталій Геннадійович, 9 клас
МОБУ ЗОШ №14
Коренівський район
Ст. Журавська
Науковий керівник:
Манько Галина Василівна
Вчитель математики
МОБУ ЗОШ №14
Коренівськ 2011 р
Черв'як Віталій Геннадійович
Піфагорові числа
Анотація.
Тема дослідження:Піфагорові числа
Цілі дослідження:
Завдання дослідження:
Методи дослідження:
Висновок:
Черв'як Віталій Геннадійович
Краснодарський край, станиця Журавська, МОБУ ЗОШ №14, 9 клас
Піфагорові числа
Науковий керівник: Манько Галина Василівна, учитель математики МОБУ ЗОШ №14
2.1 Історична сторінка……………………………………………………4
2.2 Доказ парності та непарності катетів……….............................5-6
2.3 Висновок закономірності знаходження
Піфагорових чисел……………………………………………………………7
2.4 Властивості піфагорових чисел ……………………………………………… 8
3. Висновок……………………………………………………………………9
4.Список використаних джерел та літератури…………………… 10
Програми................................................. .................................................. ......11
Додаток I……………………………………………………………………11
Додаток II…………………………………………………………………..13
Черв'як Віталій Геннадійович
Краснодарський край, станиця Журавська, МОБУ ЗОШ №14, 9 клас
Піфагорові числа
Науковий керівник: Манько Галина Василівна, учитель математики МОБУ ЗОШ №14
Вступ
Про Піфагора та його життя я почув у п'ятому класі на уроці математики, і мене зацікавило висловлювання «Піфагорові штани на всі боки рівні». При вивченні теореми Піфагора мене зацікавили піфагорові числа.мета дослідження: дізнатися більше про теорему Піфагора і «піфагорові числа».
Актуальність теми. Цінність теореми Піфагора та піфагорових трійок доведена багатьма вченими світу протягом багатьох століть. Проблема, про яку піде мова в моїй роботі виглядає досить простою тому, що в її основі лежить математичне твердження, яке всім відомо, - теорема Піфагора: у будь-якому прямокутному трикутнику квадрат, побудований на гіпотенузі, дорівнює сумі квадратів, побудованих на катетах. Тепер трійки натуральних чисел x, y, z, для яких x 2 + y 2 = z 2 , прийнято називатипіфагоровими трійками. Виявляється, піфагорові трійки знали вже у Вавилоні. Поступово знайшли їх та грецькі математики.
Мета цієї роботи
Відповідно до мети роботи поставлено низку наступнихзавдань:
1. Глибше вивчити історію теореми Піфагора;
2. Аналіз універсальних властивостей піфагорових трійок.
3. Аналіз практичного застосування піфагорових трійок.
Об'єкт дослідження: піфагорові трійки.
Предмет дослідження: математика .
Методи дослідження: - використання ресурсів мережі Інтернет; -звернення до довідкової літератури; -проведення експерименту;
Теоретична значимість:роль, яку грає відкриття піфагорових трійок у науці; практичне застосуваннявідкриття Піфагора у життєдіяльності людини.
Прикладна цінністьдослідження полягає в аналізі літературних джерел та систематизації фактів.
Черв'як Віталій Геннадійович
Краснодарський край, станиця Журавська, МОБУ ЗОШ №14, 9 клас
Піфагорові числа
Науковий керівник: Манько Галина Василівна, учитель математики МОБУ ЗОШ №14
З історії піфагорових чисел.
Математична книга Чу-пей:[ 2]
"Якщо прямий кут розкласти на складові, то лінія, що з'єднує кінці його сторін, буде 5, коли основа є 3, а висота 4".
Кантор (найбільший німецький історик математики) вважає, що рівність 3² + 4² = 5² було відомо вже єгиптянам ще близько 2300 до н. е., за часів царяАменемхета (згідно з папірусом 6619 Берлінського музею). На думку Канторагарпедонапти або "натягувачі мотузок", будували прямі кути за допомогою прямокутних трикутників зі сторонами 3; 4 та 5.
«Заслугою перших грецьких математиків, таких як Фалес, Піфагор та піфагорійці, є не відкриття математики, але її систематизація та обґрунтування. У руках обчислювальні рецепти, засновані на невиразних уявленнях, перетворилися на точну науку."
Хоча ця теорема пов'язується з ім'ям Піфагора, вона була відома задовго до нього.
У вавилонських текстах вона трапляється за 1200 років до Піфагора.
Очевидно, він першим знайшов її доказ. У зв'язку з цим було зроблено такий запис: «... коли він відкрив, що у прямокутному трикутнику гіпотенуза має відповідність до катетами, він приніс жертву бика, зробленого з пшеничного теста».
Черв'як Віталій Геннадійович
Краснодарський край, станиця Журавська, МОБУ ЗОШ №14, 9 клас
Піфагорові числа
Науковий керівник: Манько Галина Василівна, учитель математики МОБУ ЗОШ №14
Дослідження Піфагорових чисел.
3 2 + 4 2 = 5 2.
Піфагорові трійки відомі дуже давно. В архітектурі давньолісопотамських надгробків зустрічається рівнобедрений трикутник, складений з двох прямокутних зі сторонами 9, 12 і 15 ліктів. Піраміди фараона Снофру (XXVII століття до н.е.) побудовані з використанням трикутників зі сторонами 20, 21 та 29, а також 18, 24 та 30 десятків єгипетських ліктів.[ 1 ]
Прямокутний трикутник з катетами 3, 4 і гіпотенузою 5 називається єгипетським трикутником. Площа цього трикутника дорівнює досконалому числу 6. Периметр дорівнює 12 - числу, яке вважалося символом щастя та достатку.
За допомогою мотузки розділеної вузлами на 12 рівних частин стародавні єгиптяни будували прямокутний трикутник та прямий кут. Зручний і дуже точний спосіб, що використовується землемірами щодо біля перпендикулярних ліній. Необхідно взяти шнур і три кілочки, шнур мають трикутник так, щоб одна сторона складалася з 3 частин, друга з 4 часток і остання з п'яти таких часток. Шнур розташується трикутником, у якому є прямий кут.
Цей стародавній спосіб, який, очевидно, застосовувався ще тисячоліття тому будівельниками єгипетських пірамід, заснований на тому, що кожен трикутник, сторони якого відносяться як 3:4:5, згідно з теоремою Піфагора, прямокутний.
Знаходженням піфагорових трійок займалися Евклід, Піфагор, Діофант та багато інших.[ 1]
Зрозуміло, що якщо (x, y, z ) – піфагорова трійка, то для будь-якого натурального k трійка (kx, ky, kz) також буде піфагорової трійкою. Зокрема (6, 8, 10), (9, 12, 15) і т.д. є піфагоровими трійками.
У міру того, як числа зростають, піфагорові трійки зустрічаються все рідше і знаходити їх стає все важче і важче. Піфагорійці винайшли спосіб відшукання
таких трійок і, користуючись ним, довели, що піфагорових трійок існує дуже багато.
Трійки, що не мають спільних дільників, більших за 1, називаються найпростішими.
Розглянемо деякі властивості піфагорових трійок.[ 1]
Відповідно до теореми Піфагора ці числа можуть бути довжинами деякого прямокутного трикутника; тому й у називають «катетами», а з – «гіпотенузою».
Зрозуміло, що якщо а,в,з є трійка піфагорових чисел, то і ра,рв,рс, де р-цілочисельний множник,-піфагорові числа.
Правильне і зворотне твердження!
Тому спочатку досліджуватимемо лише трійки взаємно простих піфагорових чисел (решта виходять з них множенням на цілочисельний множник р).
Покажемо, що у кожній з таких трійок а,в,з одним із «катетів»має бути парним, а інший непарним. Будемо міркувати «від неприємного». Якщо обидва «катета» а і парні, то парним буде число а 2 + у 2 , А значить і «гіпотенуза». Але це суперечить тому, що числа а,ві з не мають спільних множників, тому що три парних числа мають загальний множник 2. Таким чином хоч один із «катетів» а й у непарний.
Залишається ще одна можливість: обидва «катета» непарні, а «гіпотенуза» парна. Неважко довести, що цього не може бути, тому що якщо «катети» мають вигляд 2 х + 1 і 2у+1, то сума їх квадратів дорівнює
4х 2 + 4х + 1 + 4у 2 + 4у +1 = 4 (х 2 + х + у 2 + у) +2, тобто. є число, яке при розподілі на 4 дає в залишку 2. Тим часом квадрат будь-якого парного числа повинен ділитися на 4 без залишку.
Отже, сума квадратів двох непарних чисел може бути квадратом парного числа; інакше кажучи, наші три числа – не піфагорові.
ВИСНОВОК:
Отже, з «катетів» а, в один парний, а інший непарний. Тому число а 2 + у 2 непарно, а значить, непарна і «гіпотенуза» с.
Піфагор знайшов формули, які в сучасній символіці можуть бути записані так: a=2n+1, b=2n(n+1), c=2 n 2 +2n+1 де n – ціле число.
Ці числа – піфагорові трійки.
Черв'як Віталій Геннадійович
Краснодарський край, станиця Журавська, МОБУ ЗОШ №14, 9 клас
Піфагорові числа
Науковий керівник: Манько Галина Василівна, учитель математики МОБУ ЗОШ №14
Висновок закономірності знаходження піфагорових чисел.
Ось такі піфагорові трійки:
Неважко помітити, що при множенні кожного з чисел піфагорової трійки на 2, 3, 4, 5 і т.д. ми отримаємо наступні трійки.
Вони також є Піфагоровими числами/
Черв'як Віталій Геннадійович
Краснодарський край, станиця Журавська, МОБУ ЗОШ №14, 9 клас
Піфагорові числа
Науковий керівник: Манько Галина Василівна, учитель математики МОБУ ЗОШ №14
Властивості піфагорових чисел.
Черв'як Віталій Геннадійович
Краснодарський край, станиця Журавська, МОБУ ЗОШ №14, 9 клас
Піфагорові числа
Науковий керівник: Манько Галина Василівна, учитель математики МОБУ ЗОШ №14
Висновок.
Геометрія, як та інші науки, виникла із потреб практики. Саме слово "геометрія" - грецьке, у перекладі означає "землемірство".
Люди дуже рано зіткнулися із необхідністю вимірювати земельні ділянки. Вже за 3-4 тис. років до н. кожен клаптик родючої землі в долинах Нілу, Єфрату та Тигра, річок Китаю мав значення для життя людей. Це вимагало певного запасу геометричних та арифметичних знань.
Поступово люди почали вимірювати та вивчати властивості складніших геометричних фігур.
І в Єгипті і в Вавилоні споруджувалися колосальні храми, будівництво яких могло проводитися тільки на основі попередніх розрахунків. Також будувалися водопроводи. Все це вимагало креслень та розрахунків. До цього часу були добре відомі окремі випадки теореми Піфагора, які вже знали, що якщо взяти трикутники зі сторонами x, y, z, де x, y, z – такі цілі числа, що x 2 + y 2 = z 2 , то ці трикутники будуть прямокутними.
Всі ці знання безпосередньо застосовувалися в багатьох сферах життєдіяльності людини.
Так досі велике відкриття вченого та філософа давнини Піфагора знаходить пряме застосування у нашому житті.
Будівництво будинків, доріг, космічних кораблів, автомобілів, верстатів, нафтопроводів, літаків, тунелів, метро та багато іншого. Піфагорові трійки знаходять пряме застосування у проектуванні безлічі речей, що оточують нас у повсякденному житті.
А уми вчених продовжують шукати нові варіанти доказів теореми Піфагора.
Черв'як Віталій Геннадійович
Краснодарський край, станиця Журавська, МОБУ ЗОШ №14, 9 клас
Піфагорові числа
Науковий керівник: Манько Галина Василівна, учитель математики МОБУ ЗОШ №14
Література
4. Аносов Д.В. Погляд на математику і щось із неї. - М.: МЦНМО, 2003.
5. Дитяча енциклопедія. - М.: Видавництво Академії Педагогічних Наук РРФСР, 1959.
6. Степанова Л.Л. Вибрані розділи елементарної теорії чисел. - М.: Прометей, 2001.
7. В. Серпінський Піфагорові трикутники. - М: Учпедгіз, 1959. С.111
Хід дослідження Історична сторінка; Теорема Піфагора; Довести, що один із «катетів» має бути парним, а інший непарним; Виведення закономірності для знаходження піфагорових чисел; Виявити властивості піфагорових чисел;
Про Піфагора і його життя я почув у п'ятому класі на уроці математики, і мене зацікавило висловлювання «Піфагорові штани на всі боки рівні». При вивченні теореми Піфагора мене зацікавили пифагорові числа. Я поставив за мету дослідження: дізнатися більше про теорему Піфагора і «піфагорові числа».
Буде вічною істина, коли її пізнає слабка людина! І нині теорема Піфагора Верна, як і в його далекий вік
З історії піфагорових чисел. Стародавній Китай Математична книга Чу-пей: "Якщо прямий кут розкласти на складові, то лінія, що з'єднує кінці його сторін, буде 5, коли основа є 3, а висота 4".
Піфагорові числа у стародавніх єгиптян Кантор (найбільший німецький історик математики) вважає, що рівність 3 + 4 = 5 було відомо вже єгиптянам ще близько 2300 до н. е.., за часів царя Аменемхета (згідно з папірусом 6619 Берлінського музею). На думку Кантора гарпедонапти, або натягувачі мотузок, будували прямі кути за допомогою прямокутних трикутників зі сторонами 3; 4 та 5.
Теорема Піфагора у Вавилонії «Заслугою перших грецьких математиків, таких як Фалес, Піфагор та піфагорійці, є не відкриття математики, але її систематизація та обґрунтування. У руках обчислювальні рецепти, засновані на невиразних уявленнях, перетворилися на точну науку."
Кожен трикутник, сторони відносяться як 3:4:5, відповідно до загальновідомої теореми Піфагора, - прямокутний, оскільки 3 2 + 4 2 = 5 2. Крім чисел 3,4 і 5 існує, як відомо, нескінченна безліч цілих позитивних чисел , в і с, що задовольняють співвідношенню А 2 + в 2 = з 2. Ці числа називаються піфагоровими числами
Відповідно до теореми Піфагора ці числа можуть бути довжинами деякого прямокутного трикутника; тому а і в називають "катетами", а з - "Гіпотенузою". Зрозуміло, що й а,в,с є трійка піфагорових чисел, те й ра,рв,рс, де р - цілий множник,- пифагоровы числа. Правильне і зворотне твердження! Тому спочатку досліджуватимемо лише трійки взаємно простих піфагорових чисел (решта виходять з них множенням на цілочисельний множник р).
Висновок! Отже з чисел а й у одне парно, інше непарно, отже непарно і третє число.
Ось такі Піфагорові трійки: 3, 4, 5; 9+16=25. 5, 12, 13; 25 +144 = 169. 7, 24, 25; 49 +576 = 625. 8, 15, 17; 64 +225 = 289. 9, 40, 41; 81 +1600 = 1681. 12, 35, 37; 144 +1225 = 1369. 20, 21, 29; 400 +441 = 841
Неважко помітити, що при множенні кожного з чисел піфагорової трійки на 2, 3, 4, 5 і т.д. ми отримаємо наступні трійки. 6, 8, 10; 9,12,15. 12, 16, 20; 15, 20, 25; 10, 24, 26; 18, 24, 30; 16, 30, 34; 21, 28, 35; 15, 36, 39; 24, 32, 40; 14, 48, 50; 30, 40, 50 і т.д. Вони також є Піфагоровими числами
Властивості піфагорових чисел При розгляді піфагорових чисел я побачив ряд властивостей: 1) Одне з піфагорових чисел має бути кратним трьом; 2) одне з них має бути кратним чотири; 3) А інше з піфагорових чисел має бути кратно п'яти;
Практичне застосування піфагорових чисел
Висновок: В результаті моєї роботи мені вдалося 1. Більше дізнатися про Піфагора, його життя, братство Піфагорійців. 2. Ознайомитись з історією теореми Піфагора. 3. Дізнатися про піфагорові числа, їх властивості, навчитися їх знаходити. Досвідчено-експериментальним шляхом відкладати прямий кут за допомогою піфагорових чисел.
Далі розглянемо відомі способигенерації ефективних піфагорових трійок Учні Піфагора були першими, хто винайшли простий спосіб генерації піфагорових трійок, використовуючи формулу, частини якої являють собою піфагорову трійку:
m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ((m 2 + 1)/2) 2 ,
Де m- Непарне, m>2. Справді,
4m 2 + m 4 − 2m 2 + 1
m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((m 2 + 1)/2) 2 .
4
Аналогічну формулу запропонував давньогрецький філософ Платон:
(2m) 2 + (m 2 − 1) 2 = (m 2 + 1) 2 ,
Де m- Будь-яке число. Для m= 2,3,4,5 генеруються такі трійки:
(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).
Як бачимо, ці формули не можуть дати всі можливі примітивні трійки.
Розглянемо наступний поліном, який розкладається на суму поліномів:
(2m 2 + 2m + 1) 2 = 4m 4 + 8m 3 + 8m 2 + 4m + 1 =
=4m 4 + 8m 3 + 4m 2 + 4m 2 + 4m + 1 = (2m(m+1)) 2 + (2m +1) 2 .
Звідси такі формули для отримання примітивних трійок:
a = 2m +1 , b = 2m(m+1) = 2m 2 + 2m , c = 2m 2 + 2m + 1.
Ці формули генерують трійки, у яких середнє число відрізняється від найбільшого рівно на одиницю, тобто також генеруються не всі можливі трійки. Тут перші трійки дорівнюють: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).
Щоб визначити спосіб генерації всіх примітивних трійок слід досліджувати їх властивості. По-перше, якщо ( a, b, c) - примітивна трійка, то aі b, bі c, аі c- Повинні бути взаємно простими. Нехай aі bподіляються на d. Тоді a 2 + b 2 - також ділиться на d. Відповідно, c 2 та cповинні ділитися на d. Тобто це не є примітивна трійка.
По-друге, серед чисел a, bодне має бути парним, інше — непарним. Справді, якщо aі b— парні, то й збуде парним, і числа можна поділити принаймні на 2. Якщо вони обидва непарні, їх можна представити як 2 k+1 і 2 l+1, де k,l- Деякі числа. Тоді a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+1+4l 2 +4l+1, тобто, з 2 , як і a 2 + b 2 при поділі на 4 має залишок 2.
Нехай з- будь-яке число, тобто з = 4k+i (i= 0, ..., 3). Тоді з 2 = (4k+i) 2 має залишок 0 або 1 і не може мати залишок 2. Таким чином, aі bне можуть бути непарними, тобто a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+4l 2 +4l+1 та залишок від розподілу з 2 на 4 має бути 1, що означає, що змає бути непарним.
Такі вимоги до елементів піфагорової трійки задовольняють такі числа:
a = 2mn, b = m 2 − n 2 , c = m 2 + n 2 , m > n, (2)
Де mі n- Взаємно прості з різною парністю. Вперше ці залежності стали відомими із праць Евкліда, який жив 2300 нар. назад.
Доведемо справедливість залежностей (2). Нехай а- парне, тоді bі c- Непарні. Тоді c + b i c − b- парні. Їх можна уявити як c + b = 2uі c − b = 2v, де u,v- Деякі цілі числа. Тому
a 2 = з 2 − b 2 = (c + b)(c − b) = 2u·2 v = 4uv
І тому ( a/2) 2 = uv.
Можна довести від неприємного, що uі v- Взаємно прості. Нехай uі v- поділяються на d. Тоді ( c + b) та ( c − b) поділяються на d. І тому cі bповинні ділитися на d, а це суперечить умові до піфагорової трійки.
Так як uv = (a/2) 2 та uі v- Взаємно прості, то нескладно довести, що uі vмають бути квадратами якихось чисел.
Таким чином, є позитивні цілі числа mі n, такі що u = m 2 та v = n 2 . Тоді
а 2 = 4uv = 4m 2 n 2 , так що
а = 2mn; b = u − v = m 2 − n 2 ; c = u + v = m 2 + n 2 .
Так як b> 0, то m > n.
Залишилось показати, що mі nмають різну парність. Якщо mі n- парні, то uі vповинні бути парними, а це неможливо, тому що вони взаємно прості. Якщо mі n- Непарні, то b = m 2 − n 2 та c = m 2 + n 2 були б парними, що неможливо, оскільки cі b- Взаємно прості.
Таким чином, будь-яка примітивна піфагорова трійка повинна задовольняти умови (2). При цьому числа mі nназиваються генеруючими числамипримітивних трійок. Наприклад, нехай маємо примітивну піфагорову трійку (120,119,169). В цьому випадку
а= 120 = 2 · 12 · 5, b= 119 = 144 − 25, та c = 144+25=169,
Де m = 12, n= 5 - генеруючі числа, 12> 5; 12 і 5 - взаємно прості та різної парності.
Можна довести протилежне, що числа m, nза формулами (2) дають примітивну піфагорову трійку (a, b, c). Справді,
а 2 + b 2 = (2mn) 2 + (m 2 − n 2) 2 = 4m 2 n 2 + (m 4 − 2m 2 n 2 + n 4) =
= (m 4 + 2m 2 n 2 + n 4) = (m 2 + n 2) 2 = c 2 ,
Тобто ( a,b,c) - Піфагорова трійка. Доведемо, що при цьому a,b,c- Взаємно прості числа від протилежного. Нехай ці числа поділяються на p> 1. Оскільки mі nмають різну парність, то bі c- непарні, тобто p≠ 2. Оскільки рділить bі c, то рмає ділити 2 m 2 та 2 n 2 , а це неможливо, тому що p≠ 2. Тому m, n- Взаємно прості та a,b,c- теж взаємно прості.
У таблиці 1 показані всі примітивні піфагорові трійки, згенеровані за формулами (2) m≤10.
Таблиця 1. Примітивні піфагорові трійки для m≤10
| m | n | a | b | c | m | n | a | b | c |
| 2 | 1 | 4 | 3 | 5 | 8 | 1 | 16 | 63 | 65 |
| 3 | 2 | 12 | 5 | 13 | 8 | 3 | 48 | 55 | 73 |
| 4 | 1 | 8 | 15 | 17 | 8 | 5 | 80 | 39 | 89 |
| 4 | 3 | 24 | 7 | 25 | 8 | 7 | 112 | 15 | 113 |
| 5 | 2 | 20 | 21 | 29 | 9 | 2 | 36 | 77 | 85 |
| 5 | 4 | 40 | 9 | 41 | 9 | 4 | 72 | 65 | 97 |
| 6 | 1 | 12 | 35 | 37 | 9 | 8 | 144 | 17 | 145 |
| 6 | 5 | 60 | 11 | 61 | 10 | 1 | 20 | 99 | 101 |
| 7 | 2 | 28 | 45 | 53 | 10 | 3 | 60 | 91 | 109 |
| 7 | 4 | 56 | 33 | 65 | 10 | 7 | 140 | 51 | 149 |
| 7 | 6 | 84 | 13 | 85 | 10 | 9 | 180 | 19 | 181 |
Аналіз цієї таблиці показує наявність наступного ряду закономірностей:
У 1971 р. американські математики Тейган та Хедвін для генерації трійок запропонували такі маловідомі параметри прямокутного трикутника, як його зростання (height) h = c− b та надлишок (success) е = a + b − c. На рис.1. показані ці величини деякому прямокутному трикутнику.
Малюнок 1. Прямокутний трикутник та його зростання та надлишок
Назва "надлишок" є похідною від того, що це додаткова відстань, яку необхідно пройти по катетах трикутника з однієї вершини в протилежну, якщо не йти його діагоналі.
Через надлишок та зростання сторони піфагорового трикутника можна виразити як:
e 2 e 2
a = h + e, b = e + ——, c = h + e + ——, (3)
2h 2h
Не всі комбінації hі eможуть відповідати піфагоровим трикутникам. Для заданого hможливі значення e- Це твори деякого числа d. Це число dмає назву приросту і відноситься до hнаступним чином: d- Це найменше позитивне ціле число, квадрат якого ділиться на 2 h. Так як eкратне d, то воно записується як e = kd, де k- Позитивне ціле.
За допомогою пар ( k,h) можна згенерувати всі піфагорові трикутники, включаючи непримітивні та узагальнені, таким чином:
(dk) 2 (dk) 2
a = h + dk, b = dk + ——, c = h + dk + ——, (4)
2h 2h
Причому трійка є примітивною, якщо kі h- Взаємно прості і якщо h =± q 2 при q- Непарному.
Крім того, це буде саме піфагорова трійка, якщо k> √2· h/dі h > 0.
Щоб знайти kі hз ( a,b,c), виконують такі дії:
Наприклад, для трійки (8,15,17) маємо h= 17−15 = 2·1, отже p= 2 і q = 1, d= 2, і k= (8 − 2)/2 = 3. Так що ця трійка задається як ( k,h) = (3,2).
Для трійки (459,1260,1341) маємо h= 1341 − 1260 = 81, тож p = 1, q= 9 і d= 18, звідси k= (459 − 81)/18 = 21, так що код цієї трійки дорівнює ( k,h) = (21, 81).
Завдання трійок за допомогою hі kмає низку цікавих властивостей. Параметр kдорівнює
k = 4S/(dP), (5)
Де S = ab/2 - площа трикутника, а P = a + b + c- Його периметр. Це випливає з рівності eP = 4S, що виходить із теореми Піфагора.
Для прямокутного трикутника eдорівнює діаметру вписаного в трикутник кола. Це виходить із того, що гіпотенуза з = (а − r)+(b − r) = a + b − 2r, де r- Радіус кола. Звідси h = c − b = а − 2rі е = a − h = 2r.
Для h> 0 та k > 0, kє порядковим номером трійок a-b-cу послідовності піфагорових трикутників зі зростанням h. З таблиці 2, де представлено кілька варіантів трійок, згенерованих парами h, k, видно, що зі збільшенням kзростають величини сторін трикутника. Таким чином, на відміну від класичної нумерації, нумерація парами h, kмає більший порядок у послідовностях трійок.
Таблиця 2. Піфагорові трійки, згенеровані парами h, k.
| h | k | a | b | c | h | k | a | b | c |
| 2 | 1 | 4 | 3 | 5 | 3 | 1 | 9 | 12 | 15 |
| 2 | 2 | 6 | 8 | 10 | 3 | 2 | 15 | 36 | 39 |
| 2 | 3 | 8 | 15 | 17 | 3 | 3 | 21 | 72 | 75 |
| 2 | 4 | 10 | 24 | 26 | 3 | 4 | 27 | 120 | 123 |
| 2 | 5 | 12 | 35 | 37 | 3 | 5 | 33 | 180 | 183 |
Для h > 0, dзадовольняє нерівність 2√ h ≤ d ≤ 2h, в якому нижня межа досягається при p= 1, а верхня - при q= 1. Тому значення dщодо 2√ h- це міра того, наскільки число hвіддалений від квадрата деякого числа.
Оскільки рівняння x 2 + y 2 = z 2 однорідно, при домноженні x , yі zна те саме число вийде інша піфагорова трійка. Піфагорова трійка називається примітивноюякщо вона не може бути отримана таким способом, тобто - взаємно прості числа .
Деякі піфагорові трійки (відсортовані за зростанням максимального числа, виділено примітивні):
(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…
Піфагорові трійки відомі дуже давно. В архітектурі давньомесопотамських надгробків зустрічається рівнобедрений трикутник, складений із двох прямокутних зі сторонами 9, 12 та 15 ліктів. Піраміди фараона Снофру (XXVII століття до н.е.) побудовані з використанням трикутників зі сторонами 20, 21 та 29, а також 18, 24 та 30 десятків єгипетських ліктів.
X Всеросійський симпозіум з прикладної та промислової математики. Санкт-Петербург, 19 травня 2009р.
Алгоритм рішення Діофантових рівнянь.
У роботі розглянуто метод дослідження Діофантових рівнянь та представлені вирішені цим методом: - велика теорема Ферма; - пошук Піфагорових трійок і т.д. http://referats.protoplex.ru/referats_show/6954.html
Wikimedia Foundation. 2010 .
У математиці піфагоровими числами (піфагорової трійкою) називається кортеж із трьох цілих чисел, що задовольняють співвідношенню Піфагора: x2 + y2 = z2. Зміст 1 Властивості … Вікіпедія
Трійки таких натуральних чисел, що трикутник, довжини сторін якого пропорційні (чи рівні) цим числам, є прямокутним, напр. трійка чисел: 3, 4, 5… Великий Енциклопедичний словник
Трійки натуральних чисел таких, що трикутник, довжини сторін якого пропорційні (чи рівні) цим числам, є прямокутним. По теоремі, зворотній теоремі Піфагора (див. теорема Піфагора), для цього достатньо, щоб вони ... Велика Радянська Енциклопедія
Трійки цілих позитивних чисел х, у, z, що задовольняють рівняння x2 + 2 = z2. Усі рішення цього рівняння, отже, і всі П. год. виражаються формулами х=а 2 b2, y=2ab, z=a2+b2, де а, b довільні цілі позитивні числа(а> b). П. год. Математична енциклопедія
Трійки таких натуральних чисел, що трикутник, довжини сторін якого пропорційні (або рівні) цим числам, є прямокутним, напр. трійка чисел: 3, 4, 5… Природознавство. Енциклопедичний словник
Трійки таких натуральних чисел, що трикутник, довжини сторін якого пропорційні (або рівні) цим числам, є прямокутним, наприклад трійка чисел: 3, 4, 5. * * * Енциклопедичний словник
У математиці піфагорової трійкою називається кортеж із трьох натуральних чисел, що задовольняють співвідношенню Піфагора: При цьому числа, що утворюють піфагорову трійку, називаються піфагоровими числами. Зміст 1 Примітивні трійки … Вікіпедія
Теорема Піфагора одна з основних теорем евклідової геометрії, що встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Зміст 1 … Вікіпедія
Теорема Піфагора одна з основних теорем евклідової геометрії, що встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. 1 Формулювання 2 Докази … Вікіпедія
Це рівняння виду, де P цілочислова функція (наприклад, поліном з цілими коефіцієнтами), а змінні приймають цілі значення. Названо на честь давньогрецького математика Діофанта. Зміст 1 Приклади … Вікіпедія
» заслуженого професора математики Уорікського університету, відомого популяризатора науки Іена Стюарта, присвяченої ролі чисел в історії людства та актуальності їх вивчення у наш час.
Піфагорові трикутники мають прямий кут та цілочисленні сторони. У найпростішого їх найдовша сторона має довжину 5, інші - 3 і 4. Усього існує 5 правильних багатогранників. Рівняння п'ятого ступеня неможливо вирішити за допомогою коренів п'ятого ступеня - або будь-якого іншого коріння. Грати на площині та у тривимірному просторі не мають п'ятипелюсткової симетрії обертання, тому такі симетрії відсутні і в кристалах. Однак вони можуть бути біля ґрат у чотиривимірному просторі та в цікавих структурах, відомих як квазікристали.
Теорема Піфагора говорить, що найдовша сторона прямокутного трикутника (славнозвісна гіпотенуза) співвідноситься з двома іншими сторонами цього трикутника дуже просто і красиво: квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів двох інших сторін.
Традиційно називаємо цю теорему ім'ям Піфагора, але насправді історія її досить туманна. Глиняні таблички дозволяють припустити, що давні вавилоняни знали теорему Піфагора задовго до Піфагора; славу першовідкривача приніс йому математичний культ піфагорійців, прихильники якого вірили, що Всесвіт заснований на числових закономірностях. Стародавні автори приписували піфагорійцям - а отже, і Піфагору - різні математичні теореми, але насправді ми уявлення не маємо про те, якою математикою займався сам Піфагор. Ми навіть не знаємо, чи піфагорійці могли довести теорему Піфагора або просто вірили в те, що вона вірна. Або, що найімовірніше, у них були переконливі дані про її істинність, яких, проте, не вистачило б на те, що ми вважаємо доказом сьогодні.
Перший відомий доказ теореми Піфагора ми знаходимо в «Початках» Евкліда. Це досить складний доказ з використанням креслення, в якому вікторіанські школярі одразу впізнали б піфагорові штани; креслення і справді нагадує сохнучі на мотузці підштанники. Відомі буквально сотні інших доказів, більшість з яких робить твердження, що доводиться, більш очевидним.
// Мал. 33. Піфагорові штани
Один із найпростіших доказів - це свого роду математичний пазл. Візьміть будь-який прямокутний трикутник, зробіть чотири його копії та зберіть їх усередині квадрата. При одному укладанні бачимо квадрат на гіпотенузі; при іншій – квадрати на двох інших сторонах трикутника. При цьому ясно, що площі в тому й іншому випадку дорівнюють.
// Мал. 34. Зліва: квадрат на гіпотенузі (плюс чотири трикутники). Праворуч: сума квадратів на двох інших сторонах (плюс ті ж чотири трикутники). А тепер виключіть трикутники
Розсічення Перигаля – ще один доказ-пазл.
// Мал. 35. Розсічення Перигаля
Існує також доказ теореми з використанням укладання квадратів на площині. Можливо, саме так піфагорійці чи їхні невідомі попередники відкрили цю теорему. Якщо поглянути на те, як косий квадрат перекриває два інші квадрати, то можна побачити, як розрізати великий квадрат на шматки, а потім скласти з них два менші квадрати. Можна також побачити прямокутні трикутники, сторони яких дають розміри трьох задіяних квадратів.
// Мал. 36. Доказ мощенням
Є цікаві докази з використанням подібних трикутників у тригонометрії. Відомо щонайменше п'ятдесят різних доказів.
Теорема чисел теорема Піфагора стала джерелом плідної ідеї: знайти цілочисельні рішення алгебраїчних рівнянь. Піфагорова трійка - це набір цілих чисел a, b і c, таких що
Геометрично така трійка визначає прямокутний трикутник із цілими сторонами.
Найменша гіпотенуза піфагорової трійки дорівнює 5.
Інші дві сторони цього трикутника дорівнюють 3 і 4. Тут
32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.
Наступна за величиною гіпотенуза дорівнює 10, тому що
62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.
Однак це, по суті, той самий трикутник із подвоєними сторонами. Наступна за величиною і по-справжньому інша гіпотенуза дорівнює 13 для неї
52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.
Евклід знав, що існує безліч різних варіантів піфагорових трійок, і дав те, що можна назвати формулою для знаходження їх усіх. Пізніше Діофант Олександрійський запропонував простий рецепт, що збігається з евклідовим.
Візьміть будь-які два натуральні числа і обчисліть:
їх подвоєний твір;
різницю їх квадратів;
суму їхніх квадратів.
Три числа, що виходять, будуть сторонами піфагорового трикутника.
Візьмемо, наприклад, числа 2 та 1. Обчислимо:
подвоєний твір: 2×2×1 = 4;
різницю квадратів: 22 - 12 = 3;
сума квадратів: 22 + 12 = 5,
і ми отримали відомий трикутник 3–4–5. Якщо взяти замість цього числа 3 та 2, отримаємо:
подвоєний твір: 2×3×2 = 12;
різницю квадратів: 32 - 22 = 5;
суму квадратів: 32 + 22 = 13,
і отримуємо наступний за популярністю трикутник 5 - 12 - 13. Спробуємо взяти числа 42 і 23 і отримаємо:
подвоєний твір: 2×42×23 = 1932;
різницю квадратів: 422 - 232 = 1235;
сума квадратів: 422 + 232 = 2293,
ніхто ніколи не чув про трикутник 1235–1932–2293.
Але ці числа також працюють:
12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.
У діофантовому правилі є ще одна особливість, яку вже натякали: отримавши три числа, ми можемо взяти ще одне довільне число і всі їх на нього помножити. Таким чином, трикутник 3–4–5 можна перетворити на трикутник 6–8–10, помноживши всі сторони на 2, або на трикутник 15–20–25, помноживши все на 5.
Якщо перейти на мову алгебри, правило набуває наступного вигляду: нехай u, v і k – натуральні числа. Тоді прямокутний трикутник зі сторонами
2kuv та k (u2 - v2) має гіпотенузу
Існують інші способи викладу основний ідеї, але вони зводяться до описаному вище. Цей метод дозволяє отримати всі піфагорові трійки.
Існує рівно п'ять правильних багатогранників. Правильний багатогранник (або поліедр) – це об'ємна фігура з кінцевим числом плоских граней. Грані сходяться друг з одним лініях, іменованих ребрами; ребра зустрічаються у точках, іменованих вершинами.
Кульмінацією евклідових «Початків» є доказ того, що може бути лише п'ять правильних багатогранників, тобто багатогранників, у яких кожна грань є правильний багатокутник(Рівні сторони, рівні кути), всі грані ідентичні і всі вершини оточені рівним числом однаково розташованих граней. Ось п'ять правильних багатогранників:
тетраедр із чотирма трикутними гранями, чотирма вершинами та шістьма ребрами;
куб, або гексаедр, з 6 квадратними гранями, 8 вершинами та 12 ребрами;
октаедр з 8 трикутними гранями, 6 вершинами та 12 ребрами;
додекаедр з 12 п'ятикутними гранями, 20 вершинами та 30 ребрами;
ікосаедр з 20 трикутними гранями, 12 вершинами та 30 ребрами.
// Мал. 37. П'ять правильних багатогранників
Правильні багатогранники можна знайти й у природі. У 1904 р. Ернст Геккель опублікував малюнки крихітних організмів, відомих як радіолярії; багато з них формою нагадують ті самі п'ять правильних багатогранників. Можливо, щоправда, він трохи підправив природу, і малюнки повністю не відображають форму конкретних живих істот. Перші три структури спостерігаються також у кристалах. Додекаедра та ікосаедра в кристалах ви не знайдете, хоча неправильні додекаедри та ікосаедри там іноді трапляються. Справжні додекаедри можуть виникати у вигляді квазікристалів, які у всьому схожі на кристали, за винятком того, що їх атоми не утворюють періодичних ґрат.
// Мал. 38. Малюнки Геккеля: радіолярії у формі правильних багатогранників
// Мал. 39. Розгорнення правильних багатогранників
Буває цікаво робити моделі правильних багатогранників з паперу, вирізавши попередньо набір з'єднаних між собою граней – це називається розгорткою багатогранника; розгортку складають по ребрах і склеюють відповідні ребра між собою. Корисно додати до одного з ребер кожної такої пари додатковий майданчик для клею, як показано на рис. 39. Якщо такого майданчика немає, можна використати липку стрічку.
Немає алгебраїчної формули на вирішення рівнянь 5-го ступеня.
У загальному вигляді рівняння п'ятого ступеня виглядає так:
ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.
Проблема в тому, щоб знайти формулу для розв'язання такого рівняння (у нього може бути до п'яти рішень). Досвід поводження з квадратними і кубічними рівняннями, а також із рівняннями четвертого ступеня дозволяє припустити, що така формула повинна існувати і для рівнянь п'ятого ступеня, причому в ній, за ідеєю, повинні фігурувати коріння п'ятого, третього та другого ступеня. Знову ж таки, можна сміливо припустити, що така формула, якщо вона існує, виявиться дуже складною.
Це припущення зрештою виявилося помилковим. Справді, жодної такої формули немає; принаймні немає формули, що складається з коефіцієнтів a, b, c, d, e і f, складеної з використанням складання, віднімання, множення і поділу, і навіть вилучення коренів. Таким чином, серед 5 є щось зовсім особливе. Причини такої незвичайної поведінки п'ятірки дуже глибокі, і знадобилося чимало часу, щоб у них розібратися.
Першою ознакою проблеми стало те, що, хоч би як математики намагалися відшукати таку формулу, хоч би якими розумними вони були, вони незмінно зазнавали невдачі. Деякий час усі вважали, що причини криються в неймовірній складності формули. Вважалося, що ніхто просто не може добре розібратися в цій алгебрі. Однак з часом деякі математики почали сумніватися в тому, що така формула взагалі існує, а в 1823 Нільс Хендрік Абель зумів довести протилежне. Такої формули немає. Незабаром після цього Еваріст Галуа знайшов спосіб визначити, чи можна вирішити рівняння того чи іншого ступеня - 5-го, 6-го, 7-го, взагалі будь-якого - з використанням такого роду формули.
Висновок з цього простий: число 5 особливе. Можна вирішувати рівняння алгебри (за допомогою коренів n-го ступенядля різних значень n) для ступенів 1, 2, 3 та 4, але не для 5-го ступеня. Тут очевидна закономірність закінчується.
Нікого не дивує, що рівняння ступенів більше 5 поводяться ще гірше; зокрема, з ними пов'язана така сама складність: немає загальних формул для їх вирішення. Не означає, що рівняння немає рішень; це також не означає, що неможливо знайти дуже точні чисельні значення цих рішень. Вся справа в обмеженості традиційних алгебри інструментів. Це нагадує неможливість трисекції кута за допомогою лінійки та циркуля. Відповідь існує, але перераховані методи недостатні і не дозволяють визначити, якою вона є.
Кристали у двох та трьох вимірах не мають 5-променевої симетрії обертання.
Атоми в кристалі утворюють ґрати, тобто структуру, яка періодично повторюється у кількох незалежних напрямках. Наприклад, малюнок на шпалерах повторюється по довжині рулону; крім того, він зазвичай повторюється і в горизонтальному напрямку, іноді зі зсувом від одного шматка шпалер до наступного. Фактично, шпалери - це двовимірний кристал.
Існує 17 різновидів шпалерних малюнків на площині (див. Розділ 17). Вони різняться за типами симетрії, тобто за способами жорстко зрушити малюнок таким чином, щоб він точно ліг сам на себе в початковому положенні. До типів симетрії відносяться, зокрема, різні варіанти симетрії обертання, де малюнок слід повернути певний кут навколо певної точки - центру симетрії.
Порядок симетрії обертання - це, скільки разів можна повернути тіло до повного кола те щоб всі деталі малюнка повернулися на початкові позиції. Наприклад, поворот на 90° - це симетрія обертання 4-го порядку. Список можливих типів симетрії обертання в кристалічній решітці знову свідчить про незвичність числа 5: його немає. Існують варіанти із симетрією обертання 2, 3, 4 та 6-го порядків, але жоден шпалерний малюнок не має симетрії обертання 5-го порядку. Симетрії обертання порядку більше 6 в кристалах теж не буває, але перше порушення послідовності відбувається все ж таки на числі 5.
Те саме відбувається з кристалографічними системами у тривимірному просторі. Тут грати повторюють себе за трьома незалежними напрямками. Існує 219 різних типів симетрії, або 230, якщо вважати дзеркальне відображення малюнка окремим варіантом - при тому, що в даному випадку немає дзеркальної симетрії. Знову ж таки, спостерігаються симетрії обертання порядків 2, 3, 4 і 6, але не 5. Цей факт отримав назву кристалографічного обмеження.
У чотиривимірному просторі решітки із симетрією 5-го порядку існують; взагалі, для ґрат досить високої розмірності можливий будь-який наперед заданий порядок симетрії обертання.
// Мал. 40. Кристалічні грати кухонної солі. Темні кульки зображують атоми натрію, світлі атоми хлору.
Хоча симетрія обертання 5-го порядку в двовимірних і тривимірних ґратах неможлива, вона може існувати в менш регулярних структурах, відомих як квазікристали. Скориставшись начерками Кеплера, Роджер Пенроуз відкрив плоскі системи з більш загальним типом п'ятиразової симетрії. Вони отримали назву квазікристалів.
Квазікристали існують у природі. У 1984 р. Даніель Шехтман відкрив, що сплав алюмінію та марганцю може утворювати квазікристали; спочатку кристалографи зустріли його повідомлення з деяким скепсисом, але пізніше відкриття було підтверджено, і в 2011 р. Шехтмана було удостоєно Нобелівської преміїз хімії. У 2009 р. команда вчених під керівництвом Луки Бінді виявила квазікристали в мінералі з російського Коряцького нагір'я - з'єднання алюмінію, міді та заліза. Сьогодні цей мінерал називається ікосаедрит. Вимірявши за допомогою мас-спектрометра вміст у мінералі різних ізотопів кисню, вчені показали, що цей мінерал виник не Землі. Він сформувався близько 4,5 млрд років тому, у той час, коли сонячна систематільки зароджувалася, і провів більшу частину часу в поясі астероїдів, звертаючись навколо Сонця, поки якесь обурення не змінило його орбіту і не привело його на Землю.
// Мал. 41. Зліва: одна з двох квазікристалічних ґрат з точною п'ятикратною симетрією. Праворуч: атомна модель ікосаедричного алюмінієво-паладієво-марганцевого квазікристалу
