Куклін Олексій
Робота має реферативний характер з елементами дослідницької діяльності. У ньому розглядаються різні способи побудови правильних n-кутників. У роботі міститься докладна відповідь на питання про те, що завжди можна побудувати n-кутник за допомогою циркуля та лінійки. До роботи додається презентація, яку можна знайти на цьому міні-сайті.
Щоб користуватися попереднім переглядом, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com
https://accounts.google.com
Побудова правильних багатокутників Роботу виконав: учень 9 класу «В» МБОУ ЗОШ №10 Куклін Олексій
Правильні багатокутники Правильним багатокутником називають опуклий багатокутник, у якого всі сторони та кути рівні. Перейти до прикладів Випуклим багатокутником називається багатокутник, всі точки якого лежать по одну сторону від будь-якої прямої, що проходить через дві його сусідні вершини.
Назад Правильні багатокутники
Основоположниками розділу математики про правильні багатокутники були давньогрецькі вчені. Одними з них були Архімед та Евклід.
Доказ існування правильного n-кутника Якщо n (кількість кутів багатокутника) більше 2, то такий багатокутник існує. Спробуємо побудувати 8-ми косинець і довести це. Доведення
Візьмемо коло довільного радіусу з центром у точці О. Розділимо його на деяку кількість рівних дуг, у нашому випадку 8. Для цього проведемо радіуси так, щоб вийшло 8 дуг, і кут між двома найближчими радіусами дорівнював 360°: кількість сторін (у нашому випадку 8), відповідно кожен кут дорівнюватиме 45°.
3. Отримуємо точки A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8. По черзі з'єднуємо їх та отримуємо правильний восьмикутник. назад
Правильний багатокутник можна побудувати, знаючи його кути. Ми знаємо, що сума кутів опуклого n-кутника дорівнює 180 ° (n - 2). На цьому можна обчислити кут багатокутника, розділивши суму на n. Кути Побудова
Кут правильного: 3-кутника дорівнює 60° 4-кутника дорівнює 90° 5-кутника дорівнює 108° 6-кутника дорівнює 120° 8-кутника дорівнює 135° 9-кутника дорівнює 140° 10-кутника дорівнює 144° 12-кутника дорівнює 1 ° Градусна міра кутів правильних трикутників Назад
Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com
У 1796 році одним з найбільших математиків всіх часів Карл Фрідріх Гаус показав можливість побудови правильних n-кутників, якщо виконується рівність, де n - кількість кутів, а k-будь-яке натуральне число. Тим самим вийшло, що в межах 30 можливе розподіл кола на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30 рівних частин. У 1836 році Ванцель довів, що правильні багатокутники, що не задовольняють цій рівності за допомогою лінійки та циркуля побудувати не можна. Теорема Гауса
Побудова трикутника Побудуємо коло з центром у точці О. Побудуємо ще одне коло того ж радіуса, що проходить через точку О.
3. З'єднаємо центри кіл і одну з точок їх перетину, отримавши правильний багатокутник. Назад Побудова трикутника
Побудова шестикутника 1. Побудуємо коло із центром у точці О. 2. Проведемо пряму лінію через центр кола. 3. Проведемо дугу кола того ж радіуса з центром у точці перетину прямої з колом до перетину з колом.
4. Проведемо прямі через центр початкового кола та точки перетину дуги з цим колом. 5. З'єднуємо точки перетину всіх прямих з вихідним колом та отримуємо правильний шестикутник. Побудова шестикутника
Побудова чотирикутника Побудуємо коло з центром у точці О. Проведемо 2 взаємно перпендикулярні діаметри. З точок у яких діаметри стосуються кола проводимо інші кола даного радіусу до їх перетину (кіл).
Побудова чотирикутника 4. Проводимо прямі через точки перетину кіл. 5. З'єднуємо точки перетину прямих та кола та отримуємо правильний чотирикутник.
Побудова восьмикутника Можна побудувати будь-який правильний багатокутник, у якого в 2 рази більше кутів, ніж у цього. Побудуємо восьмикутник за допомогою чотирикутника. З'єднаємо протилежні вершини чотирикутника. Проведемо бісектриси кутів утворених діагоналі, що перетинаються.
4. З'єднаємо точки, що лежать на колі, отримавши при цьому правильний восьмикутник. Побудова восьмикутника
Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com
Побудова десятикутника Побудуємо коло з центром у точці О. Проведемо 2 взаємно перпендикулярні діаметри. Розділимо радіус кола навпіл і з точки, що вийшла на ньому, проведемо коло проходить через точку Про.
Побудова десятикутника 4. Проведемо відрізок із центру маленького кола до точки, в якій велике коло стосується свого радіусу. 5. З точки дотику великого кола та його радіусу проведемо коло так, що він стикатиметься з маленьким.
Побудова десятикутника 6. З точок перетину великого та отриманого кіл проведемо кола побудовані минулого разу і так будемо проводити доти, доки сусідні кола не стикнуться. 7. З'єднаємо точки та отримаємо десятикутник.
Для побудови правильного п'ятикутника потрібно під час побудови правильного десятикутника з'єднати почергово не всі точки, а через одну.
Приблизна побудова правильного п'ятикутника методом Дюрера Побудуємо 2 кола, що проходять через центр один одного. З'єднаємо центри прямий, отримавши одну із сторін п'ятикутника. З'єднаємо точки перетину кіл.
Приблизна побудова правильного п'ятикутника методом Дюрера 4. Проведемо ще одне коло того ж радіуса з центром у точці перетину двох інших кіл. 5. Проведемо 2 відрізки як зазначено на малюнку.
Приблизна побудова правильного п'ятикутника методом Дюрера 6. З'єднаємо точки зіткнення цих відрізків з колами з кінцями збудованої сторони п'ятикутника. 7. Добудуємо до п'ятикутника.
Приблизна побудова правильного п'ятикутника методами Коваржика, Біона
У кресленні часто потрібно будувати позитивні багатокутники. Так, скажімо, позитивні восьмикутникивикористовуються на щитах дорожніх знаків.
Вам знадобиться
1. Нехай заданий відрізок, що дорівнює довжині сторони бажаного восьмикутника. Потрібно звести правильний восьмикутник. Першим кроком побудуйте рівнобедрений трикутник на заданому відрізку, застосовуючи відрізок як основу. Для цього спочатку побудуйте квадрат зі стороною, яка дорівнює відрізку, проведіть у ньому діагоналі. Зараз побудуйте бісектриси кутів при діагоналях (на малюнку бісектриси вказані синім), на перетині бісектрис утворюється вершина рівнобедреного трикутника, сторони якого рівні радіусу кола, описаного навколо вірного восьмикутника.
2. Побудуйте коло з центром у вершині трикутника. Радіус кола дорівнює стороні трикутника. Зараз розведіть циркуль на відстань, що дорівнює величині заданого відрізка. Відкладіть цю відстань на колі, починаючи від кінця відрізка. Об'єднайте всі отримані точки у восьмикутник.
3. Якщо ж задане коло, в яке має бути вписаний восьмикутник, то побудови будуть ще простішими. Побудуйте дві перпендикулярні один одному осьові лінії, що проходять через центр кола. На перетині осьових та кола вийдуть чотири вершини майбутнього восьмикутника. Залишилося поділити відстань між цими точками на дузі кола навпіл, щоб отримати ще чотири вершини.
Вірний трикутник- Той, у якого всі сторони володіють ідентичною довжиною. Виходячи з цього визначення, побудова подібного різновиду трикутника є неважким завданням.
Вам знадобиться
1. Взяти аркуш чистого паперу, розлиненого в клітинку, лінійку і помітити на папері три точки так, щоб вони знаходилися на ідентичній один від одного відстані (рис.1)
2. За допомогою лінійки об'єднати помічені на аркуші точки східчасто, один за одним так, як це показано на малюнку 2.
Зверніть увагу!
У правильному (рівносторонньому) трикутнику всі кути дорівнюють 60 градусам.
Корисна порада
Рівносторонній трикутник також є і рівнобедреним. Якщо трикутник рівнобедрений, це означає, що з 3-х його сторін рівні, а третя сторона вважається основою. Будь-який позитивний трикутник є рівнобедреним, тоді як зворотна заява неправильна.
Восьмикутник– це, за своєю суттю, два квадрати, зміщені щодо один одного на 45° і об'єднані на вершинах цільною лінією. А тому, щоб позитивно зобразити таку геометричну фігуру, необхідно жорстким олівцем дуже охайно, за правилами накреслити квадрат або коло, з якими і проводити наступні події. Виклад орієнтований на довжину сторони, що дорівнює 20 см. Отже, при розташуванні креслення розглядайте, щоб вертикальна і горизонтальна лінії завдовжки 20 см уміщалися на аркуші паперу.
Вам знадобиться
1. Метод 1. Накресліть внизу горизонтальну лінію довжиною 20 см. Після цього з одного боку підмітьте транспортиром прямий кут, що становить 90°. Те ж саме можна зробити за допомогою прямого трикутника. Проведіть вертикальну лінію і відмітьте 20 см. Виконайте ті ж маніпуляції з іншого боку. Поєднайте дві отримані точки горизонтальною лінією. У результаті вийшла геометрична фігура- Квадрат.
2. Для того щоб звести 2-й (зміщений) квадрат, буде потрібно центр фігури. Для цього поділіть будь-яку сторону квадрата на 2 частини. Поєднайте спочатку 2 точки паралельних верхньої та нижньої сторін, а потім точки бічних сторін. Проведіть через центр квадрата 2 прямі лінії, перпендикулярні один до одного. Починаючи від центру, відміряйте на нових прямих довжину по 10 см, що в результаті дасть 4 прямі лінії. Об'єднайте 4 отримані зовнішні точки між собою, у результаті вийде 2-й квадрат. Зараз будь-яку точку з 8 отриманих кутів поєднайте між собою. Таким чином, буде накреслено восьмикутник.
3. Метод 2. Для цього знадобиться циркуль, лінійка та транспортир. Від центру аркуша за допомогою циркуля накресліть коло діаметром 20 см (радіус 10 см). Через центральну точку проведіть пряму лінію. Після цього накресліть другу перпендикулярну їй лінію. Те ж саме можна виконати за допомогою транспортира або прямого трикутника. У результаті коло буде поділено на 4 рівні частини. Далі кожен із секцій поділіть ще на 2 частини. Для цього також можна скористатися транспортиром, відміряючи 45 ° або прямокутним трикутником, який прикладете гострим кутом в 45 ° і проведіть промені. Від центру на будь-якій прямій лінії відміряйте по 10 см. У результаті вийдуть 8 «промінчиків», які об'єднаєте між собою. У результаті вийде восьмикутник.
4. Метод 3. Для цього накресліть коло, проведіть через середину лінію. Після цього візьміть транспортир, поставте його на центр і відміряйте кути, розглядаючи, що кожна секція восьмикутника має в центрі кут 45°. Після цього на отриманих променях відміряйте довжину 10 см. і об'єднайте їх між собою. Восьмикутникготовий.
Корисна порада
Робіть креслення твердим олівцем, побічні лінії на якому після цього легко можна видалити
Вірний восьмикутник - це геометрична фігура, у якої кожен кут становить 135?, І всі сторони між собою рівні. Ця фігура дуже часто використовується в архітектурі, наприклад, при будівництві колон, а також при виготовленні дорожнього знака STOP. Як намалювати позитивний восьмикутник?
Вам знадобиться
1. Намалюйте спочатку квадрат. Після цього проведіть коло так, щоб квадрат опинився всередині кола. Зараз проведіть дві осьові серединні лінії квадрата – горизонтальну та вертикальну до перетину з колом. Об'єднайте прямими відрізками точки перетину осей з колом і точки дотику описаного кола з квадратом. Таким чином, отримайте сторони правильного восьмикутника.
2. Намалюйте правильний восьмикутник іншим способом. Спочатку накресліть коло. Після цього проведіть горизонтальну лінію через її центр. Позначте точку перетину крайньої правої межі кола з горизонталлю. Ця точка буде центром ще одного кола, радіусом рівним попередньої фігури.
3. Проведіть вертикальну лінію через точки перетину 2-го кола з першою. Поставте ніжку циркуля в точку перетину вертикалі з горизонталлю і накресліть невелике коло радіусом, що дорівнює відстані від центру крихітного кола до центру початкового кола.
4. Накресліть пряму лінію через дві точки – центр початкового кола та точку перетину вертикалі та крихітного кола. Продовжіть її до перетину з кордоном початкової фігури. Це буде точка вершини восьмикутника. Циркулем позначте ще одну точку, провівши коло з центром в точці перетину крайньої правої межею початкового кола з горизонталлю і радіусом, що дорівнює відстані від центру до вже наявної вершини восьмикутника.
5. Проведіть пряму лінію через дві точки – центр початкового кола та останню новостворену точку. Продовжуйте пряму лінію до перетину з межами первісної фігури.
6. Об'єднайте прямими відрізками ступінчасто: точку перетину горизонталі з правою межею початкової фігури, після цього за годинниковою стрілкою всі точки, що утворилися, включаючи точки перетину осей з початковим колом.
Відео на тему
Побудова вписаного в коло правильного шестикутника.Побудова шестикутника полягає в тому, що сторона його дорівнює радіусу описаного кола. Тому для побудови достатньо розділити коло на шість рівних частин і з'єднати знайдені точки між собою (фіг. 60 а).
Правильний шестикутник можна побудувати, користуючись рейсшиною та косинцем 30X60°. Для виконання цієї побудови приймаємо горизонтальний діаметр кола за бісектрису кутів 1 і 4 (фіг. 60 б), будуємо сторони 1 -6, 4-3, 4-5 і 7-2, після чого проводимо сторони 5-6 і 3- 2.
Побудова вписаного в коло рівностороннього трикутника. Вершини такого трикутника можна побудувати за допомогою циркуля та косинця з кутами 30 і 60° або тільки одного циркуля.
Розглянемо два способи побудови вписаного в коло рівностороннього трикутника.
Перший спосіб(фіг. 61,a) заснований на тому, що всі три кути трикутника 7, 2, 3 містять по 60°, а вертикальна пряма, проведена через точку 7, є одночасно висотою і бісектрисою кута 1. Так як кут 0-1- 2 дорівнює 30 °, то для знаходження сторони
1-2 досить побудувати по точці 1 і стороні 0-1 кут 30°. Для цього встановлюємо рейсшину та косинець так, як це показано на фігурі, проводимо лінію 1-2, яка буде однією зі сторін шуканого трикутника. Щоб побудувати бік 2-3, встановлюємо рейсшину в положення, показане штриховими лініями, і через точку 2 проводимо пряму, яка визначить третю вершину трикутника.
Другий спосібзаснований на тому, що якщо побудувати правильний шестикутник, вписаний в коло, а потім з'єднати його вершини через одну, то вийде рівносторонній трикутник.
Для побудови трикутника (фіг. 61 б) намічаємо на діаметрі вершину-точку 1 і проводимо діаметральну лінію 1-4. Далі з точки 4 радіусом, рівним D/2, описуємо дугу до перетину з колом у точках 3 і 2. Отримані точки будуть двома іншими вершинами шуканого трикутника.
Побудова квадрата, вписаного в коло. Цю будову можна виконати за допомогою косинця та циркуля.
Перший спосіб заснований на тому, що квадрати діагоналі перетинаються в центрі описаного кола і нахилені до його осях під кутом 45°. Виходячи з цього, встановлюємо рейсшину та косинець з кутами 45° так, як це показано на фіг. 62 а, і відзначаємо точки 1 і 3. Далі через ці точки проводимо за допомогою рейсшини горизонтальні сторони квадрата 4-1 і 3-2. Потім за допомогою рейсшини по катету косинця проводимо вертикальні сторони квадрата 1-2 та 4-3.
Другий спосіб заснований на тому, що вершини квадрата ділять навпіл дуги кола, укладені між кінцями діаметра (фіг. 62 б). Намічаємо на кінцях двох взаємно перпендикулярних діаметрів точки А, В і С і з них радіусом описуємо дуги до взаємного їх перетину.
Далі через точки перетину дуг проводимо допоміжні прямі, відзначені на фігурі суцільними лініями. Крапки їх перетину з колом визначать вершини 1 та 3; 4 і 2. Отримані таким чином вершини квадрата, що шукається, з'єднуємо послідовно між собою.
Побудова вписаного в коло правильного п'ятикутника.
Щоб вписати в коло правильний п'ятикутник (фіг. 63), робимо такі побудови.
Намічаємо на колі точку 1 і приймаємо її за одну з вершин п'ятикутника. Ділимо відрізок АТ навпіл. Для цього радіусом АТ з точки А описуємо дугу до перетину з колом у точках M і В. З'єднавши ці точки прямий, отримаємо точку К, яку з'єднуємо потім з точкою 1. Радіусом, рівним відрізку A7, описуємо з точки До дугу до перетину з діаметральною лінією АТ у точці H. З'єднавши точку 1 з точкою H, отримаємо бік п'ятикутника. Потім розчином циркуля, рівним відрізку 1H, описавши дугу з вершини 1 до перетину з колом, знайдемо вершини 2 і 5. Зробивши тим самим розчином циркуля засічки з вершин 2 і 5, отримаємо решту вершин 3 і 4. Знайдені точки послідовно з'єднуємо між собою.
Побудова правильного п'ятикутника з цієї стороні.
Для побудови правильного п'ятикутника з даної стороні (фіг. 64) ділимо відрізок AB на шість рівних частин. З точок А і В радіусом AB описуємо дуги, перетин яких дасть точку К. Через цю точку і розподіл 3 на прямий AB проводимо вертикальну пряму.
Отримаємо точку 1-вершину п'ятикутника. Потім радіусом, що дорівнює АВ, з точки 1 описуємо дугу до перетину з дугами, раніше проведеними з точок А і В. Точки перетину дуг визначають вершини п'ятикутника 2 і 5. Знайдені вершини з'єднуємо послідовно між собою.
Побудова вписаного в коло правильного семикутника.
Нехай дано коло діаметра D; потрібно вписати до неї правильний семикутник (фіг. 65). Ділимо вертикальний діаметр кола на сім рівних частин. З точки 7 радіусом, що дорівнює діаметру кола D, описуємо дугу до перетину з продовженням горизонтального діаметра в точці F. Точку F назвемо полюсом багатокутника. Прийнявши точку VII за одну з вершин семикутника, проводимо з полюса F через парні поділки вертикального діаметра промені, перетин яких з колом визначать вершини VI, V і IV семикутника. Для отримання вершин / - // - /// З точок IV, V і VI проводимо до перетину з колом горизонтальні прямі. Знайдені вершини послідовно з'єднуємо між собою. Семикутник може бути побудований шляхом проведення променів із полюса F і через непарні поділки вертикального діаметра.
Наведений спосіб придатний для побудови правильних багатокутників із будь-яким числом сторін.
Розподіл кола на будь-яке число рівних частин можна проводити також, користуючись даними табл. 2, в якій наведені коефіцієнти, що дають можливість визначати розміри сторін правильних багатокутників вписаних.
