Прямокутні числа піфагору. Сучасні наукомісткі технології

Піфагорові трійки чисел

Творча робота

учня 8 ”A”класу

МАОУ "Гімназія №1"

Жовтневого району м. Саратова

Панфілова Володимира

Керівник – учитель математики вищої категорії

Гришина Ірина Володимирівна

Зміст

Вступ……………………………………………………………………………………3

Теоретична частина роботи

Знаходження основного трикутника Піфагорова

(Формули древніх індусів)………………………………………………………………4

Практична частина роботи

Складання піфагорових трійок у різний спосіб……………………........6

Важлива властивість піфагорових трикутників……………………………………...8

Заключение………………………………………………………………………………....9

Література….……………………………………………………………………………...10

Вступ

У цьому навчальному році під час уроків математики ми вивчили одну з найпопулярніших теорем геометрії – теорему Піфагора. Теорема Піфагора застосовується в геометрії на кожному кроці, вона знайшла широке застосування у практиці та повсякденному житті. Але, крім самої теореми, ми вивчили і теорему, зворотну до теореми Піфагора. У зв'язку з вивченням цієї теореми, ми відбулося знайомство з піфагоровими трійками чисел, тобто. з наборами із 3-х натуральних чиселa , b іc , Для яких справедливе співвідношення: = + . До таких наборів відносять, наприклад, такі трійки:

3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 20,21,29; 9,40,41; 12,35,37

У мене відразу виникли питання: а скільки піфагорових трійок можна вигадати? А як їх складати?

У нашому підручнику геометрії після викладу теореми, зворотній теоремі Піфагора, було зроблено важливе зауваження: можна довести, що катетиа іb та гіпотенузаз прямокутних трикутників, довжини сторін яких виражаються натуральними числами, можна знаходити за формулами:

а = 2kmn b = k ( - ) c = k ( + , (1)

деk , m , n - будь-які натуральні числа, причомуm > n .

Звісно, постає питання – як довести дані формули? І чи тільки за цими формулами можна складати піфагорові трійки?

У своїй роботі я здійснив спробу відповісти на питання, що виникли в мене.

Теоретична частина роботи

Знаходження основного Піфагорова трикутника (формули стародавніх індусів)

Спочатку доведемо формули (1):

Позначимо довжини катетів черезх іу , а довжину гіпотенузи черезz . За теоремою Піфагора маємо рівність:+ = .(2)

Це рівняння називають рівнянням Піфагора. Дослідження піфагорових трикутників зводиться до розв'язання у натуральних числах рівняння (2).

Якщо кожну сторону деякого піфагорового трикутника збільшити в те саме число разів, то отримаємо новий прямокутний трикутник, подібний даному зі сторонами, вираженими натуральними числами, тобто. знову піфагорів трикутник.

Серед усіх подібних трикутників є найменший, легко здогадатися, що це буде трикутник, сторони якогох іу виражаються взаємно простими числами

(НОД (х,у )=1).

Такий піфагорів трикутник назвемоосновним .

Знаходження основних піфагорових трикутників.

Нехай трикутник (x , y , z ) - Основний піфагорів трикутник. Числах іу - Взаємно прості, і тому не можуть бути обидва парними. Доведемо, що вони не можуть бути обома і непарними. Для цього зауважимо, щоквадрат непарного числа при розподілі на 8 дає у залишку 1. Насправді, будь-яке непарне натуральне число можна подати у вигляді2 k -1 , деk належитьN .

Звідси: = -4 k +1 = 4 k ( k -1)+1.

Числа( k -1) іk - Послідовні, одне з них обов'язково парне. Тоді виразk ( k -1) ділиться на2 , 4 k ( k -1) ділиться на 8, отже, число при розподілі на 8 дає у залишку 1.

Сума квадратів двох непарних чисел дає при розподілі на 8 у залишку 2, отже, сума квадратів двох непарних чисел є число парне, але не кратне 4, а тому це числоможе бути квадратом натурального числа.

Отже, рівність (2) не може мати місця, якщоx іу обидва непарні.

Таким чином, якщо піфагорів трикутник (х, у, z ) - основний, то серед чиселх іу одне має бути парним, а інше – непарним. Нехай число у є парним. Числах іz непарні (непарністьz випливає з рівності (2)).

З рівняння+ = отримуємо, що= ( z + x )( z - x ) (3).

Числаz + x іz - x як сума та різниця двох непарних чисел – числа парні, а тому (4):

z + x = 2 a , z - x = 2 b , деа іb належатьN .

z + x =2 a , z - x = 2 b ,

z = a+b , x = a - b. (5)

З цих рівностей випливає, щоa іb - Взаємно прості числа.

Доведемо це, розмірковуючи від неприємного.

Нехай НОД (a , b )= d , деd >1 .

Тодіd z іx , а отже, і чиселz + x іz - x . Тоді на підставі рівності (3) було б дільником числа . В такому випадкуd був би спільним дільником чиселу іх , але числау іх мають бути взаємно простими.

Числоу , як відомо, парне, томуу = 2с , дез - натуральне число. Рівність (3) на підставі рівності (4) набуває такого вигляду: =2а*2 b , або = ab.

З арифметики відомо, щоякщо добуток двох взаємно простих чисел є квадратом натурального числа, кожна з цих чисел також є квадратом натурального числа.

Значить,а = іb = , деm іn - Взаємно прості числа, т.к. вони є дільниками взаємно простих чисела іb .

На підставі рівності (5) маємо:

z = + , x = - , = ab = * = ; з = mn

Тодіу = 2 mn .

Числаm іn , т.к. є взаємно простими, неможливо знайти одночасно парними. Але й непарними одночасно не можуть, т.к. в цьому випадкух = - було б парним, що неможливо. Отже, одне з чисел,m абоn парно, а інше непарно. Очевидно,у = 2 mn ділиться на 4. Отже, у кожному основному трикутнику піфагорів хоча б один з катетів ділиться на 4. Звідси випливає, що немає піфагорових трикутників, всі сторони якого були б простими числами.

Отримані результати можна виразити у вигляді наступної теореми:

Усі основні трикутники, в якиху є парним числом, що виходять з формули

х = - , y =2 mn , z = + ( m > n ), деm іn – всі пари взаємно простих чисел, у тому числі одне є парним, інше непарним (байдуже, яке). Кожна основна піфагорова трійка (х, у, z ), деу - парне, - визначається цим способом однозначно.

Числаm іn неможливо знайти обидва парними чи обидва непарними, т.к. у цих випадках

х = були б парними, що неможливо. Отже, одне із чиселm абоn парно, а інше непарно (y = 2 mn ділиться на 4).

Практична частина роботи

Складання піфагорових трійок різними способами

У формулах індусівm іn - Взаємно прості, але можуть бути числами довільної парності і складати піфагорові трійки за ними досить важко. Тому спробуємо знайти інший підхід до складання піфагорових трійок.

= - = ( z - y )( z + y ), дех - непарне,y - парне,z - непарне

v = z - y , u = z + y

= uv , деu - непарне,v - непарне (взаємно прості)

Т.к. добуток двох непарних взаємно простих чисел є квадратом натурального числа, тоu = , v = , деk іl - Взаємно прості, непарні числа.

z - y = z + y = k 2 , звідки, складаючи рівності та віднімаючи з одного інше, отримуємо:

2 z = + 2 y = - тобто

z = y = x = kl

41 (sнулів)*(100…0 (sнулів) +1)+1 =200…0 (s-1нулів) 200…0 (s-1нулів) 1

Важлива властивість піфагорових трикутників

Теорема

В основному піфагоровому трикутнику один з катетів обов'язково ділиться на 4 один з катетів обов'язково ділиться на 3 і площа піфагорового трикутника обов'язково кратна 6.

Доведення

Як нам відомо, у кожному піфагоровому трикутнику хоча б один із катетів ділиться на 4.

Доведемо, що з катетів ділиться і 3.

Для доказу припустимо, що в піфагоровому трикутнику (x , y , z x абоy кратно 3.

Тепер доведемо, що площа піфагорового трикутника поділяється на 6.

Кожен піфагорів трикутник має площу, що виражається натуральним числом, кратним 6. Це випливає з того, що хоча б один з катетів ділиться на 3 і хоча б один з катетів ділиться на 4. Площа трикутника, що визначається напівтвором катетів, повинна виражатися числом, кратним 6 .

Висновок

В роботі

- доведено формули стародавніх індусів

-проведено дослідження на кількість піфагорових трійок (їх нескінченно багато)

-зазначені способи знаходження піфагорових трійок

-Вивчені деякі властивості піфагорових трикутників

Для мене це була дуже цікава тема, і знаходити відповіді на мої запитання стало дуже цікавим заняттям. Надалі я планую розглянути зв'язок піфагорових трійок з послідовністю Фібоначчі та теоремою Ферма та дізнатися ще багато властивостей піфагорових трикутників.

Література

Л.С. Атанасян "Геометрія. 7-9 класи" М.: Просвітництво, 2012.

В. Серпінський "Піфагорові трикутники" М.: Учпедгіз, 1959.

Саратов

2014

Властивості

Оскільки рівняння x 2 + y 2 = z 2 однорідно, при домноженні x , yі zна те саме число вийде інша піфагорова трійка. Піфагорова трійка називається примітивноюякщо вона не може бути отримана таким способом, тобто - взаємно прості числа .

Приклади

Деякі піфагорові трійки (відсортовані за зростанням максимального числа, виділено примітивні):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Грунтуючись на властивостях чисел Фібоначчі, можна скласти з них, наприклад, такі піфагорові трійки:

Історія

Піфагорові трійки відомі дуже давно. В архітектурі давньомесопотамських надгробків зустрічається рівнобедрений трикутник, складений із двох прямокутних зі сторонами 9, 12 та 15 ліктів. Піраміди фараона Снофру (XXVII століття до н.е.) побудовані з використанням трикутників зі сторонами 20, 21 та 29, а також 18, 24 та 30 десятків єгипетських ліктів.

Див. також

Посилання

Є. А. ГорінСтупені простих чисел у складі піфагорових трійок // Математичне просвітництво. – 2008. – В. 12. – С. 105-125.

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Піфагорові числа" в інших словниках:

Трійки таких натуральних чисел, що трикутник, довжини сторін якого пропорційні (чи рівні) цим числам, є прямокутним, напр. трійка чисел: 3, 4, 5… Великий Енциклопедичний словник

Трійки таких натуральних чисел, що трикутник, довжини сторін якого пропорційні (або рівні) цим числам, є прямокутним, наприклад трійка чисел: 3, 4, 5. * * * Енциклопедичний словник

Трійки натуральних чисел таких, що трикутник, довжини сторін якого пропорційні (чи рівні) цим числам, є прямокутним. По теоремі, зворотній теоремі Піфагора (див. теорема Піфагора), для цього достатньо, щоб вони ...

Трійки цілих позитивних чисел х, у, z, що задовольняють рівняння x2 + 2 = z2. Усі рішення цього рівняння, отже, і всі П. год. виражаються формулами х=а 2 b2, y=2ab, z=a2+b2, де а, b довільні цілі позитивні числа(а> b). П. год. Математична енциклопедія

Трійки таких натуральних чисел, що трикутник, довжини сторін якого пропорційні (або рівні) цим числам, є прямокутним, напр. трійка чисел: 3, 4, 5… Природознавство. Енциклопедичний словник

У математиці піфагоровими числами (піфагорової трійкою) називається кортеж із трьох цілих чисел, що задовольняють співвідношенню Піфагора: x2 + y2 = z2. Зміст 1 Властивості 2 Приклади … Вікіпедія

Фігурні числа загальна назва чисел, пов'язаних із тією чи іншою геометричною фігурою. Це історичне поняття перегукується з піфагорійцям. Імовірно від фігурних чисел виник вираз: «Звести число квадрат або куб». Зміст… … Вікіпедія

Фігурні числа загальна назва чисел, пов'язаних із тією чи іншою геометричною фігурою. Це історичне поняття перегукується з піфагорійцям. Розрізняють такі види фігурних чисел: Лінійні числа числа, що не розкладаються на помножувачі, тобто їх ... Вікіпедія

- «Парадокс числа пі» жарт на тему математики, що мав ходіння серед студентів до 80-х років (фактично, до масового поширення мікрокалькуляторів) і був пов'язаний з обмеженою точністю обчислень тригонометричних функцій і ... Вікіпедія

- (грец. arithmetika, від arithmys число) наука про числа, в першу чергу про натуральні (цілі позитивні) числа і (раціональні) дроби, і дії над ними. Володіння досить розвиненим поняттям натурального числа та вміння. Велика Радянська Енциклопедія

Книги

Архімедове літо, або Історія співдружності юних математиків. Двійкова система числення, Бобров Сергій Павлович. Двійкова система числення, "Ханойська вежа", хід коня, магічні квадрати, арифметичний трикутник, фігурні числа, поєднання, поняття про ймовірності, стрічка Мебіуса та пляшка Клейна.

Вивчення властивостей натуральних чисел призвело піфагорійців до ще однієї «вічної» проблеми теоретичної арифметики (теорії чисел) - проблеми, паростки якої пробивалися задовго до Піфагора Стародавньому Єгиптіі Стародавньому Вавилоні, а загальне рішення не знайдено й досі. Почнемо із завдання, яке в сучасних термінах можна сформулювати так: розв'язати в натуральних числах невизначене рівняння

Сьогодні це завдання називається завданням Піфагораа її рішення - трійки натуральних чисел, що задовольняють рівнянню (1.2.1), - називаються піфагоровими трійками. В силу очевидного зв'язку теореми Піфагора із завданням Піфагора останнього можна дати геометричне формулювання: знайти всі прямокутні трикутники з цілими катетами x, yі цілою гіпотенузою z.

Приватні рішення завдання Піфагора були відомі в давнину. У папірусі часів фараона Аменемхета I (бл. 2000 до н. е.), що зберігається в Єгипетському музеї в Берліні, ми знаходимо прямокутний трикутник із ставленням сторін (). На думку найбільшого німецького історика математики М. Кантора (1829 – 1920), у Давньому Єгипті існувала особлива професія гарпедонаптів- «натягувачів мотузок», які під час урочистої церемонії закладання храмів та пірамід розмічали прямі кути за допомогою мотузки, що має 12 (= 3 + 4 + 5) рівновіддалених вузлів. Спосіб побудови прямого кута гарпедонаптами очевидний малюнку 36.

Треба сказати, що з Кантором категорично не згоден інший знавець давньої математики – ван дер Варден, хоча самі пропорції давньоєгипетської архітектури свідчать на користь Кантора. Як би там не було, сьогодні прямокутний трикутник із ставленням сторін називається єгипетським.

Як зазначалося на с. 76, збереглася глиняна табличка, що відноситься до давньовавилонської доби і містить 15 рядків піфагорових трійок. Крім тривіальної трійки, одержуваної з єгипетської (3, 4, 5) множенням на 15 (45, 60, 75), тут є і дуже складні піфагорові трійки, такі, як (3367, 3456, 4825) і навіть (12700, 13) 18541)! Немає жодних сумнівів, що ці числа були знайдені не простим перебором, а за єдиними правилами.

Проте питання про загальне рішення рівняння (1.2.1) в натуральних числах було поставлене і вирішене тільки піфагорійцями. Загальна постановка будь-якої математичної задачі була далека як древнім єгиптянам, і стародавнім вавилонянам. Тільки з Піфагора починається становлення математики як дедуктивної науки, і одним із перших кроків на цьому шляху було вирішення завдання про піфагорові трійки. Перші рішення рівняння (1.2.1) антична традиція пов'язує з іменами Піфагора та Платона. Спробуймо реконструювати ці рішення.

Зрозуміло, що рівняння (1.2.1) Піфагор мислив над аналітичної формі, а вигляді квадратного числа , всередині якого треба було знайти квадратні числа і . Число природно було подати у вигляді квадрата зі стороною yна одиницю менше за сторону zвихідного квадрата, тобто. Тоді, як легко бачити з малюнка 37 (саме бачити!), для квадратного числа, що залишилося, повинна виконуватися рівність . Таким чином, ми приходимо до системи лінійних рівнянь

Складаючи та віднімаючи ці рівняння, знаходимо рішення рівняння (1.2.1):

Легко переконатися, що отримане рішення дає натуральні числа лише за непарних . Таким чином, остаточно маємо

І т. д. Це рішення традиція пов'язує з ім'ям Піфагора.

Зауважимо, що система (1.2.2) може бути отримана формально з рівняння (1.2.1). Справді,

звідки, вважаючи, приходимо до (1.2.2).

Зрозуміло, що рішення Піфагора знайдено за досить жорсткого обмеження () і містить далеко не всі піфагорові трійки. Наступним кроком можна покласти тоді, тому що тільки в цьому випадку буде квадратним числом. Так виникає система також буде піфагорової трійкою. Тепер може бути доведена основна

Теорема.Якщо pі qвзаємно прості числа різної парності, то всі примітивні піфагорові трійки знаходяться за формулами

Властивості

Приклади

Деякі піфагорові трійки (відсортовані за зростанням максимального числа, виділено примітивні):

Історія

X Всеросійський симпозіум з прикладної та промислової математики. Санкт-Петербург, 19 травня 2009р.

Алгоритм рішення Діофантових рівнянь.

У роботі розглянуто метод дослідження Діофантових рівнянь та представлені вирішені цим методом: - велика теорема Ферма; - пошук Піфагорових трійок і т.д. http://referats.protoplex.ru/referats_show/6954.html

Посилання

Є. А. ГорінСтупені простих чисел у складі піфагорових трійок // Математичне просвітництво. – 2008. – В. 12. – С. 105-125.

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Піфагорові трійки" в інших словниках:

У математиці піфагоровими числами (піфагорової трійкою) називається кортеж із трьох цілих чисел, що задовольняють співвідношенню Піфагора: x2 + y2 = z2. Зміст 1 Властивості … Вікіпедія

Трійки цілих позитивних чисел х, у, z, що задовольняють рівняння x2 + 2 = z2. Усі рішення цього рівняння, отже, і всі П. год. виражаються формулами х=а 2 b2, y=2ab, z=a2+b2, де а, b довільні цілі позитивні числа (а>b). П. год. Математична енциклопедія

У математиці піфагорової трійкою називається кортеж із трьох натуральних чисел, що задовольняють співвідношенню Піфагора: При цьому числа, що утворюють піфагорову трійку, називаються піфагоровими числами. Зміст 1 Примітивні трійки … Вікіпедія

Теорема Піфагора одна з основних теорем евклідової геометрії, що встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Зміст 1 … Вікіпедія

Теорема Піфагора одна з основних теорем евклідової геометрії, що встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. 1 Формулювання 2 Докази … Вікіпедія

Це рівняння виду, де P цілочислова функція (наприклад, поліном з цілими коефіцієнтами), а змінні приймають цілі значення. Названо на честь давньогрецького математика Діофанта. Зміст 1 Приклади … Вікіпедія

Білотелов В.А. Піфагорові трійки та їх кількість // Енциклопедія Нестерових

Ця стаття є відповіддю одному професору – щипалеві. Дивися, професоре, як це у нас на селі роблять.

Нижегородська область, м. Заволжя.

Потрібне знання алгоритму розв'язання діофантових рівнянь (АРДУ) та знання прогресій багаточленів.

ПЧ – просте число.

СЧ – складова кількість.

Нехай є число N непарне. Для будь-якого непарного числа, крім одиниці, можна скласти рівняння.

р 2 + N = q 2

де р + q = N, q - р = 1.

Наприклад, для чисел 21 та 23 рівняннями будуть, -

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

Якщо число N просте, це рівняння єдине. Якщо число N складене, тоді можна скласти подібних рівнянь за кількістю пар співмножників, що представляють це число, включаючи 1 x N.

Візьмемо число N = 45 -

1 х 45 = 45, 3 х 15 = 45, 5 х 9 = 45.

Мріялося, а чи не можна вчепившись за цю різницю між ПЧ і СЧ знайти метод їх ідентифікації.

Введемо позначення;

Змінимо нижнє рівняння, -

N = 2 – а 2 = (в – а)(в + а).

Згрупуємо величини N за ознакою - а, тобто. складемо таблицю.

Числа N були зведені в матрицю, -

Саме під це завдання довелося розбиратися з прогресіями багаточленів та їх матрицями. Все виявилося даремно – ПЧ оборону тримають потужно. Давайте в таблицю 1 введемо стовпець, де - а = 1 (q - р = 1).

І ще раз. Таблиця 2 вийшла внаслідок спроби розв'язання задачі про ідентифікацію ПЛ та СЧ. З таблиці слід, що з будь-якого числа N, існує стільки рівнянь виду а 2 + N = в 2 , скільки пар співмножників можна розбити число N, включаючи сомножитель 1 х N. Крім чисел N = ℓ 2 , де

ℓ - ПЧ. Для N = ℓ 2 де ℓ - ПЧ, існує єдине рівняння р 2 + N = q 2 . Про який додатковий доказ може йтися, якщо в таблиці перебрано менші множники з пар співмножників, що утворюють N, від одиниці до ∞. Таблицю 2 помістимо в скриньку, а скриньку сховаємо в комірчині.

Повернімося до теми заявленої статті.

Ця стаття є відповіддю одному професору – щипалеві.

Звернувся за допомогою, – потрібен ряд чисел, який не міг знайти в інтернеті. Напоровся на питання типу, - "а за чим?", "А покажи метод". Було зокрема завдання питання, чи нескінченна низка піфагорових трійок, "а як довести?". Не допоміг він мені. Дивися, професоре, як це у нас на селі роблять.

Візьмемо формулу піфагорових трійок, –

х 2 = у 2 + z2. (1)

Пропустимо через Арду.

Можливі три ситуації:

I. х – непарне число,

у – парне число,

z – парне число.

І є умова х> у> z.

ІІ. х – непарне число,

у – парне число,

z – непарне число.

х > z > в.

III.х - парне число,

у – непарне число,

z – непарне число.

х > у > z.

Почнемо по порядку із I.

Введемо нові змінні

Підставимо до рівняння (1).

Скоротимо на меншу змінну 2γ.

(2α – 2γ + 2к + 1) 2 = (2β – 2γ + 2к) 2 + (2к + 1) 2 .

Скоротимо на менше змінне 2β – 2γ з одночасним введенням нового параметра ƒ, -

(2α – 2β + 2ƒ + 2к + 1) 2 = (2ƒ + 2к) 2 + (2к + 1) 2 (2)

Тоді 2α – 2β = х – у – 1.

Рівняння (2) набуде вигляду, –

(х - у + 2 + 2к) 2 = (2 + 2к) 2 + (2к + 1) 2

Зведемо у квадрат, -

(х – у) 2 + 2(2ƒ + 2к)(х – у) + (2ƒ + 2к) 2 = (2ƒ + 2к) 2 + (2к + 1) 2 ,

(х - у) 2 + 2 (2 + 2к) (х - у) - (2к + 1) 2 = 0. (3)

АРДУ дає через параметри співвідношення між старшими членами рівняння тому ми отримали рівняння (3).

Чи не солідно займатися підбором рішень. Але, по-перше, подітися нікуди, а по-друге, цих рішень потрібно кілька, а нескінченний ряд рішень ми зможемо відновити.

За ƒ = 1, к = 1, маємо х – у = 1.

За ƒ = 12, к = 16, маємо х – у = 9.

За ƒ = 4, к = 32, маємо х – у = 25.

Підбирати можна довго, але зрештою ряд набуде вигляду, -

х - у = 1, 9, 25, 49, 81, ….

Розглянемо варіант II.

Введемо до рівняння (1) нові змінні

(2α + 2к + 1) 2 = (2β + 2к) 2 + (2γ + 2к + 1) 2 .

Скоротимо на менше змінне 2 β, -

(2α – 2β + 2к + 1) 2 = (2α – 2β + 2к+1) 2 + (2к) 2 .

Скоротимо на меншу змінну 2α – 2β, –

(2α – 2γ + 2ƒ + 2к + 1) 2 = (2ƒ + 2к + 1) 2 + (2к) 2 . (4)

2α – 2γ = х – z і підставимо на рівняння (4).

(х – z + 2ƒ + 2к + 1) 2 = (2ƒ + 2к + 1) 2 + (2к) 2

(х – z) 2 + 2(2ƒ + 2к + 1)(х – z) + (2ƒ + 2к + 1) 2 = (2ƒ + 2к + 1) 2 + (2к) 2 (х – z) 2 + 2(2ƒ + 2к + 1)(х – z) – (2к) 2 = 0

За ƒ = 3, к = 4, маємо х – z = 2.

За ƒ = 8, к = 14, маємо х – z = 8.

За ƒ = 3, к = 24, маємо х – z = 18.

х - z = 2, 8, 18, 32, 50, ….

Намалюємо трапецію, -

Напишемо формулу.

де n=1, 2... ∞.

Випадок ІІІ розписувати не будемо, – немає там рішень.

Для умови II набір трійок буде таким:

Рівняння (1) представлене у вигляді х 2 = z 2 + у 2 для наочності.

Для умови I набір трійок буде таким:

Загалом розписано 9 стовпців трійок, по п'ять трійок у кожному. І кожен із представлених стовпців можна писати до ∞.

Як приклад розглянемо трійки останнього стовпця, де х – у = 81.

Для величин х розпишемо трапецію, -

Напишемо формулу, -

Для величин у розпишемо трапецію, -

Напишемо формулу, -

Для величин z розпишемо трапецію, -

Напишемо формулу, -

Де n = 1 ÷ ∞.

Як і обіцяно, ряд трійок при х – у = 81 летить у ∞.

Була спроба випадків I і II побудувати матриці для величин х, у, z.

Випишемо з останніх п'яти стовпців величини х з верхніх рядків і збудуємо трапецію.

Не вийшло, а закономірність має бути квадратичною. Щоб усе було в ажурі, виявилося, що треба об'єднати стовпці І та ІІ.

У разі II величини у z знову поміняємо місцями.

Об'єднати вдалося з однієї причини, – карти добре лягли у цьому завданні, – пощастило.

Тепер можна розписати матриці для х, у, z.

Візьмемо з останніх п'яти стовпців величини х з верхніх рядків і збудуємо трапецію.

Все нормально можна будувати матриці, і почнемо з матриці для z.

Бігом у комірчину за скринькою.

Разом: Крім одиниці, кожне непарне число числової осі бере участь у освіті піфагорових трійок рівним кількості пар співмножників, що утворюють дане число N, включаючи співмножник 1 х N.

Число N = ℓ 2 де ℓ - ПЧ, утворює одну піфагорову трійку, якщо ℓ - СЧ, то на співмножниках ℓхℓ трійки не існує.

Побудуємо матриці для величин х, у.

Почнемо працювати з матрицею для х. Для цього натягнемо на неї координатну сітку із завдання з ідентифікації ПЧ та СЧ.

Нумерація вертикальних рядів нормована виразом

Перший стовпець приберемо, т.к.

Матриця набуде вигляду, -

Опишемо вертикальні ряди, -

Опишемо коефіцієнти при "а", -

Опишемо вільні члени, -

Складемо загальну формулу для "х", -

Якщо провести подібну роботу для "у", отримаємо, -

Можна підійти до цього результату з іншого боку.

Візьмемо рівняння, –

а 2 + N = 2 .

Трохи перетворимо, -

N = 2 – а 2 .

Зведемо в квадрат, -

N 2 = в 4 - 2в 2 а 2 + а 4 .

До лівої та правої частини рівняння додамо за величиною 4в 2 а 2 -

N 2 + 4в 2 а 2 = 4 + 2в 2 а 2 + а 4 .

І остаточно, –

(2 + а 2) 2 = (2ва) 2 + N 2 .

Піфагорові трійки складаються так:

Розглянемо приклад із числом N = 117.

1 х 117 = 117, 3 х 39 = 117, 9 х 13 = 117.

Вертикальні стовпці таблиці 2 пронумеровані величинами - а, тоді як вертикальні стовпці таблиці 3 пронумеровані величинами х - у.

х – у = (в – а) 2 ,

х = у + (в - а) 2 .

Складемо три рівняння.

(у + 1 2) 2 = у 2 + 117 2

(у + 3 2) 2 = у 2 + 117 2

(У + 9 2) 2 = У 2 + 117 2 .

х 1 = 6845, у 1 = 6844, z1 = 117.

х 2 = 765, у 2 = 756, z 2 = 117 (х 2 = 85, у 2 = 84, z 2 = 13).

х 3 = 125, у 3 = 44, z 3 = 117.

Співмножники 3 і 39 є взаємно простими числами, тому одна трійка вийшла з коефіцієнтом 9.

Зобразимо вище написане у загальних символах, -

У цій роботі все, включаючи приклад на розрахунок піфагорових трійок з числом

N = 117, прив'язано до меншого співмножника - а. Явна дискримінація по відношенню до співмножника + а. Виправимо цю несправедливість, - складемо три рівняння з співмножником + а.

Повернемося до питання про ідентифікацію ПЛ та СЧ.

Багато чого було здійснено в цьому напрямку і на сьогодні через руки дійшла така думка, – рівняння ідентифікації, та такого, щоб і співмножники визначити, не існує.

Допустимо знайдено співвідношення F = а, (N).

Є формула