Метод варіації постійних лінійних неоднорідних рівнянь. Метод варіації довільних постійних

Метод варіації довільної постійної, або метод Лагранжа - ще один спосіб розв'язання лінійних диференціальних рівнянь першого порядку та рівняння Бернуллі.

Лінійні диференціальні рівняння першого порядку - це рівняння виду y + p (x) y = q (x). Якщо правій частині стоїть нуль: y'+p(x)y=0, це — лінійне одноріднерівняння 1-го порядку. Відповідно, рівняння з ненульовою правою частиною, y'+p(x)y=q(x), неодноріднелінійне рівняння 1-го порядку.

Метод варіації довільної постійної (метод Лагранжа) полягає в наступному:

1) Шукаємо загальне рішення однорідного рівняння y+p(x)y=0: y=y*.

2) У загальному рішенні З вважаємо не константою, а функцією від іксу: С = С (x). Знаходимо похідну загального рішення (y*)' і в початкову умову підставляємо отриманий вираз для y* та (y*)'. З отриманого рівняння знаходимо функцію (x).

3) У загальне рішення однорідного рівняння замість З підставляємо знайдений вираз С(x).

Розглянемо приклади метод варіації довільної постійної. Візьмемо ті самі завдання, що й у порівняємо хід рішення і переконаємося, що отримані відповіді збігаються.

1) y'=3x-y/x

Перепишемо рівняння у стандартному вигляді (на відміну від методу Бернуллі, де форма запису нам потрібна була лише для того, щоб побачити, що рівняння – лінійне).

y'+y/x=3x (I). Тепер діємо за планом.

1) Вирішуємо однорідне рівняння y+y/x=0. Це рівняння з змінними, що розділяються. Представляємо y'=dy/dx, підставляємо: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Обидві частини рівняння множимо на dx і ділимо на xy≠0: dy/y=-dx/x. Інтегруємо:

2) В отриманому загальному рішенні однорідного рівняння вважатимемо С не константою, а функцією від x: С=С(x). Звідси

Отримані вирази підставляємо за умови (I):

Інтегруємо обидві частини рівняння:

тут С - вже деяка нова константа.

3) У загальне рішення однорідного рівняння y=C/x, де ми вважали С=С(x), тобто y=C(x)/x, замість С(x) підставляємо знайдений вираз x³+C: y=(x³ +C)/x або y=x²+C/x. Отримали таку ж відповідь, як і під час вирішення методом Бернуллі.

Відповідь: y=x²+C/x.

2) y'+y=cosx.

Тут рівняння вже записано у стандартному вигляді, перетворювати не треба.

1) Вирішуємо однорідне лінійне рівняння y'+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Інтегруємо:

Щоб отримати більш зручну форму запису, експоненту в мірі С приймемо за нову:

Це перетворення виконали, щоб зручніше знаходити похідну.

2) В отриманому загальному рішенні лінійного однорідного рівняння вважаємо С не константою, а функцією від x: С = С(x). За цієї умови

Отримані вирази y та y' підставляємо за умови:

Помножимо обидві частини рівняння на

Інтегруємо обидві частини рівняння за формулою інтегрування частинами, отримуємо:

Тут вже не функція, а звичайна константа.

3) У загальне рішення однорідного рівняння

підставляємо знайдену функцію С(x):

Отримали таку ж відповідь, як і під час вирішення методом Бернуллі.

Метод варіації довільної постійної застосовний і для вирішення.

y'x+y=-xy².

Наводимо рівняння до стандартного вигляду: y+i/x=-y² (II).

1) Вирішуємо однорідне рівняння y+y/x=0. dy/dx=-y/x. Множимо обидві частини рівняння на dx і ділимо на y: dy/y=-dx/x. Тепер інтегруємо:

Підставляємо отримані вирази за умови (II):

Спрощуємо:

Отримали рівняння з змінними щодо С і x:

Тут С вже звичайна константа. У процесі інтегрування писали замість (x) просто З, щоб не перевантажувати запис. А наприкінці повернулися до С(x), щоб не плутати С(x) із новою С.

3) У загальне рішення однорідного рівняння y=C(x)/x підставляємо знайдену функцію С(x):

Отримали таку ж відповідь, що і при вирішенні способом Бернуллі.

Приклади для самоперевірки:

1. Перепишемо рівняння у стандартному вигляді: y'-2y = x.

1) Вирішуємо однорідне рівняння y'-2y = 0. y'=dy/dx, звідси dy/dx=2y, множимо обидві частини рівняння на dx, ділимо на y та інтегруємо:

Звідси знаходимо y:

Вирази для y і y' підставляємо в умову (для стислості живитимемо С замість С(x) і С' замість C"(x)):

Для знаходження інтеграла у правій частині застосовуємо формулу інтегрування частинами:

Тепер підставляємо u, du та v у формулу:

Тут З = const.

3) Тепер підставляємо у вирішення однорідного

Розглянемо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння першого порядку:
(1) .
Існує три способи розв'язання цього рівняння:

метод постійної варіації (Лагранжа).

Розглянемо рішення лінійного диференціального рівняння першого ладу методом Лагранжа.

Метод варіації постійної (Лагранжа)

У методі постійної варіації ми вирішуємо рівняння в два етапи. На першому етапі ми спрощуємо вихідне рівняння та вирішуємо однорідне рівняння. З другого краю етапі замінимо постійну інтегрування, отриману першої стадії рішення, на функцію. Після цього шукаємо загальне рішення вихідного рівняння.

Розглянемо рівняння:
(1)

Крок 1 Вирішення однорідного рівняння

Шукаємо рішення однорідного рівняння:

Це рівняння з змінними, що розділяються

Розділяємо змінні - множимо на dx, ділимо на y:

Інтегруємо:

Інтеграл по y-табличний:

Тоді

Потенціюємо:

Замінимо постійну e C на C та приберемо знак модуля, що зводиться до множення на постійну ±1, яку включимо в C:

Крок 2 Замінимо постійну C на функцію

Тепер замінимо постійну C на функцію від x:
C → u (x)
Тобто, шукатимемо рішення вихідного рівняння (1) у вигляді:
(2)
Знаходимо похідну.

За правилом диференціювання складної функції:
.
За правилом диференціювання твору:

.
Підставляємо у вихідне рівняння (1) :
(1) ;

.
Два члени скорочуються:
;
.
Інтегруємо:
.
Підставляємо в (2) :
.
В результаті одержуємо загальне рішення лінійного диференціального рівняння першого порядку:
.

Приклад розв'язання лінійного диференціального рівняння першого порядку методом Лагранжа

Вирішити рівняння

Рішення

Вирішуємо однорідне рівняння:

Розділяємо змінні:

Помножимо на:

Інтегруємо:

Інтеграли табличні:

Потенціюємо:

Замінимо постійну e C на C та прибираємо знаки модуля:

Звідси:

Замінимо постійну C на функцію від x:
C → u (x)

Знаходимо похідну:
.
Підставляємо у вихідне рівняння:
;
;
Або:
;
.
Інтегруємо:
;
Вирішення рівняння:
.

Метод варіації довільних постійних

Метод варіації довільних постійних для побудови розв'язування лінійного неоднорідного диференціального рівняння

a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = f(t)

полягає у заміні довільних постійних c kу загальному рішенні

z(t) = c 1 z 1 (t) + c 2 z 2 (t) + ... + c n z n (t)

відповідного однорідного рівняння

a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = 0

на допоміжні функції c k (t) , похідні яких задовольняють лінійній системі алгебри

Визначником системи (1) служить вронскіан функцій z 1 ,z 2 ,...,z n , Що забезпечує її однозначну розв'язність щодо .

Якщо - первісні для , взяті при фіксованих постійних значеннях інтегрування, то функція

є рішенням вихідного неоднорідного лінійного диференціального рівняння. Інтегрування неоднорідного рівняння за наявності загального розв'язання відповідного однорідного рівняння зводиться, таким чином, до квадратур.

Метод варіації довільних постійних для побудови рішень системи лінійних диференціальних рівнянь у нормальній векторній формі

полягає у побудові приватного рішення (1) у вигляді

де Z(t) - базис розв'язків відповідного однорідного рівняння, записаний у вигляді матриці, а векторна функція, що замінила вектор довільних постійних, визначена співвідношенням. Шукане приватне рішення (з нульовими початковими значеннями при t = t 0 має вигляд