Дані 2 площини, що перетинаються, існує чи площина. Взаємне розташування двох площин

У цьому розділі продовжимо вивчення теми рівняння прямої у просторі з позиції стереометрії. Це означає, що ми розглядатимемо пряму лінію у тривимірному просторі як лінію перетину двох площин.

Згідно з аксіомами стереометрії, якщо дві площини не збігаються і мають одну спільну точку, то вони також мають одну спільну пряму, на якій лежать усі точки, які є спільними для двох площин. Використовуючи рівняння двох площин, що перетинаються, ми можемо визначити пряму лінію в прямокутній системі координат.

Під час розгляду теми наведемо численні приклади, ряд графічних ілюстрацій і розгорнутих рішень, необхідні кращого засвоєння матеріалу.

Нехай дані дві площини, які не збігаються між собою і перетинаються. Позначимо їх як площину і площину . Розмістимо їх у прямокутній системі координат O х у z тривимірного простору.

Як ми пам'ятаємо, будь-яку площину в прямокутній системі координат задає загальне рівнянняплощині виду A x + B y + C z + D = 0. Вважатимемо, що площині α відповідає рівняння A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 , а площині β рівняння A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . У цьому випадку нормальні вектори площин α і β n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) і n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) не колінеарні, так як площини не збігаються між собою розміщуються паралельно один до одного. Запишемо цю умову так:

n 1 → ≠ λ · n 2 → ⇔ A 1 , B 1 , C 1 ≠ λ · A 2 , λ · B 2 , λ · C 2 , λ ∈ R

Щоб освіжити у пам'яті матеріал на тему «Паралельність площин», дивіться відповідний розділ нашого сайту.

Лінію перетину площин позначимо буквою a . Тобто. a = α ∩ β. Ця пряма є безліч точок, які є спільними для обох площин α і β . Це означає, що всі точки прямої лінії a задовольняють обом рівнянням площини A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 і A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Фактично вони є приватним рішенням системи рівнянь A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .

Загальне рішення системи лінійних рівнянь A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 визначає координати всіх точок лінії, за якою відбувається перетин двох площин α і β . Це означає, що з його допомогою ми можемо визначити положення прямої прямокутної системи координат O x y z .

Розглянемо описану теорію ще раз, тепер на конкретному прикладі.

Приклад 1

Пряма O x – це пряма, якою перетинаються координатні площини O x y та O x z . Задамо площину O x y рівнянням z = 0 а площину O x z рівнянням у = 0 . Такий підхід ми докладно розібрали у розділі «Неповне загальне рівняння площини», отже, у разі труднощів можна звернутися до цього матеріалу повторно. У цьому випадку координатна пряма O x визначається в тривимірній системі координат системою двох рівнянь виду y = 0 z = 0 .

Знаходження координат точки, що лежить на прямій, якою перетинаються площини

Розглянемо завдання. Нехай у тривимірному просторі задана прямокутна система координат O х у z. Лінія, по якій перетинаються дві площини a задана системою рівнянь A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Дана точка тривимірного простору M 0 x 0, y 0, z 0.

Давайте визначимо, чи належить точка M 0 x 0 , y 0 , z 0 заданої прямої лінії a .

Для того, щоб отримати відповідь на питання задачі, підставимо координати точки М 0 у кожне з двох рівнянь площини. Якщо в результаті підстановки обидва рівняння перетворяться на правильні рівності A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0 і A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D 2 = 0 , то точка М 0 належить кожній із площин і належить заданій лінії. Якщо хоча б одна з рівностей A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0 і A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D 2 = 0 виявиться невірною, то точка М0 не належить прямій лінії.

Розглянемо рішення прикладу

Приклад 2

Пряма лінія задана в просторі рівняннями двох площин, що перетинаються, виду 2 x + 3 y + 1 = 0 x - 2 y + z - 3 = 0 . Визначте, чи належать точки M 0 (1 , - 1 , 0) та N 0 (0 , - 1 3 , 1) прямої лінії перетину площин.

Рішення

Почнемо з точки М0. Підставимо її координати в обидва рівняння системи 2 · 1 + 3 · (-1) + 1 = 0 1 - 2 · (- 1) + 0 - 3 = 0 ⇔ 0 = 0 0 = 0 .

В результаті підстановки ми здобули вірні рівності. Це означає, що точка М 0 належить обох площин і розташована на лінії їх перетину.

Підставимо в обидва рівняння площини координати точки N 0 (0 , - 1 3 , 1). Отримуємо 2 · 0 + 3 · - 1 3 + 1 = 0 0 - 2 · - 1 3 + 1 - 3 = 0 ⇔ 0 = 0 - 1 1 3 = 0 .

Як ви бачите, друге рівняння системи перетворилося на неправильну рівність. Це означає, що точка N 0 не належить заданої прямої.

Відповідь:точка М 0 належить прямої лінії, а точка N 0 не належить.

Тепер пропонуємо вам алгоритм знаходження координат деякої точки, що належить прямій лінії, якщо пряма в просторі в прямокутній системі координат O x y z визначається рівняннями площин, що перетинаються A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0.

Кількість розв'язків системи з двох лінійних рівнянь з темою невідомими A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 нескінченно. Будь-яке з цих рішень може стати розв'язанням задачі.

Наведемо приклад.

Приклад 3

Нехай у тривимірному просторі задана пряма лінія рівняннями двох площин, що перетинаються, виду x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 . Знайдіть координати будь-якої з точок цієї прямої.

Рішення

Перепишемо систему рівнянь x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 ⇔ x + 0 y + 3 z = - 7 2 x + 3 y + 3 z = -2.

Візьмемо відмінний від нуля мінор другого порядку як базовий мінор основної матриці системи 1 0 2 3 = 3 ≠ 0 . Це означає що z - Це вільна невідома змінна.

Перенесемо доданки, що містять вільну невідому змінну z у праві частини рівнянь:

x + 0 y + 3 z = - 7 2 x + 3 y + 3 z = - 2 ⇔ x + 0 y = - 7 - 3 z 2 x + 3 y = - 2 - 3 z

Введемо довільне дійсне число і приймемо, що z = .

Тоді x + 0 y = - 7 - 3 z 2 x + 3 y = - 2 - 3 z ⇔ x + 0 y = - 7 - 3 λ 2 x + 3 y = - 2 - 3 λ.

Для вирішення отриманої системи рівнянь застосуємо метод Крамера:

∆ = 1 0 2 3 = 1 · 3 - 0 · 1 = 2 ∆ x = - 7 - 3 λ 0 - - 3 λ 3 = - 7 - 3 λ · 3 - 0 · (- 2 - 3 λ) = 21 - 9 λ ⇒ x = ∆ x ∆ = - 7 - 3 λ ∆ y = 1 - 7 - 3 λ 2 - 2 - 3 λ = 1 · - 2 - 3 λ - - 7 - 3 λ · = 12 + 3 λ ⇒ y = ∆ y ∆ = 4 + λ

Загальне рішення системи рівнянь x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 матиме вигляд x = - 7 - 3 λ y = 4 + λ z = λ , де λ ∈ R .

Для отримання приватного розв'язання системи рівнянь, яке дасть нам шукані координати точки, що належить заданій прямій, нам необхідно взяти конкретне значення параметра . Якщо λ = 0, то x = - 7 - 3 · 0 y = 4 + 0 z = 0 ⇔ x = - 7 y = 4 z = 0.

Це дозволяє отримати координати шуканої точки - 7 , 4 , 0 .

Перевіримо вірність знайдених координат точки методом підстановки їх у вихідні рівняння двох площин, що перетинаються - 7 + 3 · 0 + 7 = 0 2 · (- 7) + 3 · 4 + 3 · 0 + 2 = 0 ⇔ 0 = 0 0 = 0 .

Відповідь: - 7 , 4 , 0

Напрямний вектор прямий, якою перетинаються дві площини

Давайте розглянемо, як визначити координати напрямного вектора прямої, яка задана рівняннями двох площин, що перетинаються A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 і A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . У прямокутній системі координат 0хуz напрямний вектор прямий невіддільний від прямої лінії.

Як ми знаємо, пряма перпендикулярна по відношенню до площини в тому випадку, коли вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить в даній площині. Виходячи з вищесказаного, нормальний вектор площини перпендикулярний будь-якому ненульовому вектору, що лежить у даній площині. Ці два факти допоможуть нам у знаходженні напрямного вектора прямої.

Площини α та β перетинаються по лінії a . Напрямний вектор a → пряма лінія a розташований перпендикулярно до нормального вектора n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) площини A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 і нормального вектора n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) площини A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0.

Напрямний вектор прямий a являє собою векторний добуток векторів n → 1 = (A 1, B 1, C 1) і n 2 → = A 2, B 2, C 2 .

a → = n → 1 × n 2 → = i → j → k → A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2

Задамо безліч всіх напрямних векторів прямий як λ · a → = λ · n 1 → × n 2 → , де λ - це параметр, який може приймати будь-які дійсні значення, відмінні від нуля.

Приклад 4

Нехай пряма в просторі в прямокутній системі координат O х у z задана рівняннями двох площин, що перетинаються x + 2 y - 3 z - 2 = 0 x - z + 4 = 0 . Знайдемо координати будь-якого напрямного вектора цієї прямої.

Рішення

Площини x + 2 y - 3 z - 2 = 0 і x - z + 4 = 0 мають нормальні вектори n 1 → = 1, 2, -3 і n 2 → = 1, 0, -1. Приймемо за напрямний вектор прямої лінії, що є перетином двох заданих площин, векторний добуток нормальних векторів:

a → = n → 1 × n 2 → = i → j → k → 1 2 - 3 1 0 - 1 = i → · 2 · (-1) + j → · (- 3) · 1 + k → · 1 · 0 - - k → · 2 · 1 - j → · 1 · (- 1) - i → · (- 3) · 0 = - 2 · i → - 2 j → - 2 k →

Запишемо відповідь у координатній формі a → = -2, -2, -2. Тим, хто не пам'ятає, як це робиться, рекомендуємо звернутися до теми «Координати вектора прямокутної системи координат».

Відповідь: a → = - 2 , - 2 , - 2

Перехід до параметричних та канонічних рівнянь прямий у просторі

Для вирішення низки завдань простіше використовувати параметричні рівняння прямої в просторі виду x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ або канонічні рівняння прямої у просторі виду x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ. У цих рівняннях a x , a y , a z - координати напрямного вектора прямої, x 1 , y 1 , z 1 - координати деякої точки прямої, а - параметр, що приймає довільні дійсні значення.

Від рівняння прямої виду A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 можна перейти до канонічних та параметричних рівнянь прямої лінії у просторі. Для запису канонічних і параметричних рівнянь прямої нам знадобляться навички знаходження координат деякої точки прямої, а також координат деякого напрямного вектора прямої, заданої рівняннями двох площин, що перетинаються.

Розглянемо написане вище з прикладу.

Приклад 5

Задамо пряму лінію в тривимірній системі координат рівняннями двох площин, що перетинаються 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 . Напишемо канонічні та параметричні рівняння цієї прямої.

Рішення

Знайдемо координати напрямного вектора прямої, який є векторним добутком нормальних векторів n 1 → = 2 , 1 , - 1 площині 2 x + y - z - 1 = 0 і n 2 → = (1 , 3 , - 2) площині x + 3 y - 2 z = 0:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 2 1 - 1 1 3 - 2 = i → · 1 · (-2) + j → · (- 1) · 1 + k → · 2 · 3 - - k → · 1 · 1 - j → · 2 · (-2) - i → · (- 1) · 3 = i → + 3 · j → + 5 · k →

Координати напрямного вектора прямий a → = (1, 2, 5).

Наступним кроком є визначення координат певної точки заданої прямої лінії, якими є одне з рішень системи рівнянь: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ 2 x + y - z = 1 x + 3 y - 2 z = 0.

Візьмемо як мінорну матрицю системи визначник 2 1 1 3 = 2 · 3 - 1 · 1 = 5 , який відмінний від нуля. В цьому випадку змінна z є вільним. Перенесемо доданки з нею у праві частини кожного рівняння і надаємо змінній довільне значення λ:

2 x + y - z = 1 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ 2 x + y = 1 + z x + 3 y = 2 z ⇔ 2 x + y = 1 + λ x + 3 y = 2 λ , λ ∈ R

Застосовуємо для вирішення отриманої системи рівнянь метод Крамера:

∆ = 2 1 1 3 = 2 · 3 - 1 · 1 = 5 ∆ x = 1 + λ 1 2 λ 3 = (1 + λ) · 3 - 1 · 2 λ = 3 + λ ⇒ x = ∆ x ∆ = 3 + λ 5 = 3 5 + 1 5 · λ ∆ y = 2 1 + λ 1 2 λ = 2 · 2 λ - (1 + λ) · 1 = - 1 + 3 λ ⇒ y = ∆ y ∆ = - 1 + 3 λ 5 = - 1 5 + 3 5 · λ

Отримуємо: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ x = 3 5 + 1 5 y = - 1 5 + 3 5 z = λ

Приймемо λ = 2 для того, щоб отримати координати точки прямої лінії: x 1 = 3 5 + 1 5 · 2 y 1 = - 1 5 + 3 5 · 2 z 1 = 2 ⇔ x 1 = 1 y 1 = 1 z 1 = 2. Тепер ми маємо достатньо даних для того, щоб записати канонічні та параметричні рівняння даної прямої у просторі: x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 5 x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ ⇔ x = 1 + 1 · λ y = 1 + 3 · λ z = 2 + 5 · λ ⇔ x = 1 + λ y = 1 + 3 · λ z = 2 + 5 · λ

Відповідь: x - 1 1 = y - 1 3 = z - 2 5 і x = 1 + λ y = 1 + 3 · λ z = 2 + 5 · λ

Це завдання має ще один спосіб розв'язання.

Знаходження координат деякої точки прямої проводиться при розв'язанні системи рівнянь A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .

У загальному випадку її рішення можна записати у вигляді шуканих параметричних рівнянь прямої в просторі x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ.

Отримання канонічних рівнянь проводиться наступним чином: розв'язуємо кожне з отриманих рівнянь щодо параметра λ прирівнюємо праві частини рівності.

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y λ = z - z 1 a z ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

Застосуємо цей спосіб вирішення задачі.

Приклад 6

Задамо положення прямої лінії рівняннями двох площин, що перетинаються 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 . Напишемо параметричне та канонічне рівняння для цієї прямої лінії.

Рішення

Рішення системи з двох рівнянь із трьома невідомими проводиться аналогічно до того, як ми робили це в попередньому прикладі. Отримуємо: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ x = 3 5 + 1 5 · λ y = - 1 5 + 3 5 · λ z = λ.

Це параметричні рівняння прямої у просторі.

Канонічні рівняння отримуємо наступним чином: x = 3 5 + 1 5 · λ y = - 1 5 + 3 5 · λ z = λ ⇔ λ = x - 3 5 1 5 λ = y + 1 5 3 5 λ = z 1 ⇔ x - 3 5 1 5 = y + 1 5 3 5 = z 1

Отримані в обох прикладах рівняння відрізняються зовні, проте вони еквівалентні, так як визначають те саме безліч точок тривимірного простору, а отже і одну і ту ж пряму лінію.

Відповідь: x - 3 5 1 5 = y + 1 5 3 5 = z 1 і x = 3 5 + 1 5 · λ y = - 1 5 + 3 5 · λ z = λ

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Дві площини у просторі можуть бути або взаємно паралельні, в окремому випадку збігаючись один з одним, або перетинатися. Взаємно перпендикулярні площини є окремим випадком площин, що перетинаються.

1. Паралельні площини.Площини паралельні, якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом пересічним прямим іншою площині.

Це визначення добре ілюструється завданням, через точку провести площину паралельну площині, заданої двома прямими ab, що перетинаються, (рис.61).

Завдання. Дано: площину загального положення, задану двома прямими ab, що перетинаються, і точка В.

Потрібно через точку провести площину, паралельну площині ab і задати її двома прямими, що перетинаються, c і d.

Відповідно до визначення якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом перетинаються прямим інший площині то ці площини паралельні між собою.

Для того щоб провести на епюрі паралельні прямі необхідно скористатися властивістю паралельного проектування – проекції паралельних прямих – паралельні між собою

d//a, с//b Þ d1//a1,с1//b1; d2//a2, с2//b2; d3//a3,с3//b3.

Малюнок 61. Паралельні площини

2. Пересічні площини,окремий випадок – взаємно перпендикулярні площині. Лінія перетину двох площин є пряма, для побудови якої досить визначити дві її точки, загальні обом площин, або одну точку та напрямок лінії перетину площин.

Розглянемо побудову лінії перетину двох площин, коли з них проецирующая (рис.62).

Завдання. Дано: площина загального положення задана трикутником АВС, а друга площина горизонтально проецірующая a.

Потрібно побудувати лінію перетину площин.

Розв'язання задачі полягає у знаходженні двох точок загальних для даних площин, через які можна провести пряму лінію. Площина, задана трикутником АВС, можна уявити, як прямі лінії (АВ), (АС), (ВС). Точка перетину прямий (АВ) із площиною a - точка D, прямий (AС) -F. Відрізок визначає лінію перетину площин. Так як a - горизонтально проецірующая площину, то проекція D1F1 збігається зі слідом площини aП1, таким чином залишається тільки побудувати проекції, що відсутні, на П2 і П3.

Малюнок 62. Перетин площини загального положення з горизонтальною площиною.

Перейдемо до загальної нагоди. Нехай у просторі задані дві площини загального положення a(m,n) та b(ABC) (рис.63)

Малюнок 63. Перетин площин загального стану

Розглянемо послідовність побудови лінії перетину площин a(m//n) та b(АВС). За аналогією з попереднім завданням для знаходження лінії перетину даних площин проведемо допоміжні січні площини g і d. Знайдемо лінії перетину цих площин з площинами, що розглядаються. Площина g перетинає площину a прямою (12), а площину b - прямою (34). Точка До - точка перетину цих прямих одночасно належить трьом площинам a, b і g, будучи таким чином точкою лінії перетину площин a і b, що належить лінії. Площина d перетинає площини a і b за прямими (56) і (7C) відповідно, точка їх перетину М розташована одночасно в трьох площинах a, b, d і належить прямій лінії перетину площин a і b. Таким чином знайдено дві точки, що належать лінії перетину площин a і b - пряма (КМ).

Деякого спрощення при побудові лінії перетину площин можна досягти, якщо допоміжні сіючі площини проводити через прямі площину, що задають.

Взаємно перпендикулярні до площини.Зі стереометрії відомо, що дві площини взаємно перпендикулярні, якщо одна з них проходить через перпендикуляр до іншої. Через точку А можна провести безліч перпендикулярних площин даної площини a(f,h). Ці площини утворюють у просторі пучок площин, віссю якого є перпендикуляр, опущений з точки А на площину a . Для того щоб з точки А провести площину перпендикулярну площині заданої двома прямими hf, що перетинаються, необхідно з точки А провести пряму n перпендикулярну площині hf (горизонтальна проекція n перпендикулярна горизонтальній проекції горизонталі h, фронтальна проекція n перпендикулярна фронтальній проекції фронталі f). Будь-яка площина, що проходить через пряму n, буде перпендикулярна площині hf, тому для завдання площини через точки А проводимо довільну пряму m. Площина задана двома прямими mn, що перетинаються, буде перпендикулярна площині hf (рис.64).

Малюнок 64. Взаємно перпендикулярні площині

Визначення. Пряма називається паралельною площиною, якщо вона не має з нею жодної спільної точки.

Взаємне розташування прямої та площини

Пряма та площина

Паралельності двох прямих

Якщо площина проходить через пряму, паралельну до іншої площини, і перетинає цю площину, то лінія їх перетину паралельна даній прямій.

Доведення. Нехай площина проходить через пряму a, паралельну площині, і пряма b є лінією перетину цих площин. Доведемо, що прямі a та b паралельні.

Справді, вони лежать у одній площині α. Крім цього, пряма b лежить у площині, а пряма a не перетинається з цією площиною. Отже, пряма і поготів не перетинається з прямою b . Таким чином, прямі a та b лежать в одній площині і не перетинаються. Отже, вони паралельні.

Ознака паралельності прямої та площини Якщо пряма, яка не лежить у площині, паралельна до деякої прямої, що лежить у цій площині, то дана пряма паралельна до самої площини.

Доведення. Нехай пряма a не лежить у площині β і паралельна прямій b , що лежить у цій площині. Доведемо, що пряма a паралельна площині β.

Припустимо неприємне, тобто, що пряма a перетинає площину в деякій точці C .

Розглянемо площину α, що проходить через прямі a і b (a || b, за умовою). Точка С належить як площині, так і площині, тобто. належить лінії їх перетину - прямий b. Отже, прямі a та b перетинаються, що суперечить умові. Отже, a || β.

Вправа 1

Чи вірно твердження у тому, що дві прямі, паралельні однієї й тієї ж площині, паралельні між собою?

Відповідь: Ні.

Вправа 2

Чи правильне твердження: "Пряма, паралельна площині, паралельна будь-якій прямій, що лежить у цій площині"?

Відповідь: Ні.

Вправа 3

Одна з двох паралельних прямих паралельна площині. Чи правильне твердження, як і друга пряма паралельна цієї площині?

Відповідь: Ні.

Вправа 4

Дано дві паралельні прямі. Через кожну з них проведено площину. Ці дві поверхні перетинаються. Як розташована їхня лінія перетину щодо даних прямих?

Відповідь: Паралельна.

Вправа 5

Дані дві площини, що перетинаються. Чи існує площина, що перетинає дві дані площини по паралельним прямим?

Відповідь: Так.

Вправа 6

Сторона AF правильного шестикутника ABCDEF лежить у площині α, яка не збігається з площиною шестикутника. Як розташовані прямі, що містять інші сторони цього шестикутника, щодо площини?

Відповідь: AB, BC, DE, EF перетинають площину; CD паралельна площині.

1) Дані пряма і дві площини, що перетинаються. Охарактеризувати всі можливі випадки їхнього взаємного розташування.

2) Дані дві площини, що перетинаються. Чи існують площина, що перетинає дві дані площини по паралельним прямим?

2. Дано дві прямі, що перетинаються в точці С. Чи лежить з ними разом в одній площині будь-яка третя пряма, що має з кожною з даних прямих загальну точку?

4. Відстань між двома паралельними площинами дорівнює 8 см. Відрізок прямий, довжина якого 17 см, розташований між ними так, що його кінці належать площинам. Знайдіть проекцію цього відрізка на кожну із площин.

5. Закінчіть фразу, щоб вийшло вірне висловлювання:

г) не знаю

6. Прямі а та b перпендикулярні. Точки А та В належать прямій а, точки С та D – прямій b. Чи прямі АС і BD лежать в одній площині?

7. У кубі ABCDA1B1C1D1 проведені діагоналі граней АС та B1D1. яке їхнє взаємне розташування?

8. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 дорівнює m. Знайдіть відстань між прямими АВ та СС1.

А) 2m Б) 1/2m B) m Г) не знаю

9. Визначте, чи правильне твердження:

А) так Б) ні В) не завжди Г) не знаю

10. У кубі ABCDA1B1C1D1 знайдіть кут між площинами BCD та ВСС1В1.

А) 90 ° Б) 45 ° В) 0 ° Г) 60 °

11. Чи існує призма, у якої лише одна бічна грань перпендикулярна до основи?

А) так Б) ні В) не знаю

12. Чи може діагональ прямокутного паралелепіпеда бути меншою від бічного ребра?

А) так Б) ні В) не знаю

13. Чому дорівнює площа бічної поверхні куба з ребром 10?

А) 40 Б) 400 В) 100 Г) 200

14. Чому дорівнює площа повної поверхні куба, якщо його діагональ дорівнює d?

А) 2d2 Б) 6d2 B) 3d2 Г) 4d2

15. Скільки площин симетрії має правильна чотирикутна піраміда?

А) 2 Б) 3 В) 4 Г) 6

16. Що являє собою осьовий переріз будь-якої правильної піраміди?

а) рівносторонній трикутник

Б) прямокутник

В) трапеція

Г) рівнобедрений трикутник

допоможіть будь ласка вирішити тест

1. Скільки загальних прямих можуть мати дві різні площини, що не збігаються?
А) 1 Б) 2 В) безліч Г) жодної Д) не знаю
2. Дано дві прямі, що перетинаються в точці С. Чи лежить з ними разом в одній площині будь-яка третя пряма, що має з кожною з даних прямих загальну точку?
А) завжди так Б) завжди немає В) лежить, але не завжди Г) не знаю
3. Визначте, чи правильне твердження:
Дві площини паралельні, якщо вони паралельні до однієї і тієї ж прямої.
А) так Б) ні В) не знаю Г) не завжди
4. Відстань між двома паралельними площинами дорівнює 8 см. Відрізок прямий, довжина якого 17 см, розташований між ними так, що його кінці належать площинам. Знайдіть проекцію цього відрізка на кожну із площин.
А) 15 см Б) 9 см В) 25 см Г) не знаю
5. Закінчіть фразу, щоб вийшло вірне висловлювання:
Якщо пряма, що лежить в одній із двох перпендикулярних площин, перпендикулярна до їхньої лінії перетину, то вона …
А) паралельна до іншої площини
Б) перетинається з іншою площиною
В) перпендикулярна до іншої площини
г) не знаю
6. Прямі а та b перпендикулярні. Точки А та В належать прямій а, точки С та D – прямій b. Чи прямі АС і BD лежать в одній площині?
А) так Б) ні В) не завжди Г) не знаю
7. У кубі ABCDA1B1C1D1 проведено діагоналі граней АС та B1D1. яке їхнє взаємне розташування?
А) перетинаються Б) схрещуються В) паралельні Г) не знаю
8. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 дорівнює m. Знайдіть відстань між прямими АВ та СС1.
А) 2m Б) B) m Г) не знаю
9. Визначте, чи правильне твердження:
Якщо дві прямі утворюють рівні кути з тією самою площиною, всі вони паралельні.
А) так Б) ні В) не завжди Г) не знаю
10. У кубі ABCDA1B1C1D1 знайдіть кут між площинами BCD та ВСС1В1.
А) 90 Б) 45 В) 0 Г) 60
11. Чи існує призма, у якої лише одна бічна грань перпендикулярна до основи?
А) так Б) ні В) не знаю
12. Чи може діагональ прямокутного паралелепіпеда бути меншою від бічного ребра?
А) так Б) ні В) не знаю
13. Чому дорівнює площа бічної поверхні куба з ребром 10?
А) 40 Б) 400 В) 100 Г) 200
14. Чому дорівнює площа повної поверхні куба, якщо його діагональ дорівнює d?
А) 2d2 Б) 6d2 B) 3d2 Г) 4d2
15. Скільки площин симетрії має правильна чотирикутна піраміда?
А) 2 Б) 3 В) 4 Г) 6
16. Що являє собою осьовий переріз будь-якої правильної піраміди?
а) рівносторонній трикутник
Б) прямокутник
В) трапеція
Г) рівнобедрений трикутник

Тест на тему «Взаємне розташування прямої та площини. Взаємне розташування двох площин»

Виберіть один правильний варіант відповіді із запропонованих:

Дві прямі в просторі називаються такими, що схрещуються, якщо:

А – вони не мають спільних точок

В – через них не можна провести площину

С - вони лежать в одній площині і не перетинаються

У просторі дано пряма і неналежна їй точка. Скільки прямих, що не перетинають цю пряму, проходить через цю точку:

А – єдина пряма

В – дві різні прямі

С – безліч прямих

Пряма a схрещується з прямою b , а пряма b схрещується з прямою c . Чи слід звідси, що прямі a і c схрещуються:

А – ні, вони можуть бути паралельними

В - так, прямі aі cсхрещуються

С – ні, вони можуть перетинатися чи бути паралельними

Дані дві площини, що перетинаються. У кожній з них лежить пряма, що перетинає лінію перетину площин. Визначте розташування цих прямих щодо один одного:

А – ці прямі або перетинаються, або схрещуються

В – ці прямі схрещуються

С – ці прямі можуть бути або перетинаються, або паралельними, або схрещуються

Чи вірно твердження про те, що дві прямі, паралельні одній і тій же площині, паралельні між собою:

А – так, вірно

В – ні, прямі можуть бути перетинаються

С – ні, прямі можуть бути або перетинаються, або схрещуються

Чи вірно твердження, що пряма, паралельна площині, паралельна будь-якій прямій, що лежить у цій площині:

А – так, вірно

В – ні, вона паралельна лише одній прямій, що лежить у цій площині

С – ні, невірно

Дані дві площини, що перетинаються. Чи існує площина, що перетинає дві дані площини по паралельним прямим: