На цьому уроці ми докладно розглянемо побудову графіків рівнянь. Спочатку згадаємо, що таке раціональне рівняння та безліч його рішень, що утворює графік рівняння. Детально розглянемо графік лінійного рівняннята властивості лінійної функції, навчимося читати графіки. Далі розглянемо графік квадратного рівняння та властивості квадратичної функції. Розглянемо гіперболічну функцію та її графік та графік рівняння кола. Далі перейдемо до побудови та вивчення сукупності графіків.
Тема: Системи рівнянь
Урок: Графіки рівнянь
Ми розглядаємо раціональне рівняння виду та системи раціональних рівнянь виду
Ми говорили, що кожне рівняння у цій системі має свій графік, якщо звичайно є розв'язки рівнянь. Ми розглянули кілька графіків різних рівнянь.
Сьогодні ми систематично розглянемо кожне з відомих нам рівнянь, тобто. виконаємо огляд по графіків рівнянь.
1. Лінійне рівняння із двома змінними 
x, y - у першому ступені; a, b, c – конкретні числа.
Приклад: 
Графік цього рівняння є пряма лінія.
Ми діяли рівносильними перетвореннями - y залишили на місці, решту перенесли в інший бік з протилежними знаками. Вихідне та отримане рівняння рівносильні, тобто. мають те саме безліч рішень. Графік цього рівняння ми вміємо будувати, і методика його побудови така: знаходимо точки перетину з координатними осями і з них будуємо пряму.
В даному випадку
Знаючи графік рівняння, ми можемо багато сказати про рішення вихідного рівняння, а саме: якщо 
слі 
Ця функція збільшується, тобто. із збільшенням x збільшується y. Ми отримали два приватні рішення, а як записати безліч усіх рішень?
Якщо точка має абсцис x, то ордината цієї точки
Значить, чисел
Ми мали рівняння, ми побудували графік, знайшли рішення. Безліч усіх пар – скільки їх? Безліч безліч.
Це раціональне рівняння,
Знайдемо y, рівносильними перетвореннями отримуємо 
Покладемо та отримуємо квадратичну функцію, її графік нам відомий.
Приклад: Побудувати графік раціонального рівняння.
Графіком є парабола, гілки спрямовані нагору.
Знайдемо коріння рівняння:
Схематично зобразимо графік ( Мал. 2).
За допомогою графіка ми отримуємо всілякі відомості і про функцію, і про рішення раціонального рівняння. Ми визначили проміжки знакості, тепер знайдемо координати вершини параболи.
У рівняння безліч рішень, тобто. незліченна безліч пар, що задовольняють рівняння, але все А яким може бути x? Будь-яким!
Якщо ми поставимо будь-яке x, то отримаємо точку
Рішенням вихідного рівняння є безліч пар
3. Побудувати графік рівняння
Потрібно виразити y. Розглянемо два варіанти.
Графіком функції є гіпербола, функція не визначена при
Функція спадна.
Якщо ми візьмемо крапку з абсцисою, то її ордината дорівнюватиме
Рішенням вихідного рівняння є безліч пар
Побудовану гіперболу можна зрушувати щодо осей координат.
Наприклад, графік функції 
- теж гіпербола - буде зрушено на одиницю вгору по осі ординат.
4. Рівняння кола
Це раціональне рівняння із двома змінними. Безліч рішень є точки кола. Центр у точці радіус дорівнює R (Рис. 4).
Розглянемо конкретні приклади.
a. 
Наведемо рівняння до стандартного виду рівняння кола, при цьому виділимо повний квадрат суми:
- отримали рівняння кола з центром у 
.
Побудуємо графік рівняння 
(Мал. 5).
b. Побудувати графік рівняння
Згадаймо, що добуток дорівнює нулю тоді і лише тоді, коли один із співмножників дорівнює нулю, а другий існує.
Графік заданого рівняння складається із сукупності графіків першого та другого рівнянь, тобто. двох прямих.
Побудуємо його (Рис. 6).
Побудуємо графік функції Пряма проходитиме через точку (0; -1). Але як вона пройде – зростатиме чи зменшуватиметься? Визначити це допоможе кутовий коефіцієнт, коефіцієнт при x, він негативний, отже функція зменшується. Знайдемо точку перетину з віссю ox, точка (-1; 0).
Аналогічно будуємо графік другого рівняння. Пряма проходить через точку (0; 1), але збільшується, т.к. кутовий коефіцієнт позитивний.
Координати всіх точок двох побудованих прямих є рішенням рівняння.
Отже, ми проаналізували графіки найважливіших раціональних рівнянь, вони використовуватимуться й у графічному методі й у ілюстрації інших методів розв'язання систем рівнянь.
1. Мордкович А.Г. та ін Алгебра 9 кл.: Навч. Для загальноосвіт. Установ.- 4-те вид. - М.: Мнемозіна, 2002.-192 с.: Іл.
2. Мордкович А.Г. та ін Алгебра 9 кл.: Задачник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мішустіна та ін - 4-е вид. - М.: Мнемозіна, 2002.-143 с.: Іл.
3. Макарічев Ю. Н. Алгебра. 9 клас: навч. для учнів загальноосвіт. установ / Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, І. Є. Феоктистів. - 7-е вид., Випр. та дод. - М.: Мнемозіна, 2008.
4. Алімов Ш.А., Колягін Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 клас. 16-те вид. – М., 2011. – 287 с.
5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 12-е вид., Стер. - М.: 2010. - 224 с.: іл.
6. Алгебра. 9 клас. У 2 ч. ч. 2. Задачник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мішустіна та ін; За ред. А. Г. Мордковіча. - 12-е вид., Випр. - М.: 2010.-223 с.: іл.
1. Розділ College.ru з математики ().
2. Інтернет-проект "Завдання" ().
3. Освітній портал «Вирішую ЄДІ» ().
1. Мордкович А.Г. та ін Алгебра 9 кл.: Задачник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мішустіна та ін - 4-е вид. - М.: Мнемозіна, 2002.-143 с.: Іл. №95-102.
Побудувати графік рівняння значно простіше, ніж вважають багато людей. Щоб зрозуміти основні принципи цього процесу, зовсім необов'язково бути математичним генієм чи першим у класі з математики. У цій статті описано, як зображувати на графіках лінійні та квадратні рівняння та нерівності, а також рівняння з модулями.
Використовуйте формулу y=mx+b. Щоб побудувати графік лінійного рівняння, необхідно просто підставити значення цієї формули.
Побудуйте графік.Лінійне рівняння зображується найбільш просто, оскільки перед побудовою графіка немає необхідності щось рахувати. Для початку збудуйте прямокутну систему координат.
Знайдіть точку перетину лінії з віссю y(це b). Наприклад, у разі рівняння y=2x-1 параметр bдорівнює -1, тобто лінія перетинає вісь yу точці -1.
Знайдіть нахил лінії.Для прямого нахилу відповідає параметру m. У разі рівняння y=2x-1 цей параметр дорівнює 2. Однак слід врахувати, що нахил вказує на зміну yзі зростанням x, тобто його слід подати у вигляді дробу. Бо при координаті xстоїть ціле число 2, можна записати нахил у вигляді 2/1.
Проведіть пряму лінію.Після того, як ви визначите нахил прямий і нанесете хоча б одну точку, можна з'єднати її з точкою перетину осі yта провести пряму лінію. Продовжіть лінію до країв графіка та намалюйте на її кінцях стрілки, щоб позначити, що вона продовжується далі.
Намалюйте числову лінію.Оскільки зображення нерівності з однієї змінної досить однієї осі, немає необхідності малювати прямокутну систему координат. Натомість просто проведіть пряму лінію.
Зобразіть нерівність.Це досить просто, оскільки є лише одна координата. Припустимо, необхідно зобразити нерівність x<1. Для начала следует найти на оси число 1.
Проведіть лінію.Проведіть лінію з щойно зазначеної точки на числовій осі. Якщо змінна більша за дане число, відкладіть лінію вправо. Якщо змінна менша, проведіть лінію вліво. На кінці лінії поставте стрілку, щоб показати, що вона не є кінцевим відрізком і продовжується далі.
Перевірте відповідь.Підставте замість змінної xякесь число і позначте його положення на числовій осі. Якщо це число лежить на проведеній лінії, графік вірний.
Використовуйте формулу прямої лінії.Подібна формула використовувалася вище для звичайних лінійних рівнянь, проте в даному випадку замість знака = слід поставити знак нерівності. Це може бути один із наступних знаків:<, >, ≤ (\displaystyle \leq )або ≥ (\displaystyle \geq ).
Зобразіть нерівність.Знайдіть точку перетину прямої з віссю yта її нахил, після чого відзначте відповідні координати. Як приклад розглянемо нерівність y>1/2x+1. У цьому випадку пряма перетинатиме вісь yпри x=1, а її нахил складе ½, тобто при русі вправо на 2 одиниці ми підніматимемося вгору на 1 одиницю.
Проведіть лінію.Перед цим подивіться на знак нерівності. Якщо це< или >слід провести пунктирну лінію. Якщо в нерівності стоїть знак ≤ (\displaystyle \leq )або ≥ (\displaystyle \geq ), лінія має бути суцільною.
Заштрихуйте графік.Так як нерівність має безліч рішень, на графіці слід показати всі можливі рішення. Це означає, що область слід заштрихувати над лінією або під нею.
Подивіться формулу.У квадратному рівнянні хоча б одна змінна зводиться у квадрат. Зазвичай квадратне рівняння записується у такому вигляді: y=ax 2 +bx+c.
Визначте a, bі c. Наприклад, у рівнянні y=x 2 +2x+1 a=1, b=2 і c=1. Кожен параметр є число, яке стоїть перед змінною у відповідній мірі. Наприклад, якщо перед xне варто жодного числа, значить b=1, оскільки відповідний доданок можна записати у вигляді 1 x.
Знайдіть вершину параболи.Щоб знайти середню точку параболи, використовуйте вираз -b/2a. Для прикладу отримуємо -2/2(1), тобто -1.
Складіть таблицю.Отже, ми знаємо, що координата xвершини дорівнює -1. Однак це лише одна координата. Щоб знайти відповідну їй координату y, і навіть дві інші точки параболи, необхідно скласти таблицю.
Побудуйте таблицю з трьох рядків та двох стовпців.
Використовуйте рівняння та таблицю, щоб знайти невідомі координати y. Беріть по одній координаті x з таблиці, підставляйте її в задане рівняння та знаходьте відповідну координату y.
Нанесіть на графік точки.Отже, у вас вийшло принаймні три точки з відомими координатами, які можна відзначити на графіку. З'єднайте їх кривою у формі параболи. Готово!
Нехай поставлено рівняння з двома змінними F(x; y). Ви вже познайомилися зі способами розв'язання таких рівнянь аналітично. Безліч рішень таких рівнянь можна уявити і як графіка.
Графіком рівняння F(x; y) називають безліч точок координатної площини xOy, координати яких задовольняють рівняння.
Для побудови графіка рівняння із двома змінними спочатку виражають у рівнянні змінну y через змінну x.
Напевно, ви вже вмієте будувати різноманітні графіки рівнянь із двома змінними: ax + b = c – пряма, yx = k – гіпербола, (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 – коло, радіус якого дорівнює R, а центр знаходиться у точці O(a; b).
приклад 1.
Побудувати графік рівняння x2 – 9y2 = 0.
Рішення.
Розкладемо на множники ліву частину рівняння.
(x - 3y) (x + 3y) = 0, тобто y = x/3 або y = -x/3.
Відповідь: рисунок 1.
p align="justify"> Особливе місце займає завдання фігур на площині рівняннями, що містять знак абсолютної величини, на яких ми докладно зупинимося. Розглянемо етапи побудови графіків рівнянь виду | y | = f(x) та |y| = | f (x) |.
Перше рівняння рівносильне системі
(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) або y = -f(x).
Тобто його графік складається з графіків двох функцій: y = f(x) та y = -f(x), де f(x) ≥ 0.
Для побудови графіка другого рівняння будують графіки двох функцій: y = f(x) та y = -f(x).
приклад 2.
Побудувати графік рівняння | y | = 2+х.
Рішення.
Задане рівняння рівносильне системі
(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 або y = -x - 2).
Будуємо безліч точок.
Відповідь: рисунок 2.
приклад 3.
Побудувати графік рівняння | y - x | = 1.
Рішення.
Якщо y ≥ x то y = x + 1, якщо y ≤ x, то y = x – 1.
Відповідь: рисунок 3.
При побудові графіків рівнянь, що містять змінну під знаком модуля, зручно та раціонально використовувати метод областей, заснований на розбиття координатної площини на частини, у яких кожне підмодульне вираз зберігає свій знак.
приклад 4.
Побудувати графік рівняння x + | x | + y + | y | = 2.
Рішення.
У цьому прикладі знак кожного підмодульного виразу залежить від координатної чверті.
1) У першій координатній чверті x ≥ 0 та y ≥ 0. Після розкриття модуля задане рівняння матиме вигляд:
2x + 2y = 2, а після спрощення x + y = 1.
2) У другій чверті, де х< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.
3) У третій чверті x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.
4) У четвертій чверті, за x ≥ 0, а y< 0 получим, что x = 1.
Графік цього рівняння будуватимемо по чвертях.
Відповідь: рисунок 4.
Приклад 5.
Зобразити безліч точок, які координати задовольняють рівності |x – 1| + | y - 1 | = 1.
Рішення.
Нулі підмодульних виразів x = 1 та y = 1 розбивають координатну площину на чотири області. Розкриємо модулі по областях. Оформимо це у вигляді таблиці.
| Область |
Знак підмодульного виразу |
Отримане рівняння після розкриття модуля |
| I | x ≥ 1 та y ≥ 1 | x + y = 3 |
| II | x< 1 и y ≥ 1 | -x + y = 1 |
| III | x< 1 и y < 1 | x + y = 1 |
| IV | x ≥ 1 та y< 1 | x - y = 1 |
Відповідь: рисунок 5.
На координатній площині фігури можуть задаватися і нерівностями.
Графіком нерівностііз двома змінними називається безліч усіх точок координатної площини, координати яких є рішеннями цієї нерівності.
Розглянемо алгоритм побудови моделі розв'язків нерівності з двома змінними:
Розглянемо, перш за все, нерівність ax + bx + c > 0. Рівняння ax + bx + c = 0 задає пряму площину, що розбиває, на дві напівплощини. У кожному їх функція f(x) = ax + bx + c зберігає знак. Для визначення цього знака достатньо взяти будь-яку точку, що належить напівплощині, та обчислити значення функції у цій точці. Якщо знак функції збігається зі знаком нерівності, то ця напівплощина і буде розв'язанням нерівності.
Розглянемо приклади графічного розв'язання нерівностей, що найчастіше зустрічаються, з двома змінними.
1) ax + bx + c ≥ 0. Малюнок 6.
2)
|х| ≤ a, a > 0. Малюнок 7.
3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Малюнок 8.
4) y ≥ x 2 . Малюнок 9.
5)
xy ≤ 1. Малюнок 10. 
Якщо у вас виникли питання або ви хочете попрактикуватися зображати на площині моделі безлічі всіх розв'язків нерівностей із двома змінними за допомогою математичного моделювання, ви можете провести безкоштовне 25-хвилинне заняття з онлайн репетиторомпісля того, як зареєструєтесь. Для подальшої роботи з викладачем у вас буде можливість обрати відповідний тарифний план.
Залишились питання? Не знаєте як зобразити фігуру на координатній площині?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
Ми пропонуємо до вашої уваги сервіс з потроєння графіків функцій онлайн, всі права на який належать компанії Desmos. Для введення функцій скористайтесь лівою колонкою. Можна вводити вручну або за допомогою віртуальної клавіатури внизу вікна. Для збільшення вікна з графіком можна приховати як ліву колонку, і віртуальну клавіатуру.
З нами легко в режимі онлайн будувати графіки різної складності. Побудова провадиться миттєво. Сервіс затребуваний знаходження точок перетину функцій, зображення графіків для подальшого їх переміщення у Word документ як ілюстрацій під час вирішення завдань, для аналізу поведінкових особливостей графіків функций. Оптимальним браузером для роботи з графіками на цій сторінці є Google Chrome. У разі використання інших браузерів коректність роботи не гарантується.
