Розгляд цієї теми ми почнемо з вивчення поняття частки загалом, яке дасть нам повніше розуміння сенсу звичайного дробу. Дамо основні терміни та його визначення, вивчимо тему в геометричному тлумаченні, тобто. на координатній прямій, а також визначимо перелік основних дій з дробами.
Уявімо якийсь предмет, що складається з кількох, абсолютно рівних частин. Наприклад, це може бути апельсин, що складається з декількох однакових часточок.
Визначення 1
Частка цілого чи частка- це кожна з рівних частин, що становлять цілий предмет.
Очевидно, що частки можуть бути різні. Щоб наочно пояснити це твердження, представимо два яблука, одне з яких розрізане на дві рівні частини, а друге – на чотири. Зрозуміло, що розміри часток у різних яблук будуть відрізнятися.
Частки мають свої назви, які залежать від кількості часток, що становлять цілий предмет. Якщо предмет має дві частки, кожна з них визначатиметься як одна друга частка цього предмета; коли предмет складається з трьох часток, то кожна з них одна третя і так далі.
Визначення 2
Половина- Одна друга частка предмета.
Третина- Одна третя частка предмета.
Чверть- Одна четверта частка предмета.
Щоб скоротити запис, ввели такі позначення часток: половина - 1 2 або 1/2; третина - 1 3 або 1/3; одна четверта частка - 1 4 або 1/4 і так далі. Записи з горизонтальною межею використовуються частіше.
Поняття частки природно розширюється із предметів на величини. Так, можна використовувати для вимірювання невеликих предметів частки метра (третина або одна сота) як однієї з одиниць вимірювання довжини. Аналогічним чином можна застосувати частки інших величин.
Звичайні дроби застосовуються для опису кількості часток. Розглянемо простий приклад, який наблизить нас до визначення звичайного дробу.
Представимо апельсин, що складається з 12 часточок. Кожна частка тоді буде – одна дванадцята чи 1/12 . Дві частки - 2/12; три частки - 3/12 і т.д. Всі 12 часток або ціле число виглядатиме так: 12 / 12 . Кожна з прикладів записів є прикладом звичайного дробу.
Визначення 3
Звичайний дріб- Це запис виду m n або m / n де m і n є будь-якими натуральними числами.
Згідно з цим визначенням, прикладами звичайних дробів можуть бути записи: 4 / 9 , 11 34 , 917 54 . А такі записи: 11 5 , 1 , 9 4 , 3 є звичайними дробами.
Чисельникомзвичайного дробу m n або m / n є натуральне число m.
Знаменникомзвичайного дробу m n або m / n є натуральне число n.
Тобто. чисельник - число, розташоване зверху над межею звичайного дробу (або зліва від похилої межі), а знаменник - число, розташоване під межею (праворуч від похилої межі).
Який сенс несуть у собі чисельник і знаменник? Знаменник звичайного дробу вказує на те, з скількох часток складається один предмет, а чисельник дає нам інформацію про те, яка кількість таких часток, що розглядається. Наприклад, звичайна дріб 7 54 свідчить про те, що якийсь предмет складається з 54 часток, й у розгляду ми взяли 7 таких часток.
Знаменник звичайного дробу може дорівнювати одиниці. У такому разі можна говорити, що аналізований предмет (величина) неподільний, є чимось цілим. Чисельник у подібному дробі вкаже, скільки таких предметів взято, тобто. звичайна дріб виду m 1 має сенс натурального числа m. Це твердження є обґрунтуванням рівності m 1 = m .
Запишемо останню рівність так: m = m1. Воно дасть нам можливість будь-яке натуральне число використовувати у вигляді звичайного дробу. Наприклад, число 74 - це звичайна частина типу 74 1 .
Визначення 5
Будь-яке натуральне число m можна записати як звичайного дробу, де знаменник – одиниця: m 1 .
У свою чергу, будь-який звичайний дріб виду m 1 може бути представлений натуральним числом m .
Використане вище уявлення даного предмета як n часток є чим іншим, як розподілом на n рівних частин. Коли предмет поділено на n частин, ми маємо можливість розділити його порівну між n людьми – кожен отримає свою частку.
У випадку, коли ми спочатку маємо m однакових предметів (кожен розділений на n частин), то й ці m предметів можна порівну поділити між n людьми, давши кожному з них по одній частці від кожного з m предметів. При цьому у кожної людини буде m часткою 1 n , а m часткою 1 n дасть звичайний дріб m n . Отже, звичайний дріб m n можна використовувати, щоб позначати поділ предметів m між n людьми.
Отримане твердження встановлює зв'язок між звичайними дробами та поділом. І цей зв'язок можна виразити так : рису дробу можна пам'ятати як символ розподілу, тобто. m / n = m: n.
За допомогою звичайного дробу ми можемо записати результат розподілу двох натуральних чисел. Наприклад, розподіл 7 яблук на 10 чоловік запишемо як 7 10: кожній людині дістанеться сім десятих часток.
Логічним процесом є порівняння звичайних дробів, адже очевидно, що, наприклад, 1 8 яблука відмінна від 7 8 .
Результатом порівняння звичайних дробів може бути: рівні чи нерівні.
Визначення 6
Рівні звичайні дроби– звичайні дроби a b і c d , котрим справедлива рівність: a · d = b · c .
Нерівні звичайні дроби- Прості дроби a b і c d, для яких рівність: a · d = b · c не є вірним.
Приклад рівних дробів: 13 і 412 - оскільки виконується рівність 1 · 12 = 3 · 4 .
У випадку, коли з'ясовується, що дроби не є рівними, зазвичай необхідно також дізнатися, який із цих дробів менший, а який – більше. Щоб дати відповідь на ці питання, звичайні дроби порівнюють, приводячи їх до спільного знаменника, а потім порівнявши чисельники.
Кожен дріб – це запис дробового числа, що насправді - просто «оболонка», візуалізація смислового навантаження. Але все ж для зручності ми об'єднуємо поняття дробу та дробового числа, кажучи просто – дріб.
Всі дробові числа, як і будь-яке інше число, мають своє унікальне місце розташування на координатному промені: існує однозначна відповідність між дробами та точками координатного променя.
Щоб на координатному промені знайти точку, що позначає дріб m n необхідно від початку координат відкласти в позитивному напрямку m відрізків, довжина кожного з яких складе 1 n частку одиничного відрізка. Відрізки можна одержати, розділивши одиничний відрізок на n однакових частин.
Як приклад, позначимо на координатному промені точку М, що відповідає дробу 14 10 . Довжина відрізка, кінцями якого є точка О і найближча точка, позначена маленьким штрихом, дорівнює 110 частині одиничного відрізка. Точка, відповідна дробу 14 10 розташована у віддаленні від початку координат на відстань 14 таких відрізків.
Якщо дроби рівні, тобто. їм відповідає те саме дробове число, тоді ці дроби служать координатами однієї й тієї ж точки на координатному промені. Наприклад, координатам у вигляді рівних дробів 1 3 , 2 6 , 3 9 , 5 15 , 11 33 відповідає та сама точка на координатному промені, що розташовується на відстані третини одиничного відрізка, відкладеного від початку відліку в позитивному напрямку.
Тут працює той же принцип, що і з цілими числами: на горизонтальному, спрямованому праворуч координатному промені точка, якій відповідає великий дріб, розміститься правіше точки, якій відповідає менший дріб. І навпаки: точка, координата якої – менший дріб, розташовуватиметься ліворуч від точки, якій відповідає більша координата.
В основі поділу дробів на правильні та неправильні лежить порівняння чисельника та знаменника в межах одного дробу.
Визначення 7
Правильний дріб– це звичайна дріб, у якій чисельник менше, ніж знаменник. Тобто, якщо виконується нерівність m< n , то обыкновенная дробь m n является правильной.
Неправильний дріб- це звичайний дріб, чисельник якого більше або дорівнює знаменнику. Тобто, якщо виконується нерівність undefined, то звичайний дріб mn є неправильним.
Наведемо приклади: - Правильні дроби:
Приклад 1
5 / 9 , 3 67 , 138 514 ;
Неправильні дроби:
Приклад 2
13 / 13 , 57 3 , 901 112 , 16 7 .
Також можна дати визначення правильних та неправильних дробів, спираючись на порівняння дробу з одиницею.
Визначення 8
Правильний дріб- звичайний дріб, який менше одиниці.
Неправильний дріб- звичайний дріб, рівний або більший одиниці.
Наприклад, дріб 8 12 - правильний, т.к. 8 12< 1 . Дроби 53 2 и 14 14 являются неправильными, т.к. 53 2 >1 , а 1414 = 1 .
Трохи заглибимося в роздуми, чому дроби, в яких чисельник більший або дорівнює знаменнику, отримали назву «неправильних».
Розглянемо неправильний дріб 8 8: він повідомляє нам, що взято 8 часток предмета, що складається з 8 часток. Отже, з 8 часткою ми можемо скласти цілий предмет, тобто. заданий дріб 8 8 по суті є цілим предметом: 8 8 = 1 . Дроби, у яких чисельник та знаменник рівні, повноцінно замінює натуральне число 1 .
Розглянемо також дроби, у яких чисельник перевершує знаменник: 115 і 363. Зрозуміло, що дріб 11 5 повідомляє про те, що з нього ми можемо скласти два цілі предмети і залишиться ще одна п'ята частка. Тобто. дріб 11 5 – це 2 предмети та ще 1 5 від нього. У свою чергу, 36 3 – дріб, що означає насправді 12 цілих предметів.
Зазначені приклади дають можливість зробити висновок, що неправильні дроби можна замінити натуральними числами (якщо чисельник без залишку ділиться на знаменник: 8 8 = 1 ; 36 3 = 12) або сумою натурального числа та правильного дробу (якщо чисельник не ділиться на знаменник без залишку: 11 5 = 2 + 1 5). Мабуть, тому такі дроби й одержали назву «неправильних».
Тут також ми стикаємося з одним із найважливіших навичок роботи з числами.
Визначення 9
Виділення цілої частини з неправильного дробу– це запис неправильного дробу у вигляді суми натурального числа та правильного дробу.
Також зазначимо, що існує тісний взаємозв'язок між неправильними дробами та змішаними числами.
Вище ми говорили про те, що кожному звичайному дробу відповідає позитивне дробове число. Тобто. Прості дроби – це позитивні дроби. Наприклад, дроби 5 17 , 6 98 , 64 79 – позитивні, і коли необхідно особливо підкреслити «позитивність» дробу, вона записується з використанням знака плюс: + 5 17 , + 6 98 , + 64 79 .
Якщо ж звичайного дробу надати знак мінус, то отриманий запис буде записом негативного дробового числа, і ми говоримо в такому випадку про негативні дроби. Наприклад, - 8 17 - 78 14 і т.д.
Позитивний і негативний дроби m n і - m n – протилежні числа. Наприклад, дроби 7 8 і - 7 8 є протилежними.
Позитивні дроби, як і будь-які позитивні числазагалом, означають додаток, зміна у бік збільшення. У свою чергу негативні дроби відповідають витраті, зміні у бік зменшення.
Якщо ми розглянемо координатну пряму, то побачимо, що негативні дроби розташовані лівіше від точки початку відліку. Точки, яким відповідають дроби, що є протилежними (m n і - m n), розташовуються на однаковій відстані від початку відліку координат, але по різні сторони від неї.
Тут також окремо скажемо про дроби, записані у вигляді 0 n . Така дріб дорівнює нулю, тобто. 0 n = 0.
Підсумовуючи все сказане вище, ми підійшли до найважливішого поняття раціональних чисел.
Визначення 10
Раціональні числа– це безліч позитивних дробів, негативних дробів та дробів виду 0 n .
Перелічимо основні дії із дробами. Загалом і в цілому, суть їх та ж, що мають відповідні дії з натуральними числами
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Ця стаття про звичайні дроби. Тут ми познайомимося з поняттям частки цілого, яке приведе нас до визначення звичайного дробу. Далі зупинимося на прийнятих позначеннях для звичайних дробів і наведемо приклади дробів, скажімо про чисельник та знаменник дробу. Після цього дамо визначення правильних та неправильних, позитивних та негативних дробів, а також розглянемо положення дробових чисел на координатному промені. На закінчення перерахуємо основні події з дробами.
Навігація на сторінці.
Спочатку введемо поняття частки.
Припустимо, що ми маємо певний предмет, складений із кількох абсолютно однакових (тобто, рівних) частин. Для наочності можна, наприклад, яблуко, розрізане кілька рівних частин, чи апельсин, що з кількох рівних часточок. Кожну з цих рівних частин, що становлять цілий предмет, називають часткою цілогоабо просто часткою.
Зауважимо, що частки бувають різні. Пояснимо це. Нехай у нас є два яблука. Розріжемо перше яблуко на дві рівні частини, а друге – на шість рівних частин. Зрозуміло, частка першого яблука відрізнятиметься від частки другого яблука.
Залежно від кількості часток, що становлять цілий предмет, ці частки мають свої назви. Розберемо назви часток. Якщо предмет становлять дві частки, кожна їх називається одна друга частка цілого предмета; якщо предмет становлять три частки, то кожна з них називається одна третя частка, і таке інше.
Одна друга частка має спеціальну назву – половина. Одна третя частка називається третю, а одна четверна частка – чвертю.
Для стислості запису було введено такі позначення часток. Одну другу частку позначають як або 1/2, одну третю частку – як або 1/3; одну четверту частку - як або 1/4 і так далі. Зазначимо, що запис із горизонтальною характеристикою використовується частіше. Для закріплення матеріалу наведемо ще один приклад: запис означає одну сто шістдесят сьому частку цілого.
Поняття частки природно поширюється з предметів на величини. Наприклад, одним із заходів вимірювання довжини є метр. Для вимірювання довжин менших за метр можна використовувати частки метра. Так можна скористатися, наприклад, половиною метра або десятою або тисячною часткою метра. Аналогічно застосовуються частки інших величин.
Для опису кількості часток використовуються звичайні дроби. Наведемо приклад, який дозволить нам підійти до визначення звичайних дробів.
Нехай апельсин складається з 12 часток. Кожна частка у разі представляє одну дванадцяту частку цілого апельсина, тобто, . Дві частки позначимо як , три частки - як , і так далі, 12 часток позначимо як . Кожен із наведених записів називають звичайним дробом.
Тепер дамо спільне визначення звичайних дробів.
Озвучене визначення звичайних дробів дозволяє навести приклади звичайних дробів: 5/10 , , 21/1 , 9/4 , . А ось записи 
не підходять під озвучене визначення звичайних дробів, тобто не є звичайними дробами.
Для зручності у звичайному дробі розрізняють чисельник та знаменник.
Визначення.
Чисельникзвичайного дробу (m/n) – це натуральне число m.
Визначення.
Знаменникзвичайного дробу (m/n ) – це натуральне число n .
Отже, чисельник розташований зверху над межею дробу (ліворуч від похилої межі), а знаменник – знизу під межею дробу (праворуч від похилої межі). Для прикладу наведемо звичайний дріб 17/29, чисельником цього дробу є число 17, а знаменником - число 29.
Залишилося обговорити зміст, укладений у чисельнику і знаменнику звичайного дробу. Знаменник дробу показує, з скільки частин складається один предмет, чисельник у свою чергу вказує кількість таких часток. Наприклад, знаменник 5 дробу 12/5 означає, що один предмет складається з п'яти часток, а чисельник 12 означає, що взято 12 таких часток.
Знаменник звичайного дробу може дорівнювати одиниці. У цьому випадку можна вважати, що предмет неподільний, іншими словами, є чимось цілим. Чисельник такого дробу вказує, скільки цілих предметів взято. Таким чином, звичайний дріб виду m/1 має сенс натурального числа m. Так ми довели справедливість рівності m/1=m .
Перепишемо останню рівність так: m=m/1. Ця рівність дає нам можливість будь-яке натуральне число m представляти у вигляді звичайного дробу. Наприклад, число 4 – це дріб 4/1, а число 103498 дорівнює дробу 103498/1.
Отже, будь-яке натуральне число m можна подати у вигляді звичайного дробу зі знаменником 1 як m/1 , а будь-який звичайний дріб виду m/1 можна замінити натуральним числом m.
Уявлення вихідного предмета як n часток є нічим іншим як поділ на n рівних частин. Після того, як предмет розділений на n частиною, ми можемо розділити порівну між n людьми – кожен отримає по одній частці.
Якщо ж у нас є спочатку m однакових предметів, кожен з яких розділений на n частиною, то ці m предметів ми можемо порівну поділити між n людьми, роздавши кожній людині по одній частці кожного з m предметів. При цьому у кожної людини буде m часткою 1/n, а m часткою 1/n дає звичайний дріб m/n. Таким чином, звичайний дріб m/n можна застосовувати для позначення розподілу предметів m між n людьми.
Так ми отримали явний зв'язок між звичайними дробами та поділом (дивіться загальне уявлення про розподіл натуральних чисел). Цей зв'язок виражається в наступному: рису дробу можна розуміти як знак розподілу, тобто m/n=m:n.
За допомогою звичайного дробу можна записати результат поділу двох натуральних чисел, для яких не виконується поділ націло. Наприклад, результат розподілу 5 яблук на 8 чоловік можна записати як 5/8, тобто, кожному дістанеться п'ять восьмих часток яблука: 5:8 = 5/8.
Досить природною дією є порівняння звичайних дробів, адже зрозуміло, що 1/12 апельсина відрізняється від 5/12, а 1/6 частка яблука така сама, як інша 1/6 частка цього яблука.
В результаті порівняння двох звичайних дробів виходить один із результатів: дроби або рівні, або не рівні. У першому випадку ми маємо рівні звичайні дроби, а у другому – нерівні звичайні дроби. Дамо визначення рівних та нерівних звичайних дробів.
Визначення.
рівні, якщо справедлива рівність a d = b c .
Визначення.
Два звичайні дроби a/b та c/d не рівні, якщо рівність a d = b c не виконується.
Наведемо кілька прикладів рівних дробів. Наприклад, звичайний дріб 1/2 дорівнює дробу 2/4, так як 1 · 4 = 2 · 2 (при необхідності дивіться правила та приклади множення натуральних чисел). Для наочності можна уявити два однакових яблука, перше розрізане навпіл, а друге – на 4 частки. При цьому очевидно, що дві четверті частки яблука становлять 1/2 частку. Іншими прикладами рівних звичайних дробів є дроби 4/7 і 36/63, а також пара дробів 81/50 та 1620/1000.
А прості дроби 4/13 і 5/14 не рівні, оскільки 4·14=56 , а 13·5=65 , тобто, 4·14≠13·5 . Іншим прикладом нерівних звичайних дробів є дроби 17/7 та 6/4.
Якщо при порівнянні двох звичайних дробів з'ясувалося, що вони не рівні, то можливо знадобиться дізнатися, який із цих звичайних дробів меншеінший, а яка – більше. Щоб це з'ясувати, використовується правило порівняння звичайних дробів, суть якого зводиться до приведення порівнюваних дробів до спільного знаменника та подальшого порівняння чисельників. Детальна інформація з цієї теми зібрана у статті порівняння дробів: правила, приклади, рішення.
Кожен дріб є записом дробового числа. Тобто, дріб – це лише «оболонка» дробового числа, його зовнішній вигляд, а все смислове навантаження міститься саме у дробовому числі. Однак для стислості та зручності поняття дробу та дробового числа поєднують і говорять просто дріб. Тут доречно перефразувати відомий вислів: ми говоримо дріб – маємо на увазі дробове число, ми говоримо дробове число – маємо на увазі дріб.
Всі дробові числа, що відповідають звичайним дробам, мають своє унікальне місце на тобто існує взаємно однозначна відповідність між дробами і точками координатного променя.
Щоб на координатному промені потрапити в точку, що відповідає дробу m/n, потрібно від початку координат у позитивному напрямку відкласти m відрізків, довжина яких становить 1/n частку одиничного відрізка. Такі відрізки можна отримати, розділивши одиничний відрізок на n рівних частин, що можна зробити з допомогою циркуля і лінійки.
Наприклад покажемо точку М на координатному промені, відповідну дробу 14/10 . Довжина відрізка з кінцями в точці O і найближчої до неї точці, позначеної маленьким штрихом, становить 1/10 частку одиничного відрізка. Крапка з координатою 14/10 віддалена від початку координат на відстань 14 таких відрізків.
Рівним дробам відповідає те саме дробове число, тобто, рівні дроби є координатами однієї й тієї ж точки на координатному промені. Наприклад, координатам 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 на координатному промені відповідає одна точка, оскільки всі записані дроби рівні (вона розташована на відстані половини одиничного відрізка, відкладеного від початку відліку в позитивному напрямку).
На горизонтальному і спрямованому праворуч координатному промені точка, координатою якої є великий дріб, розташовується правіше точки, координатою якої є менший дріб. Аналогічно, точка з меншою координатою лежить лівіше від точки з більшою координатою.
Серед звичайних дробів розрізняють правильні та неправильні дроби. Цей поділ у своїй основі має порівняння чисельника та знаменника.
Дамо визначення правильних і неправильних звичайних дробів.
Визначення.
Правильний дріб– це звичайний дріб, чисельник якого менший за знаменник, тобто, якщо m Визначення.
Неправильний дріб– це звичайний дріб, у якому чисельник більший або дорівнює знаменнику, тобто якщо m≥n , то звичайний дріб є неправильним. Наведемо кілька прикладів правильних дробів: 1/4 , 32 765/909 003 . Дійсно, у кожному із записаних звичайних дробів чисельник менший за знаменник (за потреби дивіться статтю порівняння натуральних чисел), тому вони правильні за визначенням. А ось приклади неправильних дробів: 9/9, 23/4,. Справді, чисельник першою із записаних звичайних дробів дорівнює знаменнику, а інших дробах чисельник більше знаменника. Також мають місце визначення правильних та неправильних дробів, що базуються на порівнянні дробів з одиницею. Визначення. правильноюякщо вона менше одиниці. Визначення. Звичайний дріб називається неправильною, Якщо вона або дорівнює одиниці, або більше 1 . Так звичайний дріб 7/11 – правильний, оскільки 7/11<1
, а обыкновенные дроби 14/3
и 27/27
– неправильные, так как 14/3>1, а 27/27=1. Давайте поміркуємо, чим звичайні дроби з чисельником, вищим або рівним знаменнику, заслужили таку назву - «неправильні». Для прикладу візьмемо неправильний дріб 9/9. Цей дріб означає, що взято дев'ять часток предмета, що складається з дев'яти часток. Тобто з наявних дев'яти часток ми можемо скласти цілий предмет. Тобто, неправильний дріб 9/9 насправді дає цілий предмет, тобто, 9/9=1 . Взагалі, неправильні дроби з чисельником рівним знаменнику позначають один цілий предмет, і такий дріб може замінити натуральне число 1 . Тепер розглянемо неправильні дроби 7/3 та 12/4. Досить очевидно, що з цих семи третіх часток ми можемо скласти два цілих предмети (один цілий предмет складають 3 частки, тоді для складання двох цілих предметів нам знадобиться 3+3=6 часток) і залишиться ще одна третя частка. Тобто неправильний дріб 7/3 по суті означає 2 предмети та ще 1/3 частку такого предмета. А з дванадцяти четвертих часток ми можемо скласти три цілих предмети (три предмети по чотири частки в кожному). Тобто, дріб 12/4 насправді означає 3 цілих предмета. Розглянуті приклади приводять нас до наступного висновку: неправильні дроби, можуть бути замінені або натуральними числами, коли чисельник ділиться націло на знаменник (наприклад, 9/9=1 і 12/4=3 ), або сумою натурального числа та правильного дробу, коли чисельник не ділиться націло на знаменник (наприклад, 7/3=2+1/3). Можливо, саме цим і заслужили неправильні дроби таку назву - "неправильні". Окремий інтерес викликає подання неправильного дробу у вигляді суми натурального числа та правильного дробу (7/3=2+1/3). Цей процес називається виділенням цілої частини з неправильного дробу, і заслуговує на окремий і більш уважний розгляд. Також варто зауважити, що існує дуже тісний зв'язок між неправильними дробами та змішаними числами. Кожен звичайний дріб відповідає позитивному дробовому числу (дивіться статтю позитивні та негативні числа). Тобто, звичайні дроби є позитивними дробами. Наприклад, прості дроби 1/5 , 56/18 , 35/144 – позитивні дроби. Коли потрібно особливо виділити позитивність дробу, перед нею ставиться знак плюс, наприклад, +3/4 , +72/34 . Якщо перед звичайним дробом поставити знак мінус, то цей запис відповідатиме негативному дробовому числу. У цьому випадку можна говорити про негативних дробах. Наведемо кілька прикладів негативних дробів: −6/10 , −65/13 , −1/18 . Позитивний і негативний дроби m/n і −m/n є протилежними числами . Наприклад, дроби 5/7 та −5/7 – протилежні дроби. Позитивні дроби, як і позитивні числа загалом, позначають додаток, дохід, зміна будь-якої величини у бік збільшення тощо. Негативні дроби відповідають витратам, боргу, зміні будь-якої величини у бік зменшення. Наприклад, негативний дріб −3/4 можна трактувати як борг, величина якого дорівнює 3/4 . На горизонтальній і спрямованій праворуч негативні дроби розташовуються лівіше початку відліку. Точки координатної прямої, координатами яких є позитивний дріб m/n і негативний дріб m/n розташовані на однаковій відстані від початку координат, але по різні сторони від точки O . Тут варто сказати про дроби виду 0/n . Ці дроби дорівнюють числу нуль, тобто, 0/n=0 . Позитивні дроби, негативні дроби, і навіть дроби 0/n об'єднуються у раціональні числа . Одна дія зі звичайними дробами – порівняння дробів – ми вже розглянули вище. Визначено ще чотири арифметичні дії з дробами– додавання, віднімання, множення та поділ дробів. Зупинимося кожному з них. Загальна суть дій із дробами аналогічна суті відповідних дій із натуральними числами. Проведемо аналогію. Розмноження дробівможна розглядати як дію, при якій знаходиться дріб від дробу. Для пояснення наведемо приклад. Нехай ми маємо 1/6 частину яблука і нам потрібно взяти 2/3 частини від неї. Потрібна нам частина є результатом множення дробів 1/6 та 2/3. Результатом множення двох звичайних дробів є звичайний дріб (який окремо дорівнює натуральному числу). Далі рекомендуємо до вивчення інформацію статті множення дробів – правила, приклади та рішення. Список літератури. Дроби ми постійно використовуємо у житті. Наприклад, коли їмо торт із друзями. Торт можна розділити на 8 рівних частин або 8 часткою. Частка- Це рівна частина від чогось цілого. Чотири друзі з'їли по шматочку торта. Чотири взяли з восьми шматочків можна записати математично у вигляді звичайного дробу\(\frac(4)(8)\), читається дріб "чотири восьмих" або "чотири ділене на вісім". Звичайний дріб ще називають простим дробом. Дробова характеристика замінює поділ: 4 – чисельникабо ділене, знаходиться вгорі над дробовою рисою і показує скільки частин або часток із загального було взято. Якщо ми придивимося уважно, побачимо, що друзі з'їли половину торта або одну частину з двох. Запишемо у вигляді звичайного дробу \(\frac(1)(2)\), читається "одна друга". Розглянемо ще приклад: Дві частини зафарбували, а всього частин п'ять, тому дріб матиме вигляд \(\frac(2)(5)\), читається дріб "дві п'ятих". Розділимо квадрат на дрібніші квадрати і запишемо дроби, для зафарбованих і незафарбованих частин. Зафарбованих 6 частин, а лише 25 частин. Отримуємо дріб \(\frac(6)(25)\), читається дріб "шість двадцять п'ятих". Зафарбовані 4 частини, а всього 25 частин. Отримуємо дріб \(\frac(4)(25)\), читається дріб "чотири двадцять п'ятих". Будь-яке натуральне число можна подати у вигляді дробу. Наприклад: \(5 = \frac(5)(1)\) Будь-яке число ділитися на одиницю, тому це число можна подати у вигляді дробу. Питання на тему “звичайні дроби”:
Що вказує знаменник? Що вказує чисельник? Дорога складала 100м. Мишко пройшов 31м. Запишіть дробом вираз скільки пройшов Мишко? Що таке звичайний дріб? Як перевести натуральне число у звичайний дріб? Завдання №1:
Рішення: Миші відрізали \(\frac(2)(9)\) дині. У знаменнику стоїть число 9, отже, на 9 частин розділили диню. Щоб знайти яка маса дині залишилася потрібно відняти від загальної маси дині з'їдену масу. Часткою одиниці і представляється у вигляді \frac(a)(b). Чисельник дробу (a)- Число, що знаходиться над межею дробу і показує кількість часток, на які була поділена одиниця. Знаменник дробу (b)- Число, що знаходиться під межею дробу і показує на скільки часток поділили одиницю. Приховати Показати
Якщо ad = bc, то два дроби \frac(a)(b)і \frac(c)(d)вважаються рівними. Наприклад, рівними будуть дроби \frac35і \frac(9)(15), Так як 3 \ cdot 15 = 15 \ cdot 9 , \frac(12)(7)і \frac(24)(14), Так як 12 \ cdot 14 = 7 \ cdot 24 . З визначення рівності дробів випливає, що рівними будуть дроби \frac(a)(b)і \frac(am)(bm), оскільки a(bm)=b(am) — наочний приклад застосування поєднаного та переміщувального властивостей множення натуральних чисел у дії. Значить \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- Так виглядає основна властивість дробу. Іншими словами, ми отримаємо дріб, рівний даній, помноживши або розділивши чисельник і знаменник вихідного дробу на те саме натуральне число. Скорочення дробу- Це процес заміни дробу, при якому новий дріб виходить рівною вихідною, але з меншим чисельником і знаменником. Скорочувати дроби прийнято, спираючись на основну властивість дробу. Наприклад, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(числитель та знаменник ділиться на число 3); отриманий дріб знову можна скоротити, розділивши на 5 , тобто \frac(15)(20)=\frac 34. Нескоротний дріб- це дріб виду \frac 34, де чисельник та знаменник є взаємно простими числами. Основна мета скорочення дробу - зробити дріб нескоротним. Візьмемо як приклад два дроби: \frac(2)(3)і \frac(5)(8)з різними знаменниками 3 та 8 . Для того, щоб привести ці дроби до спільного знаменника і спочатку перемножимо чисельник і знаменник дробу \frac(2)(3)на 8 . Отримуємо наступний результат: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Потім множимо чисельник і знаменник дробу \frac(5)(8)на 3 . Отримуємо в результаті: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Отже, вихідні дроби наведено до спільного знаменника 24 . а) При однакових знаменниках чисельник першого дробу складають із чисельником другого дробу, залишаючи знаменник колишнім. Як видно з прикладу: \frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b); б) При різних знаменниках дроби спочатку призводять до спільного знаменника, а потім виконують додавання чисельників за правилом а): \frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +frac(3)(12)=frac(31)(12). а) При однакових знаменниках з чисельника першого дробу віднімають чисельник другого дробу, залишаючи знаменник тим самим: \frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b); б) Якщо ж знаменники дробів різні, спочатку дроби призводять до спільного знаменника, та був повторюють дії як у пункті а) . Примноження дробів підпорядковується наступному правилу: \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d), тобто перемножують окремо чисельники та знаменники. Наприклад: \frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40). Розподіл дробів виробляють наступним способом: \frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc), тобто дріб \frac(a)(b)множиться на дріб \frac(d)(c). Приклад: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2). Якщо ab=1 , число b є зворотним числомдля числа a. Приклад: для числа 9 оберненим є \frac(1)(9), так як 9 \cdot \frac(1)(9)=1для числа 5 - \frac(1)(5), так як 5 \cdot \frac(1)(5)=1. Десятичним дробомназивається правильний дріб, знаменник якого дорівнює 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n. Наприклад: \frac(6)(10)=0,6;\enspace \frac(44)(1000)=0,044. Так само пишуться неправильні зі знаменником 10^n або змішані числа. Наприклад: 5\frac(1)(10)=5,1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7,63. У вигляді десяткового дробу представляється кожен звичайний дріб зі знаменником, який є дільником певного ступеня числа 10 . Приклад: 5 — дільник числа 100 тому дроб \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0,2. Для складання двох десяткових дробів, потрібно їх розташувати так, щоб один під одним виявилися однакові розряди і кома під комою, а потім виконати додавання дробів як звичайних чисел. Виконується аналогічно до додавання. При множенні десяткових чисел достатньо перемножити задані числа, не звертаючи уваги на коми (як натуральні числа), а в отриманій відповіді комою праворуч відокремлюється стільки цифр, скільки їх коштує після коми в обох множниках сумарно. Давайте виконаємо множення 2,7 на 1,3. Маємо 27 \cdot 13 = 351. Відокремлюємо праворуч дві цифри коми (у першого та другого числа — одна цифра після коми; 1+1=2). У результаті отримуємо 2,7 1,3 = 3,51. Якщо в отриманому результаті виходить менше цифр, ніж треба відокремити комою, то попереду пишуть нулі, що бракують, наприклад: Для множення на 10, 100, 1000, треба в десятковому дробі перенести кому на 1, 2, 3 цифри вправо (у разі необхідності праворуч приписується певна кількість нулів). Наприклад: 1,47 \ cdot 10 \, 000 = 14700 . Розподіл десяткового дробу на натуральне число роблять також, як і розподіл натурального числа на натуральне. Кома в приватному ставиться після того, як закінчено розподіл цілої частини. Якщо ціла частина діленого менше дільника, то у відповіді виходить нуль цілих, наприклад: Розглянемо розподіл десяткового дробу на десятковий. Нехай потрібно розділити 2,576 на 1,12. Насамперед, помножимо ділене і дільник дробу на 100 , тобто перенесемо кому вправо в ділимому і дільнику на стільки знаків, скільки їх коштує в дільнику після коми (у даному прикладі на дві). Потім потрібно виконати поділ дробу 257,6 на натуральне число 112 тобто завдання зводиться до вже розглянутого випадку: Буває так, що не завжди виходить кінцевий десятковий дріб при розподілі одного числа на інше. В результаті виходить нескінченний десятковий дріб. У разі переходять до звичайним дробам. 2,8: 0,09= \frac(28)(10) : \frac(9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31 \frac(1)(9). ,
Конкурс «Презентація до уроку»
Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію. Цілі:знати термін "дроб", його визначення, вміти читати і записувати звичайні дроби, вказувати знаменник і чисельник дробу, показувати відповідний дріб геометричної фігури; закріплювати вміння аналізувати та вирішувати завдання різного виду, співвідношення одиниць вимірювання величин; розвивати мову, логічне мислення, пам'ять, увагу, навички самоконтролю та самоаналізу. Обладнання: мультимедійна дошка, проектор, презентація до уроку, підручник "Математика" - 4 клас, частина 1, за редакцією Л.Г. Петерсон. Хід уроку 1) Організаційний початок. Діти, сьогодні на уроці ви повинні відкрити нове знання, але, як вам відомо, кожне нове знання пов'язане з тим, що ми вже вивчили. Тож почнемо з повторення. Перед тим, як приступити до роботи, згадаємо: яких правил ми повинні дотримуватися на уроці? Відповіді дітей. Вчитель вислуховує правила: Чути одне одного. Доповнювати. Виправляти, допомагати. Обчисливши значення виразів та розташувавши їх у порядку зростання, ви дізнаєтесь тему уроку. Як 1 поділити на 2? (Відповіді дітей) Проблема? 4) Постановка навчальної задачі. Людям часто доводиться ділити ціле частки. Найвідоміша частка – це звичайно половина. Слово з приставкою "підлога" можна почути щодня. 5) "Відкриття" нових знань. Рівні частини кавуна – це частки. Кавун розділили на 6 часток, то одна частка - "одна шоста кавуна", а інша частина - 5/6. Відрізок розділили на 7 часток. Знайти одну частку, дві частки, п'ять часток, шість часток, сім часток, вісім часток. Записи типу 5/6 називають звичайними дробами. Чисельник дробу – 5, знаменник дробу – 6. Знаменник дробу показує на скільки часток ділять, а чисельник дробу – скільки таких часток взято. Слайди 5-17. Пограємось у гру "Долі". Знайди дроби та клацни по ній мишкою. (Учні виходять до комп'ютера та знаходять дроби) 6) Фізкультхвилинка. 7) Завдання №1, с. 79 підручника – з коментуванням. Заповнити таблицю, описуючи дробом зафарбовану та незафарбовану частину фігур. 8) Практична робота. Завдання №2, с. 80 підручника – зображення відповідних дробів. 9) Закріплення.
А) Читання дробів: завдання №3, с. 80 підручників. Б) Відсотки:завдання 4, 5, с. 80 підручників. В) Одиниці виміру величин: завдання № 7, с. 81підручника.
Г) Розв'язання задач. Слайд 18. Дорога від Фабричного до Іллінського дорівнює 8 км. Петро пройшов 3 км. Яку частину дороги він пройшов? У бідон налили молоко. Яка частина бідону зайнята молоком? Яку частину всіх яблук поклали у тарілку? (Запросити до комп'ютера учня) Завдання логічне мислення. Як розрізати голівку сиру на 8 рівних часток, зробивши лише 3 розрізи? Слайди 22-27. Позначте на координатному промені миготливу точку. (Запросити до комп'ютера учня) 10) Підсумок уроку. Розкажіть які відкриття зробили сьогодні? Що впізнали нового? Що називаємо дробом? Як записують дріб? Що означає дробова характеристика? Як називаються числа дробу? Що вказує чисельник? Знаменник дробу? Наведіть приклади дробів. 11) Домашнє завдання: № 6, 9, с. 80-81 підручник.Позитивні та негативні дроби
Дії з дробами
\(4 \div 8 = \frac(4)(8)\)
Це ми записали частки у дробах. У буквеному вигляді буде так:
\(\bf m \div n = \frac(m)(n)\)
8 – знаменникабо дільник, що знаходиться внизу під дробовою рисою і показує загальну кількість частин або часток.
Є квадрат. Квадрат розділили на 5 рівних частин. Дві частини зафарбували. Запишіть дріб для зафарбованих частин? Запишіть дріб для незафарбованих частин?
Три частини не зафарбували, всього частин п'ять, тому дріб запишемо так \(\frac(3)(5)\), читається дріб "три п'ятих".
Чи не зафарбованих 19 частин, а всього 25 частин. Отримуємо дріб \(\frac(19)(25)\), читається дріб "дев'ятнадцять двадцять п'ятих".
Чи не зафарбованих 21 частин, а всього 25 частин. Отримуємо дріб \(\frac(21)(25)\), читається дріб "двадцять один двадцять п'ятих".
\(\bf m = \frac(m)(1)\)
Що таке?
Відповідь: частка- Це рівна частина від чогось цілого.
Відповідь: знаменник показує на скільки частин або часток поділено.
Відповідь: чисельник показує скільки частин чи часток було взято.
Відповідь:\(\frac(31)(100)\)
Відповідь: звичайний дріб – це відношення чисельника до знаменника, де чисельник менший за знаменник. Приклад, звичайних дробів \(\frac(1)(4), \frac(3)(7), \frac(5)(13), \frac(9)(11)…\)
Відповідь: будь-яке число можна записати у вигляді дробу, наприклад, \(5 = \frac(5)(1)\)
Купили 2кг 700г дині. Миші відрізали \(\frac(2)(9)\) дині. Чому дорівнює маса відрізаного шматочка? Скільки грамів дині лишилося?
Переведемо кілограми у грами.
2кг = 2000г
2000г + 700г = 2700г всього важить диня.
2700: 9 = 300г маса одного шматочка.
У чисельники стоїть число 2, отже треба Мишкові дати два шматочки.
300 + 300 = 600г або 300 ⋅ 2 = 600г стільки дині з'їв Мишко.
2700 - 600 = 2100г залишилося дині.Основна властивість дробу
Приведення дробів до спільного знаменника
Арифметичні події над звичайними дробами
Додавання звичайних дробів
Віднімання звичайних дробів
Розмноження звичайних дробів
Розподіл звичайних дробів
Взаємно зворотні числа
Десяткові дроби
Арифметичні дії над десятковими дробами
Додавання десяткових дробів
Віднімання десяткових дробів
Розмноження десяткових дробів
Розподіл десяткових дробів
.png)
.png)
Презентація до уроку
Назад вперед
