У задачах 1 - 20 дано вершини трикутника АВС.
Знайти: 1) довжину сторони АВ; 2) рівняння сторін АВ та АС та їх кутові коефіцієнти; 3) Внутрішній кут А у радіанах з точністю до 0,01; 4) рівняння висоти CD та її довжину; 5) рівняння кола, для якого висота CD є діаметр; 6) систему лінійних нерівностей, що визначають трикутник АВС
Довжина сторін трикутника:
|AB| = 15
|AC| = 11.18
|BC| = 14.14
Відстань d від точки M: d = 10
Дано координати вершин трикутника: A(-5,2), B(7,-7), C(5,7).
2) Довжина сторін трикутника
Відстань d між точками M 1 (x 1 ; y 1) і M 2 (x 2 ; y 2) визначається за формулою:
8) Рівняння прямої
Пряма, що проходить через точки A 1 (x 1 ; y 1) і A 2 (x 2 ; y 2), представляється рівняннями: 
Рівняння прямої AB 
або
або
y = -3 / 4 x -7 / 4 або 4y + 3x +7 = 0
Рівняння прямої AC
Канонічне рівняння прямої: 
або
або
y = 1 / 2 x + 9 / 2 або 2y -x - 9 = 0
Рівняння прямої BC
Канонічне рівняння прямої: 
або
або
y = -7x + 42 або y + 7x - 42 = 0
3) Кут між прямими
Рівняння прямої AB:y = -3/4 x -7/4
Рівняння прямої AC: y = 1/2 x + 9/2
Кут φ між двома прямими, заданими рівняннями з кутовими коефіцієнтами y = k 1 x + b 1 і y 2 = k 2 x + b 2 обчислюється за формулою:
Кутові коефіцієнти даних прямих рівні -3/4 та 1/2. Скористаємося формулою, причому її праву частину беремо за модулем: 
tg φ = 2
φ = arctg(2) = 63.44 0 або 1.107 рад.
9) Рівняння висоти через вершину C
Пряма, що проходить через точку N 0 (x 0 ; y 0) і перпендикулярна до прямої Ax + By + C = 0 має напрямний вектор (A; B) і, отже, представляється рівняннями: 
Це рівняння можна знайти й іншим способом. Для цього знайдемо кутовий коефіцієнт k1 прямий AB.
Рівняння AB: y = -3/4 x -7/4, тобто. k 1 = -3/4
Знайдемо кутовий коефіцієнт k перпендикуляра із умови перпендикулярності двох прямих: k 1 *k = -1.
Підставляючи замість k 1 кутовий коефіцієнт даної прямої, отримаємо:
-3/4 k = -1, звідки k = 4/3
Так як перпендикуляр проходить через точку C (5,7) і має k = 4 / 3, будемо шукати його рівняння у вигляді: y-y 0 = k (x-x 0).
Підставляючи x 0 = 5, k = 4/3, y 0 = 7 отримаємо:
y-7 = 4/3 (x-5)
або
y = 4 / 3 x + 1 / 3 або 3y -4x - 1 = 0
Знайдемо точку перетину з прямою AB:
Маємо систему із двох рівнянь:
4y + 3x +7 = 0
3y -4x - 1 = 0
З першого рівняння виражаємо y і підставимо друге рівняння.
Отримуємо:
x = -1
y = -1
D(-1;-1)
9) Довжина висоти трикутника, проведеної з вершини C
Відстань d від точки M 1 (x 1; y 1) до прямої Ax + By + С = 0 дорівнює абсолютному значенню величини: 
Знайдемо відстань між точкою C(5;7) та прямою AB (4y + 3x +7 = 0) 
Довжину висоти можна обчислити і за іншою формулою, як відстань між точкою C(5;7) та точкою D(-1;-1).
Відстань між двома точками виражається через координати формулою:
5) рівняння кола, для якого висота CD є діаметр;
Рівняння кола радіуса R з центром у точці E(a;b) має вигляд:
(x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2
Оскільки CD є діаметром шуканого кола, її центр Е є середина відрізка CD. Скориставшись формулами поділу відрізка навпіл, отримаємо: 
Отже, Е(2;3) і R = CD / 2 = 5. Використовую формулу, отримуємо рівняння шуканого кола: (x-2) 2 + (y-3) 2 = 25 
6) система лінійних нерівностей, що визначають трикутник АВС.
Рівняння прямої AB: y = -3/4 x -7/4
Рівняння прямої AC: y = 1/2 x + 9/2
Рівняння прямої BC: y = -7x + 42
1. Рівняння сторін АВ та ВС та їх кутові коефіцієнти.
У завданні дано координати точок, через які проходять ці прямі, тому скористаємось рівнянням прямої, що проходить через дві задані точки $$\frac(x-x_1)(x_2-x_1)=\frac(y-y_1)(y_2-y_1)$ $ підставляємо та отримуємо рівняння
рівняння прямої AB $$\frac(x+6)(6+6)=\frac(y-8)(-1-8) => y = -\frac(3)(4)x + \frac(7 )(2)$$ кутовий коефіцієнт прямий AB дорівнює \(k_(AB) = -\frac(3)(4)\)
рівняння прямої BC $$\frac(x-4)(6-4)=\frac(y-13)(-1-13) => y = -7x + 41$$ кутовий коефіцієнт прямий BC дорівнює \(k_( BC) = -7\)
2. Кут В у радіанах з точністю до двох знаків
Кут B - кут між прямими AB і BC, який розраховується за формулою $$tg\phi=|\frac(k_2-k_1)(1+k_2*k_1)|$$підставляємо значення кутових коефіцієнтів цих прямих і отримуємо $$tg\ phi=|\frac(-7+\frac(3)(4))(1+7*\frac(3)(4))| = 1 => \phi = \frac(\pi)(4) \approx 0.79$$
3.Довжину сторони АВ
Довжина сторони AB розраховується як відстань між точками і дорівнює \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\) => $$d_(AB) = \sqrt((6+ 6) ^ 2 + (-1-8) ^ 2) = 15 $ $
4.Рівняння висоти CD та її довжину.
Рівняння висоти знаходитимемо за формулою прямої, що проходить через задану точку С(4;13) у заданому напрямку - перпендикулярно до прямої AB за формулою \(y-y_0=k(x-x_0)\). Знайдемо кутовий коефіцієнт висоти \(k_(CD)\) скориставшись властивістю перпендикулярних прямих \(k_1=-\frac(1)(k_2)\) отримаємо $$k_(CD)= -\frac(1)(k_(AB) ) = -\frac(1)(-\frac(3)(4)) = \frac(4)(3)$$ Підставляємо в рівняння прямий, отримуємо $$y - 13 = \frac(4)(3) (x-4) => y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)$$ Довжину висоти шукатимемо як відстань від точки С(4;13) до прямої AB за формулою $$d = \frac(Ax_0+By_0+C)(\sqrt(A^2+B^2))$$ у чисельнику рівняння прямої AB, приведемо його до цього виду \(y = -\frac(3)(4)x + \frac(7)(2) => 4y+3x-14 = 0\) , підставляємо отримане рівняння та координати точки у формулу $$d = \frac(4*13+3*4-14 )(\sqrt( 4^2+3^2)) = \frac(50)(5) =10$$
5. Рівняння медіани АЕ та координати точки До перетину цієї медіани з висотою CD.
Рівняння медіани будемо шукати як рівняння прямої, що проходить через дві задані точки А(-6;8) та E , де точка E - середина між точками B та C та її координати знаходяться за формулою \(E(\frac(x_2+x_1)) (2);\frac(y_2+y_1)(2))\) підставляємо координати точок \(E(\frac(6+4)(2);\frac(-1+13)(2))\) = > \(E(5; 6)\), тоді рівняння медіани AE буде наступним $$\frac(x+6)(5+6)=\frac(y-8)(6-8) => y = - \frac(2)(11)x + \frac(76)(11)$$Знайдемо координати точки перетину висот і медіани, тобто. знайдемо їх загальну точку Для цього складемо систему рівняння $$\begin(cases)y = -\frac(2)(11)x + \frac(76)(11)\y = \frac(4)(3)x+ \frac(23)(3)\end(cases)=>\begin(cases)11y = -2x +76\\3y = 4x+23\end(cases)=>$$$$\begin(cases)22y = -4x +152\3y = 4x+23\end(cases)=> \begin(cases)25y =175\\3y = 4x+23\end(cases)=> $$$$\begin(cases) y =7\\ x=-\frac(1)(2)\end(cases)$$ Координати точки перетину \(K(-\frac(1)(2);7)\)
6.Рівняння прямої що проходить через точку До паралельно до сторони АВ.
Якщо пряма паралельні, їх кутові коефіцієнти рівні, тобто. \(k_(AB)=k_(K) = -\frac(3)(4)\) , також відомі координати точки \(K(-\frac(1)(2);7)\), тобто . для знаходження рівняння прямої застосуємо формулу рівняння прямої, що проходить через задану точку в заданому напрямку \(y - y_0=k(x-x_0)\), підставляємо дані та отримуємо $$y - 7= -\frac(3)(4) (x-\frac(1)(2)) => y = -\frac(3)(4)x + \frac(53)(8)$$
8. Координати точки М яка симетрична точці А щодо прямої CD.
Крапка M лежить на прямий AB, т.к. CD – висота до цієї сторони. Знайдемо точку перетину CD і AB для цього розв'яжемо систему рівнянь $$\begin(cases)y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)\y = -\frac(3)(4) x + \frac(7)(2)\end(cases) =>\begin(cases)3y = 4x+23\\4y =-3x + 14\end(cases) => $$$$\begin(cases ) 12y = 16x + 92 \ 12y = -9x + 42 \ end (cases) =>
\begin(cases)0= 25x+50\\12y =-9x + 42\end(cases) => $$$$\begin(cases)x=-2\y=5 \end(cases)$$ Координати точки D(-2; 5). За умовою AD=DK, ця відстань між точками знаходиться за формулою Піфагора \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\), де AD і DK - гіпотенузи рівних прямокутних трикутників, а (Δx = x_2-x_1) і (Δy = y_2-y_1) - катети цих трикутників, тобто. знайдемо катети знайдемо і координати точки M. \(Δx=x_D-x_A = -2+6=4\), а \(Δy=y_D-y_A = 5-8=-3\), тоді координати точки M дорівнюватимуть \ (x_M-x_D = Δx => x_D +Δx =-2+4=2 \), а \(y_M-y_D = Δy => y_D +Δy =5-3=2 \), отримали, що координати точки \( M(2;2)\)
Приклад вирішення деяких завдань із типової роботи «Аналітична геометрія на площині»
Дані вершини 
,
трикутника АВС. Знайти:
рівняння всіх сторін трикутника;
Систему лінійних нерівностей, що визначають трикутник АВС;
Рівняння висоти, медіани та бісектриси трикутника, проведених з вершини А;
Точку перетину висот трикутника;
Точку перетину медіан трикутника;
Довжину висоти, опущеної набік АВ;
Кут А;
Зробити креслення.
Нехай вершини трикутника мають координати: А (1; 4), У (5; 3), З(3; 6). Відразу намалюємо креслення:
1. Щоб виписати рівняння всіх сторін трикутника, скористаємось рівнянням прямої, що проходить через дві задані точки з координатами ( x 0 , y 0 ) та ( x 1 , y 1 ):
=
Таким чином, підставляючи замість ( x 0 , y 0 ) координати точки А, а замість ( x 1 , y 1 ) координати точки У, ми отримаємо рівняння прямої АВ:
Отримане рівняння буде рівнянням прямої АВ, Записаним у загальній формі. Аналогічно знаходимо рівняння прямої АС:
І так само рівняння прямої НД:
2. Зауважимо, що безліч точок трикутника АВСявляє собою перетин трьох напівплощин, причому кожну напівплощину можна задати за допомогою лінійної нерівності. Якщо ми візьмемо рівняння будь-якої із сторін ∆ АВС, наприклад АВтоді нерівності
і 
задають точки, що лежать по різні боки від прямої АВ. Нам потрібно вибрати ту напівплощину, де лежить точка С. Підставимо її координати в обидві нерівності:
Правильною буде друга нерівність, отже, потрібні точки визначаються нерівністю
.
Аналогічно поводимося з прямою ВС, її рівняння 
. Як пробну використовуємо точку А (1, 1):
отже, необхідна нерівність має вигляд:
.
Якщо перевіримо пряму АС (пробна точка), то отримаємо:
отже, потрібна нерівність матиме вигляд
Остаточно отримуємо систему нерівностей:
Знаки «≤», «≥» означають, що точки, що лежать на сторонах трикутника, також включені в безліч точок, що становлять трикутник АВС.
3. а) Для того, щоб знайти рівняння висоти, опущеної з вершини Ана бік НД, розглянемо рівняння сторони НД:
. Вектор з координатами 
перпендикулярний стороні НДі, отже, паралельний висоті. Запишемо рівняння прямої, яка проходить через точку Апаралельно вектору 
:
Це рівняння висоти, опущеної т.з. Ана бік НД.
б) Знайдемо координати середини сторони НДза формулами: 
Тут 
- Це координати т. У, а 
- Координати т. З. Підставимо та отримаємо:
Пряма, що проходить через цю точку та точку Ає шуканою медіаною:
в) Рівняння бісектриси ми шукатимемо, виходячи з того, що в рівнобедреному трикутнику висота, медіана та бісектриса, опущені з однієї вершини на основу трикутника, рівні. Знайдемо два вектори 
і 
та їх довжини:
Тоді вектор 
має такий самий напрям, що і вектор 
, а його довжина 
Так само одиничний вектор 
збігається у напрямку з вектором 
Сума векторів
є вектор, який збігається у напрямку з бісектрисою кута А. Таким чином, рівняння шуканої бісектриси можна записати у вигляді:
4) Рівняння однієї з висот ми вже збудували. Збудуємо рівняння ще однієї висоти, наприклад, з вершини У. Сторона АСзадається рівнянням 
Значить, вектор 
перпендикулярний АС, І, тим самим, паралельний шуканій висоті. Тоді рівняння пряме, що проходить через вершину Уу напрямку вектора 
(т. е. перпендикулярно АС), має вигляд:
Відомо, що висоти трикутника перетинаються в одній точці. Зокрема, ця точка є перетином знайдених висот, тобто. рішенням системи рівнянь:
- Координати цієї точки.
5. Середина АВмає координати 
. Запишемо рівняння медіани до сторони АВ.Ця пряма проходить через точки з координатами (3, 2) і (3, 6), отже, її рівняння має вигляд:
Зауважимо, що нуль у знаменнику дробу запису рівняння прямої означає, що ця пряма проходить паралельно осі ординат.
Щоб знайти точку перетину медіан, достатньо вирішити систему рівнянь:
Точка перетину медіан трикутника має координати 
.
6. Довжина висоти, опущеної набік АВ,дорівнює відстані від точки Здо прямої АВз рівнянням 
і знаходиться за формулою:
7. Косинус кута Аможна знайти за формулою косинуса кута між векторами 
і 
який дорівнює відношенню скалярного твору цих векторів до твору їх довжин:
.
Інструкція
Вам задано три точки. Позначимо їх як (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3). Передбачається, що ці точки є вершинами деякого трикутника. Завдання у цьому, щоб скласти рівняння його сторін - точніше рівняння тих прямих, у яких лежать ці сторони. Ці рівняння повинні мати вигляд:
y = k1 * x + b1;
y = k2 * x + b2;
y = k3*x + b3. Отже, вам належить знайти кутові k1, k2, k3 і зміщення b1, b2, b3.
Знайдіть пряму, яка проходить через точки (x1, y1), (x2, y2). Якщо x1 = x2, то пряма вертикальна і її рівняння x = x1. Якщо y1 = y2, то пряма горизонтальна та її рівняння y = y1. Загалом ці координати нічого очікувати одне одному.
Підставляючи координати (x1, y1), (x2, y2) загальне рівнянняпрямий, ви отримаєте систему із двох лінійних рівнянь: k1*x1 + b1 = y1;
k1*x2 + b1 = y2. Відніміть одне рівняння з іншого і розв'яжіть отримане рівняння щодо k1:k1*(x2 - x1) = y2 - y1, отже, k1 = (y2 - y1)/(x2 - x1).
Підставляючи знайдене в будь-яке вихідне рівняння, знайдіть вираз для b1:((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1 + b1 = y1;
b1 = y1 - ((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1. Оскільки вже відомо, що x2 ≠ x1, можна спростити вираз, помноживши y1 на (x2 - x1)/(x2 - x1). Тоді для b1 ви отримаєте такий вираз: b1 = (x1 * y2 - x2 * y1) / (x2 - x1).
Перевірте, чи не третя із заданих точок на знайденій прямій. Для цього підставте (x3, y3) у виведене рівняння і подивіться, чи дотримується рівність. Якщо воно дотримується, отже, всі три точки лежать на одній прямій, і трикутник вироджується у відрізок.
У такий же спосіб, що описано вище, виведіть рівняння для прямих, що проходять через точки (x2, y2), (x3, y3) і (x1, y1), (x3, y3).
Остаточний вид рівнянь для сторін трикутника, заданого координатами вершин, так: (1) y = ((y2 - y1) * x + (x1 * y2 - x2 * y1)) / (x2 - x1);
(2) y = ((y3 - y2) * x + (x2 * y3 - x3 * y2)) / (x3 - x2);
(3) y = ((y3 - y1) * x + (x1 * y3 - x3 * y1)) / (x3 - x1).
Щоб знайти рівняння сторін трикутникаПерш за все, треба постаратися вирішити питання про те, як знайти рівняння прямої на площині, якщо відомий її напрямний вектор s(m, n) і деяка точка М0(x0, y0), що належить прямій.
Інструкція
Візьміть довільну (змінну, плаваючу) точку М(x, y) і побудуйте вектор М0M =(x-x0, y-y0) (записати і М0M(x-x0, y-y0)), який, очевидно, буде колінеарен (паралелен) ) до s. Тоді, можна зробити висновок, що координати цих векторів пропорційні, тому можна скласти канонічну пряму: (x-x0)/m = (y-y0)/n. Саме це співвідношення буде використовуватися при вирішенні поставленого завдання.
Усі подальші дії визначаються виходячи із способу .1-й спосіб. Трикутник заданий координатами трьох його вершин, що у шкільній геометрії завданням довжин трьох його сторін(Див. рис. 1). Тобто за умови дані точки M1(x1, y1), M2(x2, y2), M3(x3, y3). Їм відповідають їх радіус-вектори) OM1, 0M2 та ОМ3 з такими ж, як і у точок, координатами. Для отримання рівняння сторіны М1М2 потрібно її напрямний вектор М1М2=ОМ2 – ОМ1=М1М2(x2-x1, y2-y1) і з точок М1 чи М2 (тут взята точка з меншим індексом).
Отже, для сторінМ1М2 канонічне рівняння прямої (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1). Діючи суто індуктивно можна записати рівняннярешти сторін.Для сторінМ2М3: (x-x2)/(x3-x2)=(y-y2)/(y3-y2). Для сторінМ1М3: (x-x1)/(x3-x1)=(y-y1)/(y3-y1).
2-й спосіб. Трикутник заданий двома точками (теми ж, що раніше М1(x1, y1) і M2(x2, y2)), а також ортами напрямків двох інших сторін. Для сторінМ2М3: p^0(m1, n1). Для М1М3: q^0(m2, n2). Тому для сторінМ1М2 буде тим же, що і в першому способі:(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1).
Для сторіны М2М3 як крапка (x0, y0) канонічного рівняння(x1, y1), а напрямний вектор - це p ^ 0 (m1, n1). Для сторінМ1М3 як крапка (x0, y0) береться (x2, y2), напрямний вектор – q^0(m2, n2). Отже, для М2М3: рівняння (x-x1)/m1=(y-y1)/n1.Для М1М3: (x-x2)/m2=(y-y2)/n2.
Відео на тему
Висотою називають відрізок прямої лінії, що з'єднує вершину фігури з протилежною стороною. Цей відрізок обов'язково має бути перпендикулярним стороні, тому з кожної вершини можна провести лише одну висоту. Оскільки вершин у цій фігурі три, висот у ньому стільки ж. Якщо трикутник заданий координатами своїх вершин, обчислення довжини кожної з висот можна зробити, наприклад, скориставшись формулою знаходження площі та розрахувавши довжини сторін.
Інструкція
Почніть з обчислення довжин сторін трикутника. Позначте координатифігури так: A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) та C(X₃,Y₃,Z₃). Тоді довжину сторони AB ви зможете розрахувати за формулою AB = √((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²). Для двох інших сторін ці виглядатимуть так: BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) і AC = √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃ )² + (Z₁-Z₃)²). Наприклад, для трикутниказ координатами A(3,5,7), B(16,14,19) і C(1,2,13) довжина сторони AB складе √((3-16)² + (5-14)² + (7 -19)²) = √(-13² + (-9²) + (-12²)) = √(169 + 81 + 144) = √394 ≈ 19,85. Довжини сторін BC і AC, розраховані таким же способом, дорівнюватимуть √(15² + 12² + 6²) = √405 ≈ 20,12 та √(2² + 3² + (-6²)) = √49 = 7.
Знання довжин трьох сторін, отриманих на попередньому кроці, достатньо для обчислення площі трикутника(S) за формулою Герона: S = ¼ * √((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Наприклад, підстановки до цієї формули значень, отриманих з координат трикутника-Зразка з попереднього кроку, ця дасть значення: S = ¼ * √ ((19,85 +20,12 +7) * (20,12 +7-19,85) * (19,85 +7-20,12 ) * (19,85 +20,12-7)) = ¼ * √ (46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ≈ ¼ * √75768,55 ≈ ¼ * 275,26 = 68,815 .
Виходячи з площі трикутника, розрахованої на попередньому кроці, та довжин сторін, отриманих на другому кроці, обчисліть висоти для кожної із сторін. Так як площа дорівнює половині добутку висоти на довжину сторони, до якої вона проведена, для знаходження висоти діліть подвоєну площу на довжину потрібної сторони: H = 2*S/a. Для використаного вище прикладу висота, опущена на бік AB складе 2*68,815/16,09 ≈ 8,55, висота до сторони НД мати довжину 2*68,815/20,12 ≈ 6,84, а для сторони АС ця величина дорівнюватиме 2 *68,815/7 ≈ 19,66.
Джерела:
В аналітичній геометрії трикутник на площині можна задати декартової системі координат. Знаючи координати вершин, ви можете скласти рівняння сторін трикутника. Це будуть рівняння трьох прямих, які, перетинаючи, утворюють фігуру.
Завдання 1. Дано координати вершин трикутника АВС: А(4; 3), В(16;-6), С(20; 16). Знайти: 1) довжину сторони АВ; 2) рівняння сторін АВ та ВС та їх кутові коефіцієнти; 3) кут У радіанах з точністю до двох знаків; 4) рівняння висоти СD та її довжину; 5) рівняння медіани AE та координати точки До перетину цієї медіани з висотою CD; 6) рівняння прямої, що проходить через точку До паралельно стороні АВ; 7) координати точки М, розташованої симетрично точки А щодо прямої СD.
Рішення:
1. Відстань d між точками A(x 1 ,y 1) та B(x 2 ,y 2) визначається за формулою
Застосовуючи (1), знаходимо довжину сторони АВ:
2. Рівняння прямої, що проходить через точки A(x 1 ,y 1) і B(x 2 ,y 2) має вигляд
(2)
Підставляючи (2) координати точок А і В, отримаємо рівняння сторони АВ:
Розв'язавши останнє рівняння щодо у, знаходимо рівняння сторони АВ у вигляді рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:
звідки
Підставивши в (2) координати точок В та С, отримаємо рівняння прямої ВС:
Або 
3. Відомо, що тангенс кута між двома прямими, кутові коефіцієнти яких відповідно рівні та обчислюється за формулою
(3)
Шуканий кут В утворений прямими АВ і ПС, кутові коефіцієнти яких знайдені: Застосовуючи (3), отримаємо
Або радий.
4. Рівняння прямої, що проходить через дану точку в заданому напрямку, має вигляд
(4)
Висота CD перпендикулярна стороні АВ. Щоб знайти кутовий коефіцієнт висоти CD, скористаємося умовою перпендикулярності прямих. Бо те 
Підставивши в (4) координати точки З і знайдений кутовий коефіцієнт висоти, отримаємо
Щоб знайти довжину висоти CD, визначимо спочатку координати точки D-точки перетину прямих АВ та CD. Вирішуючи спільно систему:
знаходимо тобто. D(8;0).
За формулою (1) знаходимо довжину висоти CD:
5. Щоб знайти рівняння медіани АЕ, визначимо спочатку координати точки Е, яка є серединою сторони ВС, застосовуючи формули розподілу відрізка на дві рівні частини:
(5)
Отже,
Підставивши в (2) координати точок А та Е, знаходимо рівняння медіани:
Щоб знайти координати точки перетину висоти CD та медіани АЕ, вирішимо спільно систему рівнянь
Знаходимо.
6. Оскільки пряма паралельна стороні АВ, то її кутовий коефіцієнт дорівнюватиме кутовому коефіцієнту прямої АВ. Підставивши в (4) координати знайденої точки К і кутовий коефіцієнт отримаємо 
3x + 4y - 49 = 0 (KF)
7. Оскільки пряма АВ перпендикулярна до прямої CD, то шукана точка М, розташована симетрично до точки А щодо прямої CD, лежить на прямій АВ. Крім того, точка D є серединою відрізка AM. Застосовуючи формули (5), знаходимо координати шуканої точки М:
Трикутник ABC, висота CD, медіана АЕ, пряма KF та точка М побудовані у системі координат хОу на рис. 1.
Завдання 2.
Скласти рівняння геометричного місця точок, відношення відстаней яких до цієї точки А(4; 0) і до цієї прямої х = 1 дорівнює 2. 
Рішення:
У системі координат хОу побудуємо точку А(4;0) і пряму х = 1. Нехай М(х;у) – довільна точка шуканого геометричного місця точок. Опустимо перпендикуляр MB на дану пряму x = 1 і визначимо координати точки В. Оскільки точка лежить на заданій прямій, то її абсциса дорівнює 1. Ордината точки В дорівнює ординаті точки М. Отже, В(1;у) (рис. 2 ).
За умовою завдання | МА |: | МВ | = 2. Відстань |МА| та |MB| знаходимо за формулою (1) задачі 1:
Звівши в квадрат ліву та праву частини, отримаємо
Отримане рівняння є гіперболою, у якої дійсна піввісь а = 2, а уявна –
Визначимо фокуси гіперболи. Для гіперболи виконується рівність Отже, і 
- Фокуси гіперболи. Як видно, задана точка А (4; 0) є правим фокусом гіперболи.
Визначимо ексцентриситет отриманої гіперболи:
Рівняння асимптот гіперболи мають вигляд і. Отже, або - асимптоти гіперболи. Перш ніж побудувати гіперболу, будуємо її асимптоти.
Завдання 3. Скласти рівняння геометричного місця точок, що рівно віддалені від точки А(4; 3) і прямої у = 1. Отримане рівняння привести до найпростішого вигляду.
Рішення:Нехай М(х; у) - одне з точок шуканого геометричного місця точок. Опустимо з точки М перпендикуляр MB на цю пряму у = 1 (рис. 3). Визначимо координати точки В. Очевидно, що абсцис точки В дорівнює абсцисі точки М, а ордината точки В дорівнює 1, тобто В (х; 1). За умовою завдання | МА | = | МВ |. Отже, для будь-якої точки М(х;у), що належить шуканому геометричному місцю точок, справедлива рівність:
Отримане рівняння визначає параболу з вершиною в точці Щоб рівняння параболи привести до найпростішого вигляду, покладемо і y + 2 = Y тоді рівняння параболи набуває вигляду: 
