Отже, сервіси за рішенням матриць онлайн:

Сервіс роботи з матрицями дозволяє виконати елементарні перетворення матриць.
Якщо у Вас стоїть завдання виконати складніше перетворення, то цим сервісом варто користуватися конструктором.

приклад. Дано матриці Aі B, треба знайти C = A -1 * B + B T ,

1. Вам варто спочатку знайти зворотну матрицюA1 = A-1 , скориставшись сервісом знаходження зворотної матриці ;
2. Далі після того, як знайшли матрицю A1виконаємо множення матрицьA2 = A1 * B, скориставшись сервісом множення матриць ;
3. Виконаємо транспонування матриціA3 = B T (сервіс знаходження транспонованої матриці);
4. І останнє – знайдемо суму матриць З = A2 + A3(Сервіс з обчислення суми матриць) - і отримуємо відповідь з докладним рішенням!;

Твір матриць

Це он-лайн сервіс у два кроки:

• Ввести перший помножувач матрицю A
• Ввести другий множник матрицю або вектор-стовпець B

Розмноження матриці на вектор

Розмноження матриці на вектор можна знайти, скориставшись сервісом Розмноження матриць
(Першим співмножником буде дана матриця, другим співмножником буде стовпець, що складається з елементів вектора)

Це он-лайн сервіс у два кроки:

• Введіть матрицю A, для якої потрібно знайти зворотну матрицю
• Отримайте відповідь із докладним рішенням щодо знаходження зворотної матриці

Визначник матриці

Це он-лайн сервіс у один крок:

• Введіть матрицю Aдля якої потрібно знайти визначник матриці

Транспонування матриці

Тут Ви зможете відстежити алгоритм транспонування матриці та навчитись самому вирішувати подібні завдання.
Це он-лайн сервіс у один крок:

• Введіть матрицю A, яку треба транспонувати

Ранг матриці

Це он-лайн сервіс у один крок:

• Введіть матрицю A, для якої потрібно виконати знаходження рангу

Власні значення матриці та власні вектори матриці

Це он-лайн сервіс у один крок:

• Введіть матрицю A, для якої потрібно знайти власні вектори та власні значення (власні числа)

Зведення матриці до ступеня

Це он-лайн сервіс у два кроки:

• Введіть матрицю A, яку зводитимете в ступінь
• Ввести ціле число q- ступінь

Лінійна алгебра 1

Матриці 1

Операції над матрицями 2

Визначники матриць 6

Зворотня матриця 13

Ранг матриці 16

Лінійна незалежність 21

Системи лінійних рівнянь 24

Методи розв'язання систем лінійних рівнянь 27

Метод зворотної матриці 27

Метод вирішення систем лінійних рівнянь із квадратною матрицею за формулами Крамера 29

Метод Гауса (метод послідовного виключення змінних) 31

Лінійна алгебра Матриці

Матрицярозмірів xn - це прямокутна таблиця чисел, що містить рядок инсталбцов. Числа, що становлять матрицю, називаються елементами матриці.

Матриці прийнято позначати великими латинськими літерами, а елементи - тими ж, але малими літерами з подвійною індексацією.

Наприклад, розглянемо матрицю А розмірності 2 х 3:

У цій матриці два рядки (m=2) та три стовпці (n=3), тобто. вона складається з шести елементів a ij , де - номер рядка, j - номер стовпця. При цьому набуває значення від 1 до 2, а від одного до трьох (записується
). А саме, 11 = 3; 12 = 0; 13 = -1; 21 = 0; 22 = 1,5; 23 = 5.

Матриці А та В одного розміру (mхn) називають рівнимиякщо вони поелементно збігаються, тобто. a ij = b ij для
, тобто. для будь-яких (можна записати i, j).

Матриця-рядок- це матриця, що складається з одного рядка, а матриця-стовпець- Це матриця, що складається з одного стовпця.

Наприклад,
- матриця-рядок, а
.

Квадратна матриця n-го порядку - це матриця, до рядків дорівнює числу стовпців і дорівнює n.

Наприклад,
- Квадратна матриця другого порядку.

Діагональніелементи матриці – це елементи, у яких номер рядка дорівнює номеру стовпця (a ij, i = j). Ці елементи утворюють головну діагональматриці. У попередньому прикладі головну діагональ утворюють елементи a 11 = 3 та a 22 = 5.

Діагональна матриця- Це квадратна матриця, в якій всі недіагональні елементи дорівнюють нулю. Наприклад,
- Діагональна матриця третього порядку. Якщо при цьому всі діагональні елементи дорівнюють одиниці, то матриця називається одиничною(Зазвичай позначаються буквою Е). Наприклад,
- Поодинока матриця третього порядку.

Матриця називається нульовийякщо всі її елементи дорівнюють нулю.

Квадратна матриця називається трикутноїякщо всі її елементи нижче (або вище) головної діагоналі дорівнюють нулю. Наприклад,
- Трикутна матриця третього порядку.

Операції над матрицями

Над матрицями можна виконувати такі операції:

1. Розмноження матриці на число. Добутком матриці А на число називається матриця В = А, елементи якої b ij = a ij для будь-яких.

Наприклад, якщо
, то
.

2. Додавання матриць. Сумою двох матриць А і однакового розміру m х n називається матриця С = А + В, елементи якої з ij = a ij + b ij для i, j.

Наприклад, якщо
то

.

Зазначимо, що через попередні операції можна визначити віднімання матрицьоднакового розміру: різниця А-В= А + (-1) * Ст.

3. Розмноження матриць. Добутком матриці А розміру mxn на матрицю У розміру nxp називається така матриця С, кожен елемент якої з ij дорівнює сумі творів елементів i-йрядки матриці А відповідні елементиj-го стовпця матриці, тобто.
.

Наприклад, якщо

, то розмір матриці-твору буде 2 x 3, і вона матиме вигляд:

В цьому випадку матриця А називається узгодженою з матрицею.

На основі операції множення для квадратних матриць визначено операцію зведення у ступінь. Цілим позитивним ступенем А m (m > 1) квадратної матриці А називаються добуток m матриць, рівних А, тобто.

Підкреслимо, що додавання (віднімання) і множення матриць визначені не для будь-яких двох матриць, а тільки для певних вимог, що задовольняють, до своєї розмірності. Для знаходження суми чи різниці матриць їх розмір обов'язково має бути однаковим. Для знаходження твору матриць число стовпців першої з них має збігатися з числом рядків другої (такі матриці називають узгодженими).

Розглянемо деякі властивості розглянутих операцій, аналогічні властивостям операцій над числами.

1) Комутативний (переміщувальний) закон складання:

А + В = В + А

2) Асоціативний (сполучний) закон складання:

(А + В) + С = А + (В + С)

3) Дистрибутивний (розподільчий) закон множення щодо складання:

(А + В) = А +В

А(В+С) = АВ+АС

(А + В) С = АС + ВС

5) Асоціативний (сполучний) закон множення:

(АВ) = (А)В = А(В)

A(BС) = (АВ)С

Підкреслимо, що переміщувальний закон множення для матриць у випадку НЕ виконується, тобто. AB BA. Більше того, із існування AB не обов'язково випливає існування ВА (матриці можуть бути не узгодженими, і тоді їх добуток взагалі не визначено, як у наведеному прикладі множення матриць). Але навіть якщо обидва твори існують, вони зазвичай різні.

В окремому випадку комутативним законом має добуток будь-якої квадратної матриці А на одиничну матрицю того ж порядку, причому цей добуток дорівнює А (множення на одиничну матрицю тут аналогічно множенню на одиницю при множенні чисел):

АЕ = ЕА = А

Справді,

Підкреслимо ще одну відмінність множення матриць від множення чисел. Добуток чисел може дорівнювати нулю тоді і лише тоді, коли хоча б одне з них дорівнює нулю. Про матриці цього сказати не можна, тобто. добуток ненульових матриць може дорівнювати нульовій матриці. Наприклад,

Продовжимо розгляд операцій над матрицями.

4. Транспонування матриціявляє собою операцію переходу від матриці А розміру mxn до матриці А Т розміру nxm, в якій рядки та стовпці помінялися місцями:

%.

Властивості операції транспонування:

1) З визначення слід, якщо матрицю транспонувати двічі, ми повернемося до вихідної матриці: (AT) T = A.

2) Постійний множник можна винести за знак транспонування: (А) T =А T .

3) Транспонування дистрибутивно щодо множення та додавання матриць: (AB) T =B T A T і (A+B) T =B T +AT .

>> Матриці

4.1.Матриці. Операції над матрицями

Прямокутною матрицею розміру mxn називається сукупність mxn чисел, розташованих у вигляді прямокутної таблиці, що містить рядків m і n стовпців. Ми будемо записувати її у вигляді

або скорочено у вигляді A = (a i j) (i = ; j = ), числа a i j називаються її елементами; перший індекс вказує на номер рядка, другий – на номер стовпця. A = (a i j) та B = (b i j) однакового розміру називаються рівними, якщо попарно рівні їх елементи, що стоять на однакових місцях, тобто A = B, якщо a i j = b i j .

Матриця, що складається з одного рядка або одного стовпця, називається відповідно рядком або вектор-стовпцем. Вектор-стовпці та вектор-рядки називають просто векторами.

Матриця, що з одного числа, ототожнюється з цим числом. A розміру mxn, всі елементи якої дорівнюють нулю, називаються нульовим і позначається через 0. Елементи з однаковими індексами називають елементами головної діагоналі. Якщо число рядків дорівнює числу шпальт, тобто m = n, то матрицю називають квадратною порядку n. Квадратні матриці, у яких відмінні від нуля лише елементи головної діагоналі, називаються діагональними та записуються так:

.

Якщо всі елементи a i i діагоналі дорівнюють 1, то вона називається одиничною і позначається буквою Е:

.

Квадратна матриця називається трикутною, якщо всі елементи, що стоять вище (або нижче) головної діагоналі, дорівнюють нулю. Транспонування називається таке перетворення, при якому рядки і стовпці змінюються місцями зі збереженням їх номерів. Позначається транспонування значком Т нагорі.

Якщо в (4.1) переставимо рядки зі стовпцями, то отримаємо

,

яка буде транспонованою стосовно А. Зокрема, при транспонуванні вектора-стовпця виходить вектор-рядок і навпаки.

Добутком А число b називається матриця, елементи якої виходять із відповідних елементів А множенням число b: b A = (b a i j).

Сумою А = (a i j) та B = (b i j) одного розміру називається C = (c i j) того ж розміру, елементи якої визначаються за формулою c i j = a i j + b i j .

Добуток АВ визначається у припущенні, що кількість стовпців А дорівнює числу рядків У.

Добутком AB, де А = (a i j) і B = (b j k), де i = , j = , k = , заданих у визначеному порядку АВ, називається С = (c i k), елементи якої визначаються за таким правилом:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)

Інакше кажучи, елемент твору AB визначаються таким чином: елемент i-го рядка і k-го стовпця дорівнює сумі творів елементів i-го рядка А на відповідні елементи k-го стовпця В.

приклад 2.1. Знайти добуток AB і .

Рішення. Маємо: А розміру 2x3, розміру 3x3, тоді добуток АВ = С існує і елементи С рівні

З 11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, з 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, з 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7 ,

з 22 = 3×2 + 1×0 + 0×5 = 6, з 13 = 1×3 + 2×1 + 1×4 = 9, з 23 = 3×3 + 1×1 + 0×4 = 10 .

а твір BA не існує.

приклад 2.2. У таблиці зазначено кількість одиниць продукції, що відвантажується щодня на молокозаводах 1 і 2 до магазинів М 1 , М 2 та М 3 , причому доставка одиниці продукції з кожного молокозаводу до магазину М 1 коштує 50 ден. од., до магазину М 2 - 70, а М 3 - 130 ден. од. Підрахувати щоденні транспортні витрати кожного заводу.

Молокозавод

Рішення. Позначимо через А матрицю, дану нам за умови, а через
В - матрицю, що характеризує вартість доставки одиниці виробленої продукції магазини, тобто,

,

Тоді матриця витрат на перевезення матиме вигляд:

.

Отже, перший завод щодня витрачає на перевезення 4750 грош. од., другий - 3680 ден.

приклад 2.3. Швейне підприємство виготовляє зимові пальта, демісезонні пальта та плащі. Плановий випуск декаду характеризується вектором X = (10, 15, 23). Використовуються тканини чотирьох типів Т1, Т2, Т3, Т4. У таблиці наведено норми витрати тканини (метрів) на кожен виріб. Вектор С = (40, 35, 24, 16) визначає вартість метра тканини кожного типу, а вектор P = (5, 3, 2, 2) - вартість перевезення метра тканини кожного виду.

	Витрата тканини
Зимове пальто
Демісезонне пальто

1. Скільки метрів тканини кожного типу потрібно для виконання плану?

2. Знайти вартість тканини, яка витрачається на пошиття виробу кожного виду.

3. Визначити вартість всієї тканини, яка потрібна на виконання плану.

Рішення. Позначимо через А матрицю, дану нам за умови, тобто,

,

тоді для знаходження кількості метрів тканини, необхідної для виконання плану, потрібно вектор X помножити на матрицю А:

Вартість тканини, що витрачається на пошиття виробу кожного виду, знайдемо, перемноживши матрицю А та вектор C T:

.

Вартість всієї тканини, необхідної для виконання плану, визначиться за такою формулою:

Нарешті, з урахуванням транспортних витрат вся сума дорівнюватиме вартості тканини, тобто 9472 ден. од., плюс величина

X А P T =
.

Отже, X А C T + X А P T = 9472 + 1037 = 10509 (ден. од.).

Матриці в математиці - одне з найважливіших об'єктів, мають прикладне значення. Часто екскурс до теорії матриць починають зі слів: "Матриця - це прямокутна таблиця...". Ми розпочнемо цей екскурс дещо з іншого боку.

Телефонні книги будь-якого розміру та з будь-яким числом даних про абонента – ні що інше, як матриці. Такі матриці мають приблизно такий вигляд:

Зрозуміло, що такими матрицями ми користуємося майже кожен день. Ці матриці бувають з різним числом рядків (розрізняються як випущений телефонною компанією довідник, в якому можуть бути тисячі, сотні тисяч і навіть мільйони рядків і щойно розпочата Вами нова записна книжка, в якій менше десяти рядків) і стовпців (довідник посадових осіб який- ні організації, в якому можуть бути такі стовпці, як посада і номер кабінету і та ж Ваша записник, де може не бути жодних даних, крім імені, і, таким чином, в ній тільки два стовпці - ім'я та телефон).

Будь-які матриці можна складати і множити, а також проводити над ними інші операції, проте немає необхідності складати та множати телефонні довідники, від цього немає жодної користі, до того ж можна й поміркувати.

Але дуже багато матриць можна і потрібно складати і перемножувати і вирішувати таким чином різні нагальні завдання. Нижче наведені приклади таких матриць.

Матриці, у яких стовпці - випуск одиниць продукції тієї чи іншої виду, а рядки - роки, у яких ведеться облік випуску цієї продукції:

Можна складати матриці такого виду, в яких враховано випуск аналогічної продукції різними підприємствами, щоб отримати сумарні дані з галузі.

Або матриці, що складаються, наприклад, з одного стовпця, в яких рядки - середня собівартість того чи іншого виду продукції:

Матриці двох останніх видів можна множити, а результаті вийде матриця-рядок, що містить собівартість всіх видів продукції за роками.

Матриці, основні визначення

Прямокутна таблиця, що складається з чисел, розташованих у mрядках та nстовпцях, називається mn-матрицею (або просто матрицею ) і записується так:

(1)

У матриці (1) числа називаються її елементами (як і у визначнику, перший індекс означає номер рядка, другий - стовпця, на перетині яких стоїть елемент; i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, n).

Матриця називається прямокутної якщо .

Якщо ж m = n, то матриця називається квадратний , А число n - її порядком .

Визначником квадратної матриці A називається визначник, елементами якого є елементи матриці A. Він означає символом | A|.

Квадратна матриця називається неособливою (або невиродженою , несингулярною ), якщо її визначник не дорівнює нулю, та особливою (або виродженою , сингулярною ), якщо її визначник дорівнює нулю.

Матриці називаються рівними , якщо вони мають однакову кількість рядків і стовпців і всі відповідні елементи збігаються.

Матриця називається нульовий , Якщо всі її елементи дорівнюють нулю. Нульову матрицю позначатимемо символом 0 або .

Наприклад,

Матрицею-рядком (або малої ) називається 1 n-матриця, а матрицею-стовпцем (або стовпцевий ) – m 1-матриця.

Матриця A" , яка виходить із матриці Aзаміною в ній місцями рядків та стовпців, що називається транспонованої щодо матриці A. Таким чином, для матриці (1) транспонованої є матриця

Операція переходу до матриці A" , транспонованої щодо матриці Aназивається транспонуванням матриці A. Для mn-матриці транспонованої є nm-матриця.

Транспонованою щодо матриці є матриця A, тобто

(A")" = A .

приклад 1.Знайти матрицю A" , транспоновану щодо матриці

і з'ясувати, чи рівні визначники вихідної та транспонованої матриць.

Головною діагоналлю квадратної матриці називається уявна лінія, що з'єднує її елементи, у яких обидва індекси однакові. Ці елементи називаються діагональними .

Квадратна матриця, у якої всі елементи поза головною діагоналі дорівнюють нулю, називається діагональної . Не обов'язково всі діагональні елементи діагональної матриці відмінні від нуля. Серед них можуть бути рівні нулю.

Квадратна матриця, у якої елементи, що стоять на головній діагоналі, рівні одному й тому ж числу, відмінному від нуля, а всі інші рівні нулю, називається скалярною матрицею .

Поодинокою матрицею називається діагональна матриця, яка має всі діагональні елементи рівні одиниці. Наприклад, одиничною матрицею третього порядку є матриця

приклад 2.Дані матриці:

Рішення. Обчислимо визначники даних матриць. Користуючись правилом трикутників, знайдемо

Визначник матриці Bобчислимо за формулою

Легко отримуємо, що

Отже, матриці Aі - неособливі (невироджені, несингулярні), а матриця B- Особлива (вироджена, сингулярна).

Визначник одиничної матриці будь-якого порядку, очевидно, дорівнює одиниці.

Вирішити завдання на матриці самостійно, а потім переглянути рішення

приклад 3.Дано матриці

,

,

Встановити, які є неособливими (невиродженими, несингулярними).

Застосування матриць у математико-економічному моделюванні

У вигляді матриць просто і зручно записуються структуровані дані про той чи інший об'єкт. Матричні моделі створюються як для зберігання цих структурованих даних, а й у вирішення різних завдань із цими даними засобами лінійної алгебри.

Так, відомою матричною моделлю економіки є модель "витрати-випуск", запроваджена американським економістом російського походження Василем Леонтьєвим. Ця модель виходить із припущення, що весь виробничий сектор економіки розбитий на nчистих галузей. Кожна з галузей випускає продукцію лише одного виду та різні галузі випускають різну продукцію. Через такий поділ праці між галузями існують міжгалузеві зв'язки, зміст яких полягає в тому, що частина продукції кожної галузі передається іншим галузям як ресурс виробництва.

Обсяг продукції i-ї галузі (вимірюваний певною одиницею вимірювання), яка була зроблена за звітний період, позначається через і називається повним випуском i-ї галузі. Випуски зручно розмістити у n-компонентний рядок матриці

Кількість одиниць продукції i-ї галузі, яку необхідно витратити j-ї галузі для виробництва одиниці своєї продукції, позначається та називається коефіцієнтом прямих витрат.

Матриця А -1 називається зворотною матрицею по відношенню до матриці А, якщо А * А -1 = Е де Е - одинична матриця n -го порядку. Зворотна матриця може існувати лише для квадратних матриць.

Призначення сервісу. За допомогою даного сервісу в онлайн режимі можна знайти додатки алгебри , транспоновану матрицю A T , союзну матрицю і зворотну матрицю. Рішення проводиться безпосередньо на сайті (в онлайн) і є безкоштовним. Результати обчислень оформляються у звіті формату Word та у форматі Excel (тобто є можливість перевірити рішення). див. приклад оформлення.

Інструкція. Для отримання рішення необхідно встановити розмірність матриці. Далі в новому діалоговому вікні заповніть матрицю A.

Розмірність матриці 2 3 4 5 6 7 8 9 10

також Зворотня матриця методом Жордано-Гаусса

Алгоритм знаходження зворотної матриці

1. Знаходження транспонованої матриці A T .
2. Визначення додатків алгебри. Замінюють кожен елемент матриці його додатком алгебри.
3. Складання зворотної матриці з додатків алгебри: кожен елемент отриманої матриці ділять на визначник вихідної матриці. Результуюча матриця є зворотною для вихідної матриці.

Наступний алгоритм знаходження зворотної матриціаналогічний попередньому крім деяких кроків: спочатку обчислюються алгебраїчні доповнення, а потім визначається союзна матриця C .

1. Визначають, чи квадратна матриця. Якщо ні, то зворотної матриці не існує.
2. Обчислення визначника матриці A. Якщо він не дорівнює нулю, продовжуємо рішення, інакше – зворотної матриці не існує.
3. Визначення додатків алгебри.
4. Заповнення союзної (взаємної, приєднаної) матриці C .
5. Складання зворотної матриці з додатків алгебри: кожен елемент приєднаної матриці C ділять на визначник вихідної матриці. Результуюча матриця є зворотною для вихідної матриці.
6. Роблять перевірку: перемножують вихідну та отриману матриці. В результаті повинна вийти поодинока матриця.

Приклад №1. Запишемо матрицю у вигляді:

Алгебраїчні доповнення.

A 1,1 = (-1) 1+1

-1 -2 5 4

∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

A 1,2 = (-1) 1+2

2 -2 -2 4

∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

A 1,3 = (-1) 1+3

2 -1 -2 5

∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

A 2,1 = (-1) 2+1

2 3 5 4

∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7

A 2,2 = (-1) 2+2

-1 3 -2 4

∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

A 2,3 = (-1) 2+3

-1 2 -2 5

∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

A 3,1 = (-1) 3+1

2 3 -1 -2

∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

A 3,2 = (-1) 3+2

-1 3 2 -2

∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

A 3,3 = (-1) 3+3

-1 2 2 -1

∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Тоді зворотну матрицюможна записати як:

A -1 = 1/10

6 -4 8 7 2 1 -1 4 -3

A -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Інший алгоритм знаходження зворотної матриці

Наведемо іншу схему знаходження зворотної матриці.

1. Знаходимо визначник цієї квадратної матриці A .
2. Знаходимо додатки алгебри до всіх елементів матриці A .
3. Записуємо додатки алгебри елементів рядків в стовпці (транспонування).
4. Ділимо кожен елемент отриманої матриці на визначник матриці A.

Як бачимо, операція транспонування може застосовуватися як на початку над вихідною матрицею, так і в кінці над отриманими алгебраїчними доповненнями.

Особливий випадок: Зворотній, по відношенню до одиничної матриці E є одинична матриця E .