Відновити аналітичну функцію онлайн. Відновлення аналітичної функції з її речової або уявної частини

Відновлення аналітичної функції з її речової або уявної частини

приклад.Знайти аналітичну функцію f(z), якщо

u(x,y) = Re f(z) = та f(i) = 2.

Рішення

1. Знаходимо приватні похідні функції u(x,y)

2. З 2-го умови Коші - Рімана (1)

Диференціюючи по y, отримаємо

Для знаходження функції j(y) використовуємо 1 умову Коші – Римана (1). Прирівнюючи = похідною

отримуємо звичайне диференціальне рівняння 1-го порядку

з якого визначаємо j(y)

j(y) = = - +C.

Таким чином, отримуємо функцію

3. Записуємо потрібну функцію f(z) у вигляді

Перетворимо отриманий вираз до функції змінної z, використовуючи рівність

z = x+iy та = = .

Отримуємо

f(z) = = +iC = або

f(z) = +C, де C - довільна комплексна стала.

4. Знаходимо значення постійної C, використовуючи умову f(i) = 2:

Отримуємо C = i

f(z) = – 2iz+i

Відповідь: f(z) = - 2iz + i.

Застосування STEM Plus

Нехай задана функція u= (точка між змінними x та y обов'язкова).

1. "Запам'ятовуємо" u=(виділяємо та натискаємо Alt+Enter)

2. Обчислюємо похідну ux, виділивши та натиснувши Alt+=(або виділивши заданий вираз та скориставшись меню Extra® Функція® Знайти похідну).

Набираємо ви та натискаємо Alt+Ins,щоб вставити результат обчисленняux.Отримуємо рядок

Це умова Коші-Рімана vy = ux.

3. Виділяємо та за допомогою меню Extra® Функція® Знайти первіснуобчислюємо первісну по y. Набираємо v та натискаємо Alt+Ins. Отримуємо

4. Відкриваємо цю формулу ( Shift+F9) та замінюємо C на f(x). Отримуємо

5. Запам'ятовуємо f(x)= (тим самим даємо зрозуміти, що f(x) – невідома функція).

6. Обчислюємо похідну vx і uy, і отримані результати записуємо як рівняння vx= uy (2-е умова Коші – Рімана).

7. Спрощуємо отримане рівняння (скоротяться члени, які містять y).

Отримуємо звичайне диференціальне рівняння

Виділяємо -2 і за допомогою меню DERIVE обчислюємо першорядну x.

Вставляємо результат у вираз для замість f(x). Отримуємо

8. Отримуємо потрібну функцію

f(z) = +i·(– 2x + C).

9. Знаходимо C із початкової умови f(i)=2. Для цього "запам'ятовуємо" x=0, y=1 і розв'язуємо рівняння

I · (- 2x + C) = 2

щодо C (виділяємо та натискаємо Alt+?). Отриманий результат C=1 вставляємо замість C у вираз f(z). Отримуємо

f(z) = +i·(– 2x + 1).

У результаті потрібна функція, виражена через x і y. 10. Щоб знайти вираз f(z) через z, запам'ятаємо, що

Тут w позначає число, пов'язане з.

Якщо тепер виділити праву частину рівності

f(z) = +i·(– 2x + 1)

та натиснути Alt+=, то вираз спроститься з урахуванням того, що

Так вийде, що

Розглянемо комплекснозначну диференційовану в точці tі деякої її околиці функцію дійсної змінної z(t).

Розглянемо точку z, дамо збільшення z,=argz. Тоді
.

При
січна переходить у дотичну,
, де -

кут нахилу дотичної до графіка у точці

. Тоді
=

Наявність ненульової похідної
означає наявність дотичної до графіка функції з кутом нахилу до дійсної осі, що дорівнює
.

Розглянемо тепер комплекснозначну аналітичну функцію комплексної змінної
. Нехай
, де - дійсне число. Тоді
- комплекснозначна функція дійсної змінної z (t), що диференціюється в точці деякої її околиці.

Стосовна графіку функції, за розглянутим вище, має кут нахилу до дійсної осі рівний
.

За теоремою про складну функцію
тому

.Отже,
- аргумент похідної аналітичної функції
. має сенс кута повороту дотичної до кривої в точці при її відображенні за допомогою функції
.

Так як
,
, то
-модуль похідної аналітичної функції має значення коефіцієнта розтягування при відображенні за допомогою функції
. Все це справедливо у тих точках, в яких похідна відмінна від нуля.

Якщо дві криві відображаються за допомогою аналітичної функції

, то кут нахилу дотичної до кожної кривої змінюється в точці на один і той же кут
тому кути між кривими зберігаються при відображенні за допомогою аналітичної функції.(У тих точках, в яких її похідна відмінна від нуля).

Відображення, що зберігає кути між кривими, називається конформним. Тому відображення за допомогою аналітичної функції(У тих точках, в яких її похідна відмінна від нуля)є конформним.

приклад. Лінійне відображення
(
), як було показано вище, зводиться до повороту на кут
і розтягування в разів.

Відновлення аналітичної функції з її дійсної чи уявної частини.

Нехай задана функція
потрібно визначити, чи може вона бути дійсною частиною деякої аналітичної функції
,

Те саме завдання може бути поставлене щодо уявної частини. Нехай задана функція
, потрібно визначити, чи може вона бути уявною частиною деякої аналітичної функції
, а може, то відновити цю функцію.

При вирішенні цих завдань спочатку треба перевірити, чи існує така аналітична функція
.

Справедлива теорема.Дійсна і уявна частини аналітичної функції є гармонійними (тобто. задовольняють рівняння Лапласа).

Доведення. Якщо
- функція аналітична, то виконані умови Коші – Рімана
. Диференціюємо окремо перше рівність поx, друге поyі складаємо. Отримаємо
тому функція
- Гармонійна. Диференціюємо окремо першу рівність поy, друге похи віднімаємо з першої рівності друге. Отримаємо
тому функція
- Гармонійна.

Отже, якщо функція
або функція
є гармонійними, то аналітичну функцію побудувати не можна.

Нехай функція
та функція
- Гармонічні функції. Покажемо, як можна відновити аналітичну функцію з відомої дійсної частини
.

Відновлення функції по
аналогічно.

1 спосіб.

Порівнюючи обидва вирази, визначаємо
. Тепер.

Зауваження. При відновленні по
функція відновлюється з точністю до дійсної постійної, а чи не уявної.

2 спосіб.
(як у першому способі). Якщо при інтегруванні другої умови Коші - Рімана виникають проблеми, то можна продиференціювати отримане співвідношення поxі прирівняти відомої функції.

. Вирішуючи це диференціальне рівняння, отримаємо
,
+С,.

3 Метод.У двох способах функція відновлюється як функцияx,y. Набагато приємніше отримати її у вигляді f (z). У третьому способі використовується формула для похідної
. Оскільки функція
відома, то
визначається як функція (x, y). Функцію визначаємо за формулою