Aici prezentăm raportul a trei aplicații practice ale integrării fracțiilor raționale avansate:
,
,
.
Calculați integrala:
.
Aici, sub semnul integralei, există o funcție rațională; Pașii membrului bogat al standardului ( 3 ) este mai mică decât pasul termenului bogat al numeralului ( 4 ). Este necesar ca acea mână să vadă întreaga parte a fracției.
1.
Vedem o întreagă fracțiune dintr-o fracție. Dilimo x 4
pe x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:
Zvіdsi
.
2.
Așezăm bannerul fracției în multiplicatori. Pentru care este necesară extinderea egalizării cubice:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6
.
Imaginează-ți x = 1
:
.
1
. Dilimo x - 1
:
Zvіdsi
.
Virishuemo pătrat egal.
.
Linia rădăcină:,.
Todi
.
3.
Să o expunem în termeni simpli.
.
Părinte, știam:
.
Integrabil.
Calculați integrala:
.
Aici, la numărător, fracția este un termen bogat al pasului zero ( 1 = x0). Banermanul are un membru bogat al etapei a treia. Oskilki 0 < 3 , atunci drіb este corect. Să descompunăm її pe cele mai simple fracții.
1.
Așezăm bannerul fracției în multiplicatori. Pentru cine este necesar să virishiti gradul al treilea:
.
Este acceptabil să existe o singură rădăcină. Todі vіn є dіlnik număr 3
(Membru fără x). Deci, întreaga rădăcină poate fi unul dintre numerele:
1, 3, -1, -3
.
Imaginează-ți x = 1
:
.
Părinte, știam o rădăcină x = 1
. Dilimo x 3 + 2 x - 3 pe x- 1
:
Otzhe,
.
Alinierea pătratului Virishuemo:
X 2+x+3=0.
Discriminant cunoscut: D = 1 2 - 4 3 = -11. Oskilki D< 0
, atunci nu există rădăcini reale. În acest rang, am îndepărtat aspectul bannerului în multiplicatori:
.
2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1)
.
Imaginează-ți x = 1
. Todi x - 1 = 0
,
.
Să ne imaginăm în (2.1)
x= 0
:
1 = 3 A - C;
.
Egal cu (2.1)
coeficienții la x 2
:
;
0=A+B;
.
.
3.
Integrabil.
(2.2)
.
Pentru calculul unei alte integrale, este vizibil în cartea de numere că bannerul a dispărut, iar bannerul este adus la suma pătratelor.
;
;
.
Calculabil I 2
.
.
Oskilki Rivnyannia x 2+x+3=0 nu au rădăcini reale, atunci x 2 + x + 3 > 0. Prin urmare, semnul modulului poate fi omis.
Furnizat în (2.2)
:
.
Calculați integrala:
.
Aici, sub semnul integralei, există drіb іz termeni bogați. Prin urmare, viraza integrată este o funcție rațională. Etapele unui polinom din cartea numerelor 3 . Pașii polinomului bannerului fracției sunt mai scumpi 4 . Oskilki 3 < 4 , atunci drіb este corect. Acest її poate fi așezat în cele mai simple fracții. Ale pentru care este necesar să așezați un banner pe multiplicatori.
1.
Așezăm bannerul fracției în multiplicatori. Pentru cine este necesar să virishiti egal cu al patrulea pas:
.
Este acceptabil să existe o singură rădăcină. Todі vіn є dіlnik număr 2
(Membru fără x). Deci, întreaga rădăcină poate fi unul dintre numerele:
1, 2, -1, -2
.
Imaginează-ți x = -1
:
.
Părinte, știam o rădăcină x = -1
. Dilimo x - (-1) = x + 1:
Otzhe,
.
Acum este necesar să virishiti egalizați al treilea pas:
.
Cum să dai drumul, ceea ce este egal cu rădăcina rădăcinii, cu numărul dilnikului 2
(Membru fără x). Deci, întreaga rădăcină poate fi unul dintre numerele:
1, 2, -1, -2
.
Imaginează-ți x = -1
:
.
Părinte, știam încă o rădăcină x = -1
. Este posibil să adăugați un termen bogat la b, la fel ca i în panta frontală, dar putem grupa termenii:
.
Oskilki Rivnyannia x 2 + 2 = 0
nu au rădăcini reale, atunci am eliminat aspectul bannerului în multiplicatori:
.
2.
Să o expunem în termeni simpli. Aspect Shukaєmo la vedere:
.
Zvіlnyaєmosya vіd znamennik fracție, înmulțită cu (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1)
.
Imaginează-ți x = -1
. Todi x + 1 = 0
,
.
În mod prodiferenţial (3.1)
:
;
.
Imaginează-ți x = -1
e o nebunie că x + 1 = 0
:
;
;
.
Să ne imaginăm în (3.1)
x= 0
:
0 = 2A + 2B + D;
.
Egal cu (3.1)
coeficienții la x 3
:
;
1=B+C;
.
Părinte, știam aspectul celor mai simple fracții:
.
3.
Integrabil.
.
„Un matematician este la fel ca un artist, el cântă, el creează vizorunks. Și chiar așa, vizierunkii sunt mai mari decât stilul, mai puțin decât duhoarea depozitului de idei... ideea este exact așa, ca și culorile, dar cuvintele sunt vinovate, unu la unu. Frumusețea este primul ajutor: lumea nu are loc pentru matematica urâtă».
G.H.Hardi
În prima diviziune, s-a planificat că era necesar să se înțeleagă primul care să realizeze funcții simple, deoarece era imposibil să învețe prin funcții elementare. La legătura cu cim, aceste clase de funcții au o mare importanță practică, despre care se poate spune cu siguranță că primele lor - funcțiile elementare. La o astfel de clasă de funcții se poate vedea funcții raționale, care este o expresie a doi termeni algebrici bogați Înainte de a integra fracții raționale, faceți o sarcină bogată. Prin urmare, este important să luați în considerare integrarea unor astfel de funcții.
Fracția rațională(in caz contrar împuşcat-funcţie raţională) se numește extensia a doi termeni algebrici bogati:
de i - segmente bogate.
Ghici ce membru bogat (polinom, întreaga funcţie raţională) n- al-lea pas se numește funcția minții
de 
- numere zecimale. De exemplu,
- un membru bogat al primei etape;
- termen bogat de gradul al patrulea etc.
Se numește drіb rațional (2.1.1). corect ca o treaptă mai jos decât o treaptă, tobto. n<m, într-un mod diferit se numește drіb gresit.
Dacă există o fracție greșită, o puteți da la vederea sumei unui membru bogat (întreaga parte) și a fracției corecte (partea fracțională). Vederea întregului și a părților împușcate dintr-o fotografie neregulată poate fi efectuată conform regulii de mai jos părțile bogate „kut”.
Exemplul 2.1.1. Vedeți numărul și partea de împușcare a fracțiilor raționale neregulate care avansează:
A) 
, b) 
.
Soluţie . a) algoritmul Vikoristovuyuchi rozpodіlu "kutochok", otrimuєmo
În acest fel, luăm
.
b) Și aici, algoritmul vikoristovuєmo este subdivizat într-un „kutochok”:
Drept urmare, luăm
.
Să aducem sacii. Non-valorile integralei sub forma unei fracții raționale în căderea comună pot fi arătate prin suma integralelor sub forma unui termen bogat și sub forma unei fracții raționale propriu-zise. Cunoașterea tipurilor primare de polinoame nu devine dificilă. Pentru asta, mi-au dat cele mai importante fracții raționale corecte.
Printre fracțiile raționale corecte, ei văd chotiri tipi, yakі aduce cele mai simple fracții raționale (elementare):
|
3) |
4) |
numărul de plăci, 
, apoi. trinom pătrat 
Nu am rădăcini reale.
Integrarea celor mai simple fracții de primul și al doilea tip nu devine mari dificultăți:
, (2.1.3)
. (2.1.4)
Acum ne putem uita la integrarea celor mai simple fracții de al 3-lea tip, iar fracțiile de al 4-lea tip nu pot fi văzute.
Să ne uităm la integrare
.
Întreaga integrală este numărată cu calea de a vedea pătratul complet în banner. Ca urmare, integrala tabulară a formei ofensive
sau 
.
Stoc 2.1.2. Cunoașteți integralele:
A) 
, b) 
.
Soluţie . a) Din trinomul pătrat se vede că pătratul este:
Zvіdsi știu
b) Văzând din trinomul pătratului noul pătrat, luăm:
Într-o asemenea manieră,
.
Să cunoască integrala
se vede in cartea de numerale denumirea bannerului si raspandirea integralei la suma a doua integrale: prima este fundamentata 
ridica privirea pentru a privi
,
iar celălalt - până la o vedere cu ochii mari.
Exemplul 2.1.3. Cunoașteți integralele:
.
Soluţie
. Respectăm asta 
. Vedem în cartea de numere bannerul bannerului:
Prima integrală se calculează după o înlocuire suplimentară 
:
O altă integrală poate vedea același pătrat la banner
Rămânând, ia
Fii un drіb rațional corect 
poate fi arătat cu un singur rang în privința sumei celor mai simple fracții. Pentru cine bannerul ar trebui să fie așezat în multipli. Din punctul de vedere al algebrei, este clar că pielea este un termen bogat din coeficienții efectivi
Material, contribuții la aceste subiecte, spirale pe vіdomosti, pilituri la subiectele "Fracțiuni raționale. Aranjarea fracțiilor raționale pe fracții elementare (simple)". Chiar și raju-ul ar dori să arunce o privire rapidă peste acest subiect din fața lui, ca și cum ar trece la citirea acestui material. În plus, vom avea nevoie de un tabel de integrale nesemnificative.
Presupun că o stropire de termeni. Am vorbit despre ele într-un topic separat, așa că aici voi amesteca formule scurte.
Extinderea a doi termeni bogați $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ se numește funcție rațională sau fracție rațională. Se numește drіb rațional corect Yaxcho $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется gresit.
Fracțiile raționale elementare (cele mai simple) se numesc fracții raționale de mai multe tipuri:
Notă (bazhan pentru o mai bună înțelegere a textului): arată
Noi nevoi ale minții $p^2-4q< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.
De exemplu, pentru expresia $x^2+5x+10$ se poate lua: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Oskіlki $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.
Înainte de vorbire, pentru reverificarea cієї, nu este obov'yazykovo, deci coeficientul înainte de $x^2$ este 1. De exemplu, pentru $5x^2+7x-3=0$ este necesar: $D= 7^2-4\cdot 5 \cdot (-3) = $109. Dacă $D > 0$, atunci $5x^2+7x-3$ poate fi înmulțit.
Aplicați fracții raționale (corecte și incorecte) și puteți ști și cum să aplicați o fracție rațională pe fracții elementare. Aici rămânem cu mai puțină mâncare pentru integrarea lor. Să începem cu integrarea fracțiilor elementare. De asemenea, nu este ușor să integrezi skin-urile mai multor tipuri din cele mai importante fracții elementare, formule victorioase, prezentate mai jos. Bănuiesc că $n=2,3,4,ldots$ este transferat în fracții de integrare de tip (2) și (4). Formulele (3) și (4) înseamnă $p^2-4q< 0$.
\begin(equation) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(equation) \begin(equation) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(equation) \begin(equation) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(ecuație)
Pentru $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ înlocuiți $t=x+\frac(p)(2)$, după scădere intervalul se împarte în două. Primul este numărat după semnul diferențial n_d suplimentar introdus, iar celălalt arată ca $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Scopul integral este de a primi ajutorul spivingului recurent
\begin(equation) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n, \; n\în N \end(ecuație)
Calculul unei astfel de integrale este analizat pe capul nr. 7 (div. a treia).
Există un algoritm superior pentru integrarea fracțiilor raționale care nu pot fi transversal bune - vinul universal. Tobto. cu ajutorul acestui algoritm se poate integra fi-yaku drib rațional. Din același motiv, toate înlocuirile pentru integrala nedefinită (substituțiile lui Euler, Chebishev, substituția trigonometrică universală) pot fi îngrădite cu un astfel de rozrachunk, astfel încât, după înlocuirea drib-ului rațional. Și înainte de ea deja algoritmul zasosuvat. Bezperedn є zastosuvannya tsgogo algoritm rasberem pe fund, în prealabil zrobivsh mic primіku.
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$
Nu este ușor să luați integrala din principiu fără o formulă mecanică. Dacă dați vina pe constanta $7$ pentru semnul integralei și ghiciți că $dx=d(x+9)$, atunci puteți lua:
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$
Pentru informații detaliate, vă recomand să vă uitați la subiect. Acolo s-a explicat cum sunt încălcate astfel de integrale. Până la capăt, formula este adusă în discuție prin aceleași transformări, care au fost oprite în acest moment la ora ceremoniei „manual”.
2) Voi începe două moduri: opresc formula gata sau nu ea. Cum să opriți formula, apoi verificați ce coeficient înainte de $x$ (numărul 4) poate fi curățat. Pentru acest qiu, al patrulea este pur și simplu vinovat de temple:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$
Acum este timpul să completați formula:
$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$
Puteți obține în jur și formule zastosuvannya. І navit fără vina constantă $4$ pentru arme. Dacă nu vă deranjează că $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, atunci puteți lua:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$
Explicații detaliate despre semnificația integralelor similare sunt oferite în subiectul „Integrarea cu o setare (introducerea unui semn al unei diferențiale)”.
3) Trebuie să integrăm $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Acest drib ia structura $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, de $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Cu toate acestea, pentru a perekonatisya, sho dіysno drіb elementar de al treilea tip, este necesar să se revină vikonannya um $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Virishimo acest fund, dar fără a folosi formula gata făcută. Să încercăm să vedem bannermanul în cartea cu cifre. Ce înseamnă? Știm că $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Trebuie să includem $2x+10$ în cartea de numere în sine. Pentru moment, cartea de numere valorează doar $4x+7$, dar nu pentru mult timp.Zastosuєmo la numeral o astfel de transformare:
$$ 4x+7=2cdot 2x+7=2cdot (2x+10-10)+7=2cdot(2x+10)-2cdot 10+7=2cdot(2x+10) -13. $$
Acum numărătorul are suma necesară $2x+10$. Și integrala noastră poate fi rescrisă în așa fel:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2xcdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$
Rosіb'єmo pіdіntegralny drіb pentru doi. Ei bine, aparent, integrala în sine este „separată”:
$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10)))(x^ 2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \right)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$
Să vorbim despre prima integrală, tobto. aproximativ $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Oskіlki $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, apoi în cartea de numere a fracției integrale, diferența numitorului este extinsă. + 10)dx$ poate fi scris $d(x^2+10x+34)$.
Acum să spunem câteva cuvinte despre o altă integrală. Puteți vedea noul pătrat în banner: $ x 2 + 10 x + 34 = (x + 5) 2 + 9 $. În plus, $dx=d(x+5)$ este greșit. Acum, suma integralelor, pe care am luat-o anterior, poate fi rescrisă într-un mod diferit:
$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9) . $$
Dacă înlocuiesc $u=x^2+10x+34$ în prima integrală, atunci în viitor mă voi uita la $\int\frac(du)(u)$ și voi lua o altă formulă z . În ceea ce privește cealaltă integrală, atunci pentru cea nouă înlocuirea $u=x+5$ este schimbată, dacă văd $\int\frac(du)(u^2+9)$ în viitor. Această apă pură este unsprezece formule din tabele de integrale nesemnificative. Otzhe, întorcându-se la suma integralelor, matimemo:
$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2cdotln(x^2+10x+34)-frac(13)(3)arctgfrac(x+5)(3)+C. $$
Am luat chiar dovezile că, chiar și atunci când formulele sunt blocate, nu este surprinzător, ei bine. Vzagalі, formula este adusă în aceleași moduri, yakі mi vikoristovuvali pentru valoarea integralei. Respect faptul că un cititor respectat poate da vina pe un aliment aici, voi formula yogo pentru asta:
Catering №1
Pentru a adăuga integrala $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$ la o altă formulă din tabelele de integrale netriviale, ar trebui să luăm următoarele:
$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$
De ce soluția are un modul zilnic?
Notificare la cererea nr. 1
Nutriția este o lege obișnuită. Modulul este mai mic decât cel care este egal cu $x^2+10x+34$ pentru orice $x\în R$ mai mare decât zero. Tsezovsіm arată stângace kіlkom cu poteci. De exemplu, $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ și $(x+5)^2 ≥ 0$, apoi $(x+5)^2+9 > 0$ . Poți judeca altfel, fără a pierde din vedere întregul pătrat. Fragmente $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ pentru orice $x\in R$ (de aceea această lancetă logică strigă, metoda grafică de aranjare a neregulilor pătrate vă va surprinde). În cazul skinului, $x^2+10x+34 > 0$, apoi $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, apoi. Înlocuirea modulului poate fi înlocuită cu arcade variabile.
Mutașul nr. 1 a fost omis;
Vidpovid:
fundul #2
Aflați integrala $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.
La prima vedere, integrandul $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ este deja similar cu drib-ul elementar de al treilea tip, adică. la $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Se pare că singura diferență este coeficientul de $3$ înainte de $x^2$, dar coeficientul și curățați răul (pentru arcurile). Cu toate acestea, asemănarea există. Pentru fracția $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ obov'zkovoy є Umov $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.
Avem un coeficient în fața lui $x^2$ nu este mai mult egal cu unul, așa că verifică cu mintea mea $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, apoi $3x^2-5x-2$ poate fi înmulțit cu $3x^2-5x-2$. Și înseamnă că $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ nu este o fracție elementară de al treilea tip și se oprește la integrala $\int\frac(7x+12)(3x ^2- 5x-2)dx$ formula nu este posibilă.
Ei bine, dacă sarcinile fracțiilor raționale nu sunt elementare, atunci este necesar să dați o sumă de fracții elementare și apoi să le integrați. Mai scurt aparent, mai lent. Este scris cum să așezi un drib rațional pe un raport elementar. Să ne uităm la faptul că bannerul este așezat pe multiplicatori:
$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-sqrt(49))(2cdot 3)=frac(5-7)(6)=frac(-2)(6)=-frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \\end(aliniat)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3cdotft(x+frac(1)(3)dreapta)(x-2). $$
Dribul subintern poate fi reprezentat în felul următor:
$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$
Acum putem extinde $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ în elementar:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+) ) \frac(1)(3)\right)(x-2));\\\frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1) (3)\dreapta). $$
Pentru a cunoaște coeficienții $A$ și $B$, există două modalități standard: metoda coeficienților nesemnificativi și metoda substituirii valorilor private. Să creăm o metodă de înlocuire a valorilor private, înlocuind $x=2$ și apoi $x=-\frac(1)(3)$:
$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\dreapta); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$
Oskіlki koefіtsіenti găsit, lăsat să nu scrieți aspectul gata:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+frac(1)(3))+frac(frac(26)(7))(x-2). $$
În principiu, puteți omite o astfel de înregistrare, dar voi schimba la suflet o opțiune îngrijită:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdotfrac(1)(x+frac(1)(3))+frac(26)(7)cdotfrac(1)(x-2). $$
Revenind la integrala exterioară, ne putem imagina până la un nou aspect otriman. Potim rozіb'єmo іtegral pentru doi, și până la formula piele zastosuєmo. În mod constant, voi fi vinovat pentru semnul integralei:
$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$
Vidpovid: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| + frac (26) (7) cdot ln | x-2 | +C$.
fundul #3
Aflați integrala $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.
Trebuie să integrăm $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Numărul unu are un polinom de alt nivel, iar cel standard are un polinom de al treilea nivel. Cioburile pașilor unui polinom pentru un numeralist sunt mai mici decât pașii unui polinom pentru un bannerman, tobto. 2 dolari< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:
$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-frac(1)(x-9). $$
Vom rămâne cu mai puține sarcini pentru a rezolva integrala pentru trei și pentru a sufoca formula pe piele. În mod constant, voi fi vinovat pentru semnul integralei:
$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \ int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9 |+C. $$
Vidpovid: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.
Analiza Prodovzhennya a aplicațiilor pentru cele roztashovane într-o altă parte.
Continuăm să lucrăm la integrarea fracțiilor. Integralele anumitor tipuri de fracții au fost deja analizate în lecții, iar această lecție în sensul cântării poate fi continuată. Pentru o înțelegere cu succes a materialului, sunt necesare abilitățile de bază de integrare, astfel încât ați început deja să dezvoltați integrări, apoi cu un ceainic, atunci este necesar să începeți aceste statistici Integr. Aplicați soluția .
Nu este surprinzător, în același timp, nu suntem atât de ocupați cu importanța integrărilor, cum ar fi... cu sistemele râuri liniare. În zvyazku z cym nonsalant Vă recomand să învățați lecția Și pentru dvs. - este necesar să vă orientați cu amabilitate în metodele de instalare (metoda „școală” și metoda de pliere (revizuire) membru cu membru a sistemului).
Ce este o funcție fracțională-rațională? Cu cuvinte simple, funcție shot-rațională - ce drіb, la numărător și bannerman, schimbă termeni bogați și creează polinoame. Cu care fracții є răsucite, mai jos, despre yakі s-a spus în articol Integrarea fracțiilor reale .
În plus, un exemplu și un algoritm tipic pentru derivarea unei integrale ca funcție fracțională-rațională.
fundul 1
Croc 1.În primul rând, trebuie să lucrăm cu integrala sub forma unei funcții fracționale-raționale - ce z'yasovuєmo hrana pentru picioare: chi є drіb corect? Acest krok este învingător și imediat voi explica cum:
Pe spate ne minunăm de cartea de numere și z'yasovuemo treapta superioră membru bogat: 
Treapta superioară a cărții de numerale este mai veche de doi.
Acum minunându-se de bannerul care z'yasovuёmo treapta superioră banner. Cereți o cale - rozkriti se înclină și aduce dodanki similare, dar o puteți face mai simplu, piele duzhtsі cunosc pasul senior 
iar gândurile se înmulţesc: - în acest rang, treapta superioară a bannermanului este trei. Este destul de evident că dacă deschizi cu adevărat brațele, atunci nu facem un pas mai mult de trei.
Visnovok: Pasul major al numeralului STRICT mai puțin decât nivelul superior al bannerului, mai târziu, mai corect.
Yakby în acest cap din cartea numerelor conținea un termen bogat 3, 4, 5 și așa mai departe. pas, apoi drib buv bi gresit.
Acum putem vedea mai puține funcții corecte de împușcare-rațional. Vipadok, dacă pasul numeralului este mai mare sau mai scump decât pasul bannerului, îl putem analiza ca pe o lecție.
Croc 2 Să răspândim bannerul în multiplicatori. Ne minunăm de bannerul nostru: 
Aparent, există deja o mulțime de multiplicatori, ale, nu suntem mai puțini, ne întrebăm: de ce nu o puteți răspândi? Obiectul torturii, fără cruce, este un trinom pătratic. Alinierea pătratului Virishuemo: 
Deci, discriminantul mai mare decât zero, trinomul este efectiv împărțit în multiplicatori:
Regula generală: TOT ce poate fi înmulțit cu bannerman poate fi înmulțit
Începem să elaborăm o decizie:
Croc 3 Folosind metoda coeficienților nesemnificativi, descompunem funcția integrand în suma fracțiilor simple (elementare). Ninі va fi mai înțelept.
Privind funcția noastră integrand: 
Și, știi, pare un gând intuitiv că ar fi greșit să transformăm marele nostru drib în șprote mici. De exemplu, axa este: 
Da vina pe mâncare, dar ce poți face asta? Zіtkhnemo z polegshennyam, vіdpovіdna teorema analizei matematice stverdzhuє - POSIBIL. Un astfel de aspect este clar și unic.
Doar un zakovika, coeficienți mi Booway Nu știu cum se numea metoda coeficienților neimportanti.
După cum ai ghicit, vino pe corp, așa că nu striga! va fi îndreptat către cei care sunt schob їх їх DIZNATISYA - z'yasuvati, de ce sunteți egali.
Fii respectuos, iti explic odata!
Otzhe, începem să dansăm ca: 
În partea stângă, îndreptăm virazul spre bannerul de dormit:
Acum scăpăm în siguranță de la bannermen (pentru că duhoarea este aceeași):
În partea stângă a curbei, arcadele sunt deschise, nu există coeficienți pentru care să nu fie încă clar:
În același timp, repetăm regula școlii pentru înmulțirea termenilor bogați. La ora mea de profesor, am învățat să urmez regula cu fețe de piatră: Pentru a se înmulți membru bogat pe membru bogat este necesar să se înmulțească membrul pielii unui membru bogat cu membrul pielii altui membru bogat.
Din punctul de vedere al unei explicații sensibile, este mai bine să aduceți coeficienții în arcuri (vreau mai ales că nu mă deranjez cu metoda de a economisi o oră):
Creăm un sistem de linii liniare.
Înapoi la partea de sus a treptelor superioare:
І notează coeficienții relevanți pentru primul sistem egal:
Vă rugăm să amintiți nuanța ofensivă. Ce ar fi b, yakby în partea dreaptă a focului nu a făcut bulo? Să zicem, ar fi frumos doar fără pătrat? Și aici sistemul egal ar trebui să pună un zero în dreapta: . De ce zero? Și celui din partea dreaptă, puteți oricând să atribuiți pătratul cu zero: Dacă în partea dreaptă a zilei, dacă schimbați sau (i) termenul variabil, atunci în părțile drepte ale celui de-al doilea egal al sistemului , punem zero.
Înregistrăm diferiții coeficienți ai unui alt sistem: 
Eu, zreshtoyu, apă minerală, ridic membrele libere.
Eh,... sunt în flăcări. Jarti iesi afara - matematica este o stiinta serioasa. În grupul nostru de institut, nimeni nu a râs când asistentul a spus că aruncă membrii linie numericăși alege-ți mai bun. Nalashtovuєmos într-un mod serios. Dorind, care a trăit până la sfârșitul lecției, totuși va râde în liniște.
Sistem gata:
Reparam sistemul: 
(1) De la primul nivel, acesta poate fi afișat și reprezentat de nivelurile 2 și 3 ale sistemului. Chiar poți vorbi (sau într-o altă literă) din cel de-al doilea râu, dar în acest caz poți să-l vezi singur din primul râu, cioburile sunt acolo cei mai mici coeficienți.
(2) Dăm dodanki similar celui de-al 2-lea și al 3-lea egal.
3
(4) Înlocuitor pentru un prieten (sau al treilea) egal, se știe că
(5) Depune și primul egal, otrimuyuchi.
Yakshcho vynikli dificultăți cu metodele de dezvoltare a sistemului Cum să dezlegați sistemul de linii liniare?
După perfecționarea sistemului, începeți o reverificare minuțioasă - prezentați valorile cunoscute la piele egalizarea sistemului, ca urmare, totul se poate așeza.
Mayzha a sosit. Coeficienții sunt cunoscuți, de asemenea: 
O sarcină bine concepută poate arăta cam așa:
Iac bachite, principala problemă a sarcinii a fost asamblarea (corect!) și plierea (corect!) a sistemului de aliniamente liniare. Și în etapa finală, totul nu este atât de lin: puterea victorioasă a liniarității integralei nedefinite este integrabilă. Îmi pare rău că sub pielea celor trei integrări avem o funcție pliabilă „liberă”, despre particularitățile integrării pe care le cresc Metoda de înlocuire a modificării într-o integrală nedefinită .
Revizie: Diferențiere:
Am eliminat funcția pidintegral, dar integrala a fost găsită corect.
În timpul reverificării, am avut șansa să închid un banner de dormit, dar nu a ieșit rău. Metoda coeficienților nesemnificativi și aducerea acestuia în partea de jos a bannerului este reciproc avantajoasă.
fundul 2
Cunoașteți non-valorile integralei. 
Să ne întoarcem la fracția de la primul cap: 
. Nu contează să ne amintim că toți multiplicatorii RIZNI sunt în banner. Da vina pe nutriție, dar ce funcționează, ca un tribut, de exemplu, un astfel de drіb: 
? Aici la banner avem un pas, altfel, matematic multipli. În plus, există un trinom pătratic care nu poate fi înmulțit 
negativ, nu îl putem împărți în multiplicatori de trinoame). Ce munca? Dispunerea sumei fracțiilor elementare arată ca un kshtalt 
cu coeficienți necunoscuți în munți, parcă altfel?
fundul 3
Afișează funcția 
Croc 1. Verificați dacă avem drib-ul potrivit
Pasul superior al numărului de formare: 2
Treapta superioară a bannerului: 8
Otzhe, drіb є corect.
Croc 2Îl poți așeza la bannerman pentru multiplicatori? Este evident că nu totul este deja stabilit. Trinomul pătrat nu se extinde în lume din alte motive. Bun. Roboții sunt mai puțini.
Croc 3 Să dăm o funcție rațională pentru a analiza suma fracțiilor elementare.
În această vedere, aranjamentul poate arăta astfel:
Ne minunăm de bannerul nostru:
La răspândirea funcției shot-raționale pe suma fracțiilor elementare, pot fi menționate trei puncte importante:
1) Dacă există un multiplicator „self-made” în banner la primul pas (din punctul nostru de vedere), atunci punem coeficientul de nesemnificație în vârf (din punctul nostru de vedere). Aplicat nr. 1,2 au fost formați mai puțin din astfel de multiplicatori „singuratici”.
2) Yakshcho la bannerman є multiplu multiplicator, atunci este necesar să-l aranjați astfel: 
- deci parcurgeți succesiv toți pașii „iks” de la primul până la ultimul pas. Fundul nostru are doi multipli: aruncați o altă privire asupra aspectului pe care l-am așezat și schimbați, că mirosul aspectului în sine urmează această regulă.
3) Dacă bannerul cunoaște un polinom neextensibil de alt nivel (y razі), atunci când se aranjează în cartea de numere, este necesar să se noteze o funcție liniară cu coeficienți nesemnificativi (y razі z coeficienți nesemnificativi i ).
De fapt, este încă a 4-a tură, dar voi înceta să mai vorbesc despre cel nou, cioburile în practică se văd rar.
fundul 4
Afișează funcția 
la vederea sumei fracţiilor elementare din coeficienţii necunoscuţi.
Acesta este un exemplu de soluție independentă. În exterior, soluția este că este similară cu lecția.
Atenție la algoritm!
Dacă ați rezolvat, conform unor principii, trebuie să puneți o funcție rațională de împușcare într-o pungă, atunci puteți extrage practic orice fel de integrală de tipul pe care îl priviți.
fundul 5
Cunoașteți non-valorile integralei. 
Croc 1. Este evident că drіb є este corect:
Croc 2Îl poți așeza la bannerman pentru multiplicatori? Se poate, se poate. Iată suma cuburilor 
. Răspândim bannerul în multiplicatori, vikoristovuyuchi formula multiplicatorului rapid
Croc 3 Folosind metoda coeficienților nesemnificativi, descompunem funcția integrand în suma fracțiilor elementare:
Pentru a ține cont de faptul că termenul bogat nu este divizibil în multiplicatori (invers, că discriminantul este negativ), atunci punem o funcție liniară cu coeficienți necunoscuți, și nu doar o literă.
Îndreptăm dribul către bannerul de dormit:
Stocăm și instalăm sistemul:
(1) De la primul nivel, poate fi comparat și prezentat la un alt nivel al sistemului (modul cel mai rațional).
(2) Inducem dodanki similar de la un alt egal.
(3) Adăugăm termen cu termen unul altuia și al treilea sistem egal.
Mustața este mai departe, sistemul este stângaci în principiu, usnі, oskіlki. 
(1) Notăm suma fracțiilor într-un mod rezonabil la coeficienții cunoscuți.
(2) Puterea Vykoristuemo a liniarității integralei nedefinite. Ce sa întâmplat cu cealaltă integrală? Cu această metodă, puteți afla în restul lecției Integrarea fracțiilor reale .
(3) Încă o dată, puterea victorioasă a liniarității. La a treia integrală, începem să vedem al doilea pătrat (paragraf îndepărtat din lecție Integrarea fracțiilor reale ).
(4) Luăm o altă integrală, pentru a treia vedem același pătrat.
(5) Luăm integrala a treia. Gata.
,
,
