Metoda variației destul de constante, sau metoda Lagrange, este o altă modalitate de dezlegare a ecuațiilor diferențiale liniare de ordinul întâi și a ecuațiilor Bernoulli.
Ecuațiile diferențiale liniare de ordinul întâi sunt egale cu forma y + p (x) y = q (x). Deoarece partea dreaptă este zero: y'+p(x)y=0, ce este liniară în același timp Rivalitatea de ordinul I. Aparent, ecuația are o parte dreaptă diferită de zero, y'+p(x)y=q(x), mai mult de o dată egalizare liniară de ordinul I.
Metoda variației destul de constante (metoda Lagrange) se află în ofensivă:
1) Pare o soluție ascunsă a ecuației omogene y+p(x)y=0: y=y*.
2) În soluția halal, Z este important nu ca constantă, ci ca funcție sub forma x: C = C (x). Cunoaștem abordarea soluției zagal (y*)' și în mintea cob introducem expresia pentru y* și (y*)'. Prin eliminarea ecuației putem găsi funcția (x).
3) In solutia secreta a unei ecuatii omogene se introduce inlocuirea virusului C(x).
Să ne uităm la metoda de variație destul de constantă. Să luăm aceleași sarcini care sunt egale cu progresul soluției și sunt în curs de transformare, astfel încât concluziile să fie evitate.
1) y'=3x-y/x
Să rescriem ecuația în forma standard (în plus față de metoda Bernoulli, unde aveam nevoie de forma de notație pentru a ne asigura că ecuația este liniară).
y'+y/x=3x (I). Acum este timpul să planificăm.
1) Se pare că ecuația este y+y/x=0. Ceremoniile sunt egale cu cei care sunt despărțiți. Reprezentabil prin y'=dy/dx, reprezentat prin: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Cele două părți sunt înmulțite cu dx și împărțite cu xy≠0: dy/y=-dx/x. Integrat:
2) În soluția finală a unei ecuații omogene, C este important nu ca constantă, ci în funcție de x: C=C(x). Zvidsi
Otrimani vyrazy este prezentat pentru minte (I):
Integram părțile ofensatoare ale ecuației:
aici C este deja o nouă constantă.
3) În decizia finală a aceleiași ecuații, y=C/x, unde am luat în considerare C=C(x), apoi y=C(x)/x, în loc de C(x) reprezentăm expresia x³ +C: y=(x³ + C)/x sau y=x²+C/x. Aceleași dovezi au fost obținute ca și în trecut folosind metoda Bernoulli.
Versiune: y=x²+C/x.
2) y'+y=cosx.
Aici ecuația este deja scrisă în vizualizarea standard, nu este nevoie să o recreați.
1) Este probabil ca alinierea liniară să fie y'+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Integrat:
Pentru a crea o formă mai manuală de intrare, expozantul din lume va accepta aceasta ca pe una nouă:
Acesta a fost recreat pentru a facilita găsirea unei căi de urmat.
2) În soluția originală a unei ecuații liniare omogene, este important să se folosească C nu ca constantă, ci ca funcție a lui x: C = C(x). Din acest motiv
Înlăturăm expresiile y și y' pentru minți:
Să înmulțim resentimentele părților egale
Integream partile incriminate, urmand formula de integrare pe parti, deducem:
Aici nu mai este o funcție, ci o constantă primară.
3) Soluția secretă are o relație uniformă
Inlocuim functia gasita C(x):
Aceleași dovezi au fost obținute ca și în trecut folosind metoda Bernoulli.
Metoda de variație este suficient de stabilă și de îmbunătățire.
y'x+y=-xy².
Aducem ecuația la aspectul standard: y+i/x=-y² (II).
1) Se pare că ecuația este y+y/x=0. dy/dx=-y/x. Înmulțim părțile egale cu dx și împărțim cu y: dy/y=-dx/x. Acum integrabil:
Să ne imaginăm că expresiile sunt luate (II):
Sa intrebam:
Am luat măsuri egale din schimbarea schodo C și x:
Aici C este deja o constantă primară. În procesul de integrare, au scris un înlocuitor (x) pur și simplu Z, pentru a nu suprascrie înregistrarea. Și, de exemplu, au apelat la C(x), pentru a nu confunda C(x) cu noul C.
3) În soluția finală a ecuației omogene y=C(x)/x, reprezentăm funcția găsită C(x):
Aceleași dovezi au fost obținute folosind metoda avansată a lui Bernoulli.
Buttstock pentru autoverificare:
1. Să rescriem ecuația în formă standard: y'-2y = x.
1) Cea mai probabilă ecuație este y'-2y = 0. y'=dy/dx, din dy/dx=2y, înmulțind părțile egale cu dx, împărțind cu y și integrând:
te stim:
Expresiile pentru y și y' sunt substituite în minte (pentru consistența viabilității C substituția C(x) și C' substituția C"(x)):
Pentru a găsi integrala părții din dreapta, folosim formula de integrare pe părți:
Acum înlocuim u, du și v y cu formula:
Aici Z = const.
3) Acum înlocuim vârful omogenului
Să aruncăm o privire la ecuația diferențială liniară eterogenă de ordinul întâi:
(1)
.
Există trei moduri de a dezlănțui această gelozie:
Să aruncăm o privire la soluția nivelului diferențial liniar al primului fret folosind metoda Lagrange.
Metoda variației constante este probabil să fie efectuată în două etape. În prima etapă, vom vedea rezultatul egal și cel mai probabil egal. La celălalt capăt al etapei, înlocuim integrarea constantă, din prima etapă de decizie, cu o funcție. După aceasta, pare o decizie secretă de a lua o ieșire finală.
Să aruncăm o privire la gelozie:
(1)
Putem vedea soluția la aceeași întrebare:
Ceremonie și schimbați-o separat
Împărțim variabilele - înmulțim cu dx, împărțim cu y:
Integrat:
Integrală peste y-tabular:
Todi
Potențiat:
Înlocuiți constanta e C cu C și luați semnul modulului, care se înmulțește cu constanta ±1, care este inclus în C:
Acum să înlocuim constanta C cu funcția x:
C → u (X)
Așadar, căutăm o decizie de a face o programare de weekend (1)
dintr-o privire:
(2)
Știm că voi merge.
Urmând regula de diferențiere a unei funcții de pliere:
.
Urmând regula diferențierii față de creativitate:
.
Prezentat in weekend (1)
:
(1)
;
.
Doi membri se întâlnesc rapid:
;
.
Integrat:
.
Prezentat în (2)
:
.
Ca rezultat, există o soluție convingătoare pentru ecuația diferențială liniară de ordinul întâi:
.
Pare a fi la fel:
Împărtășim următoarele:
Înmulțit cu:
Integrat:
Integrale de tabel:
Potențiat:
Înlocuiți constanta e C cu C și adăugați semnele modulului:
Stea:
Înlocuiește constanta C cu funcția x:
C → u (X)
Știm, hai să mergem:
.
Prezentat la nivelul de ieșire:
;
;
Abo:
;
.
Integrat:
;
Rivalitate virtuoasă:
.
Metoda de variație a constantelor pe termen lung
A n (t)z (n) (t) + A n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + A 1 (t)z"(t) + A 0 (t)z(t) = f(t)
este în proces de înlocuire a celor mai permanente c k am decis
z(t) = c 1 z 1 (t) + c 2 z 2 (t) + ... + c n z n (t)
nivel omogen uniform
A n (t)z (n) (t) + A n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + A 1 (t)z"(t) + A 0 (t)z(t) = 0
pe funcții suplimentare c k (t) , care satisfac sistemul liniar al algebrei
Funcția principală a sistemului (1) este funcția Wronskiană z 1 ,z 2 ,...,z n , Ceea ce va asigura o diferență clară între cele două.
Deoarece este primar pentru , luat la fixarea valorilor constante de integrare, atunci funcția
soluții pentru egalizarea diferențială liniară neomogenă de ieșire. Integrarea unei relații eterogene pentru evidența unei relații ascunse cu o relație omogenă similară este astfel redusă la pătraturi.
se află la cererea unei hotărâri private (1) la vedere
de Z(t) - se atribuie relației baza conexiunilor unei anumite ecuații omogene, intrărilor sub formă de matrice și funcției vectoriale, care a înlocuit vectorul celor mai constante. Decizie privată Shukan (cu valori zero cob la t = t 0 poate vizualiza
Pentru un sistem cu coeficienți constanți, virusul rămas își va lua adio:
Matrice Z(t)Z− 1 (τ) numit Matricea Cauchy operator L = A(t) .
Fundația Wikimedia. 2010.
