Existem 2 superfícies que se sobrepõem, e essa é a superfície. Arranjo mútuo de dois planos

Nesta seção, há uma relação contínua entre o espaço direto e a posição da estereometria. Isto significa que vemos uma linha reta num espaço trivial como uma linha entre dois planos.

De acordo com os axiomas da estereometria, como dois planos não se encontram e definem um ponto comum, eles também marcam uma linha reta comum, na qual estão todos os pontos comuns aos dois planos. Pelo alinhamento vicorístico de dois planos que se sobrepõem, podemos determinar uma linha reta em um sistema de coordenadas retangular.

Enquanto isso, examinarei os numerosos exemplos, uma série de ilustrações gráficas e soluções acaloradas que exigem uma compreensão profunda do material.

Deixe haver dois planos que não se chocam e se deslocam. Eles são significativos como área e área. Pode ser acomodado em um sistema de coordenadas retangulares O x y z de espaço trivial.

Como lembramos, a área no sistema de coordenadas retilíneas é especificada por gale rivnyannya plano na forma A x + B y + C z + D = 0. É importante que o plano α seja indicado pelo nível A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, e o plano β é indicado pelo nível A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Neste caso, os vetores normais dos planos α e β n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) і n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) não são colineares, pois os planos não correm paralelamente um ao outro, um a um. Vamos escrever Qiu Umov assim:

n 1 → ≠ λ n 2 → ⇔ A 1 , B 1 , C 1 ≠ λ A 2 , λ B 2 , λ C 2 , λ ∈ R

Para refrescar a memória do material sobre o tema “Paralelismo de planos”, consulte a seção correspondente do nosso site.

A linha da barra transversal dos apartamentos é designada pela letra a . Tobto. uma = α ∩ β. Esta linha reta é um ponto sem sentido, comum aos planos α e β. Isso significa que todos os pontos de uma linha reta a satisfazem ambos os níveis da área A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 e A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. Na verdade, o fedor são as decisões privadas do sistema de níveis A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0.

Soluções de bastidores do sistema níveis lineares A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 significa as coordenadas de todos os pontos da linha atrás da qual há uma barra transversal de dois planos α e β. Isto significa que com esta ajuda adicional podemos determinar a posição do sistema de coordenadas retangulares diretas O x y z.

Vejamos novamente a teoria descrita, agora em uma aplicação específica.

Bunda 1

Straight O x – isso é Straight, que é como se embaralha coordenar planos O x y e O x z . Vamos definir a área O x y para as linhas z = 0 e a área O x z para as linhas y = 0 . Discutimos extensivamente esta abordagem na seção “Superfícies Subterrâneas”, mas em momentos de dificuldade você pode retornar a este material novamente. Neste caso, a linha de coordenadas O x é designada em um sistema de coordenadas trivial por um sistema de dois níveis da forma y = 0 z = 0.

Encontrar as coordenadas de um ponto que está na linha reta através da qual os planos se cruzam

Vamos dar uma olhada no local. Seja dado ao espaço trivial um sistema de coordenadas retilíneas O x y z. A linha ao longo da qual os dois planos a se entrelaçam é especificada pelo sistema de alinhamentos A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. Dado um ponto no espaço trivial M 0 x 0, y 0, z 0.

Vamos descobrir onde está o ponto M 0 x 0 , y 0 , z 0 na linha reta dada a .

Para responder à tarefa nutricional, substituímos as coordenadas do ponto M 0 próximo à pele por dois níveis de superfície. Como resultado da substituição do ressentimento, a equação é transformada na igualdade correta A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0 e A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D 2 = 0, então o ponto M 0 está localizado na pele dos planos e está localizado na linha especificada. Se você quiser que uma das igualdades A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0 e A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D 2 = 0 pareça incorreta, então o ponto M0 não está em linha reta.

Vamos dar uma olhada na solução final

Bunda 2

Uma linha reta é definida no espaço pelos níveis de dois planos que se sobrepõem, na forma 2 x + 3 y + 1 = 0 x - 2 y + z - 3 = 0. Isso significa que os pontos M 0 (1, - 1, 0) e N 0 (0, - 1 3, 1) estão na linha reta dos planos.

Decisão

Vamos descobrir a partir do ponto M0. Vamos substituir essas coordenadas no sistema 2 · 1 + 3 · (-1) + 1 = 0 1 - 2 · (- 1) + 0 - 3 = 0 ⇔ 0 = 0 0 = 0 .

Como resultado da substituição, obtivemos igualdades verdadeiras. Isso significa que o ponto M 0 está em ambos os planos e é traçado ao longo da linha de sua barra transversal.

Vamos substituir o nível do plano coordenado do ponto N 0 (0, - 1 3, 1). Elimine 2 · 0 + 3 · - 1 3 + 1 = 0 0 - 2 · - 1 3 + 1 - 3 = 0 ⇔ 0 = 0 - 1 1 3 = 0.

Como você pode ver, o outro ciúme do sistema se transformou no ciúme errado. Isso significa que o ponto N 0 não está na linha reta dada.

Assunto: o ponto M 0 deve estar em linha reta, mas o ponto N 0 não.

Agora apresentamos a vocês um algoritmo para encontrar as coordenadas de um determinado ponto que está em uma linha reta, uma vez que uma linha reta no espaço em um sistema de coordenadas retangulares O x y z é indicada pelos níveis dos planos que se sobrepõem A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2x+ B 2 y + C 2 z + D 2 = 0.

O número de conexões no sistema de dois níveis lineares ao desconhecido A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 infinitamente. Independentemente dessas decisões, a tarefa pode ser resolvida.

Vamos apontar a bunda.

Bunda 3

Seja a expansão trivial uma linha reta pelos alinhamentos de dois planos que se cruzam, na forma x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0. Encontre as coordenadas de qualquer ponto da linha.

Decisão

Vamos reescrever o sistema x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 ⇔ x + 0 y + 3 z = - 7 2 x + 3 y + 3 z = -2.

Tomemos o menor de zero de ordem diferente como o menor básico da matriz principal do sistema 1 0 2 3 = 3 ≠ 0. Tse significa que z - Há toda uma mudança desconhecida.

Transferiremos as adições que irão se vingar da mudança desconhecida no lado direito das fileiras:

x + 0 y + 3 z = - 7 2 x + 3 y + 3 z = - 2 ⇔ x + 0 y = - 7 - 3 z 2 x + 3 y = - 2 - 3 z

Insira um número válido e aceite que z = .

Então x + 0 y = - 7 - 3 z 2 x + 3 y = - 2 - 3 z ⇔ x + 0 y = - 7 - 3 λ 2 x + 3 y = - 2 - 3 λ.

Para obter o nível mais alto do sistema de equações, usamos o método de Cramer:

∆ = 1 0 2 3 = 1 3 - 0 1 = 2 ∆ x = - 7 - 3 λ 0 - - 3 λ 3 = - 7 - 3 λ 3 - 0 (- 2 - 3 λ) = 21 - 9 λ ⇒ x = ∆ x ∆ = - 7 - 3 λ ∆ y = 1 - 7 - 3 λ 2 - 2 - 3 λ = 1 · - 2 - 3 λ - - 7 - 3 λ = 12 + 3 λ ⇒ y = ∆ y ∆ = 4 +λ

Zagalne rishennya sistemy rivnyan x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 matime viglyad x = - 7 - 3 λ y = 4 + λ z = λ, de λ ∈ R.

Para criar uma ligação privada do sistema de alinhamento, a fim de nos fornecer as coordenadas do ponto a ser atribuído à linha, precisamos tomar valores específicos do parâmetro. Se λ = 0, então x = - 7 - 3 0 y = 4 + 0 z = 0 ⇔ x = - 7 y = 4 z = 0.

Isso permite selecionar as coordenadas do ponto selecionado - 7, 4, 0.

Podemos verificar a precisão das coordenadas encontradas de um ponto substituindo-as no nível de saída dos dois planos que se sobrepõem - 7 + 3 0 + 7 = 0 2 (- 7) + 3 4 + 3 0 + 2 = 0 ⇔ 0 = 0 0 = 0 .

Vídeo: - 7 , 4 , 0

O vetor direto é reto, com o qual dois planos se cruzam

Vejamos como determinar as coordenadas do vetor direto de uma reta, que é dada pelos alinhamentos de dois planos que se cruzam A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 e A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Em um sistema de coordenadas retangulares 0xz, o vetor direto não é uma linha reta.

Como sabemos, uma linha reta é perpendicular a um plano naquela direção se for perpendicular a qualquer linha reta que esteja num determinado plano. Seguindo o que foi dito, o vetor normal de um plano é perpendicular a qualquer vetor diferente de zero que esteja próximo a este plano. Estes dois factos ajudar-nos-ão a determinar o vetor direto.

Os planos α e β se movem ao longo da linha a . Vetor direto a → linha reta a expansões perpendiculares ao vetor normal n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) da área A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 e vetor normal n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) área A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0.

Vetor reto reto a é uma adição vetorial de vetores n → 1 = (A 1, B 1, C 1) і n 2 → = A 2, B 2, C 2.

a → = n → 1 × n 2 → = i → j → k → A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2

Definimos o valor zero de todos os vetores diretos como λ · a → = λ · n 1 → × n 2 → , onde λ é um parâmetro que pode aceitar quaisquer valores operacionais diferentes de zero.

Bunda 4

Seja a linha reta no espaço em um sistema de coordenadas retilíneas O x y z dada pelos alinhamentos de dois planos que se entrelaçam x + 2 y - 3 z - 2 = 0 x - z + 4 = 0 . Conhecemos as coordenadas de qualquer vetor direto da reta.

Decisão

As áreas x + 2 y - 3 z - 2 = 0 і x - z + 4 = 0 aparecem vetores normais n 1 → = 1, 2, -3 і n 2 → = 1, 0, -1. Tomado como um vetor direto de uma linha reta, que é a intersecção de dois planos dados, a adição vetorial de vetores normais:

a → = n → 1 × n 2 → = i → j → k → 1 2 - 3 1 0 - 1 = i → · 2 · (-1) + j → · (- 3) · 1 + k → · 1 · 0 - - k → · 2 · 1 - j → · 1 · (- 1) - i → · (- 3) · 0 = - 2 · i → - 2 j → - 2 k →

Vamos escrever a resposta na forma de coordenadas a → = -2, -2, -2. Tim, se você não se lembra de como fazer isso, recomendamos que você vá para aquelas “Coordenadas vetoriais do sistema de coordenadas retilíneas”.

Assunto: uma → = - 2 , - 2 , - 2

A transição para os níveis paramétricos e canônicos é direta no espaço

Para comandos baixos virtuosos, é mais simples usar a linha reta paramétrica no espaço da forma x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ ou a linha reta canônica em o espaço da forma x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ. Nessas retas, a x , a y , a z são as coordenadas do vetor direto da reta, x 1 , y 1 , z 1 são as coordenadas de qualquer ponto da reta e a é um parâmetro que assume valores efetivos adicionais.

Do alinhamento em linha reta A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, você pode ir para os alinhamentos canônicos e paramétricos da linha reta linha no espaço. Para registrar linhas canônicas e paramétricas de uma linha reta, precisamos da habilidade de encontrar as coordenadas de qualquer ponto da linha, bem como as coordenadas de qualquer vetor direto da linha, dadas pelas linhas de dois planos que se cruzam.

Vamos dar uma olhada na escrita na bunda.

Bunda 5

Vamos definir uma reta em um sistema de coordenadas tridimensional com os alinhamentos de dois planos que se cruzam 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 . Vamos escrever equações canônicas e paramétricas com valores diretos.

Decisão

Conhecemos as coordenadas do vetor direto da reta, que é a adição vetorial dos vetores normais n 1 → = 2, 1, - 1 planos 2 x + y - z - 1 = 0 e n 2 → = (1, 3 , - 2) planos x + 3 y - 2 z = 0:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 2 1 - 1 1 3 - 2 = i → · 1 · (-2) + j → · (- 1) · 1 + k → · 2 · 3 - - k → · 1 · 1 - j → · 2 · (-2) - i → · (- 1) · 3 = i → + 3 · j → + 5 · k →

Coordenadas do vetor direto das linhas a → = (1, 2, 5).

O próximo passo é o valor das coordenadas do ponto de uma determinada reta, que é uma das soluções do sistema de alinhamento: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ 2 x + y - z = 1 x + 3 y - 2 z = 0.

Vamos considerar a matriz menor do sistema como a primária 2 1 1 3 = 2 · 3 - 1 · 1 = 5 , que é um subconjunto de zero. De que forma é a mudança z є grátis. Transferimos as adições dele para a parte direita da camada de pele e adicionamos um valor suficientemente alto de λ:

2 x + y - z = 1 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ 2 x + y = 1 + z x + 3 y = 2 z ⇔ 2 x + y = 1 + λ x + 3 y = 2 λ , λ ∈R

É possível usar o método de Cramer para o sistema de nível mais alto:

∆ = 2 1 1 3 = 2 3 - 1 1 = 5 ∆ x = 1 + λ 1 2 λ 3 = (1 + λ) 3 - 1 2 λ = 3 + λ ⇒ x = ∆ x ∆ = 3 + λ 5 = 3 5 + 1 5 · λ ∆ y = 2 1 + λ 1 2 λ = 2 · 2 λ - (1 + λ) · 1 = - 1 + 3 λ ⇒ y = ∆ y ∆ = - 1 + 3 λ 5 = - 1 5 + 3 5λ

Redutível: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ x = 3 5 + 1 5 y = - 1 5 + 3 5 z = λ

Aceitamos λ = 2 para calcular as coordenadas de um ponto em linha reta: x 1 = 3 5 + 1 5 · 2 y 1 = - 1 5 + 3 5 · 2 z 1 = 2 ⇔ x 1 = 1 y 1 = 1 z 1 = 2. Agora temos dados suficientes para escrever as equações canônicas e paramétricas dos dados do espaço direto: x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 5 x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ ⇔ x = 1 + 1 · λ y = 1 + 3 · λ z = 2 + 5 · λ ⇔ x = 1 + λ y = 1 + 3 ·λ z = 2 + 5λ

Assunto: x - 1 1 = y - 1 3 = z - 2 5 e x = 1 + λ y = 1 + 3 · λ z = 2 + 5 · λ

Este mistério ainda tem outra maneira de ser desvendado.

O cálculo das coordenadas de um determinado ponto em uma linha reta é realizado com um sistema aberto de alinhamentos A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0.

Neste caso, a solução pode ser escrita na forma de equações paramétricas diretamente no espaço x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ.

A remoção das relações canônicas é realizada na seguinte ordem: a pele é separada da remoção das relações de acordo com o parâmetro λ, igualamos as partes corretas da relação.

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y λ = z - z 1 a z ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

Este método de realizar a tarefa é óbvio.

Bunda 6

Especifique a posição da linha reta dos dois planos que cruzam 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0. Escrevemos alinhamento paramétrico e canônico para esta linha reta.

Decisão

O desenvolvimento do sistema em dois níveis e três incógnitas é realizado da mesma forma que antes, como fizemos na aplicação anterior. Derivável: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ x = 3 5 + 1 5 · λ y = - 1 5 + 3 5 · λ z = λ.

Este nível paramétrico está direto no espaço.

A equação canônica é determinada pela ordem atual: x = 3 5 + 1 5 · λ y = - 1 5 + 3 5 · λ z = λ ⇔ λ = x - 3 5 1 5 λ = y + 1 5 3 5 λ = z 1 ⇔ x - 3 5 1 5 = y + 1 5 3 5 = z 1

As diferenças em ambas as extremidades são diferentes, são equivalentes, pois indicam o mesmo ponto do espaço trivial e, portanto, a mesma linha reta.

Assunto: x - 3 5 1 5 = y + 1 5 3 5 = z 1 i x = 3 5 + 1 5 λ y = - 1 5 + 3 5 λ z = λ

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Dois planos em uma extensão podem ser mutuamente paralelos ou acabar correndo juntos ou sobrepostos. Os planos mutuamente perpendiculares são reforçados por uma série de planos que se sobrepõem.

1. Planos paralelos. Planos paralelos, como duas retas que se cruzam, um plano é paralelo a duas retas que se cruzam de outro plano.

Este valor é melhor ilustrado traçando um plano através de um ponto paralelo ao plano especificado por duas retas ab que se cruzam (Fig. 61).

Zavdannya. Dado: a área da posição lateral, dada por duas retas ab, que se entrelaçam, e o ponto B.

É necessário traçar um plano através de um ponto paralelo ao plano ab e às duas retas que se cruzam, c e d.

É claro que, à medida que duas linhas retas se cruzam, um plano paralelo entre si se cruza em uma linha reta e os outros planos paralelos entre si.

Para desenhar linhas paralelas no diagrama, é necessário usar rapidamente o poder do desenho paralelo - projeções de linhas paralelas - paralelas entre si

d//a, с//b Þ d1//a1, с1//b1; d2//a2, c2//b2; d3//a3, c3//b3.

Malyunok 61. Planos paralelos

2. Cruzando planícies, A inclinação adjacente é mutuamente perpendicular ao plano. A linha da barra transversal de dois planos é reta, para isso marque dois pontos opostos a ambos os planos, ou um ponto ao longo da linha da barra transversal dos planos.

Vejamos a linha do feixe de dois planos, um dos quais se projeta (Fig. 62).

Zavdannya. Dado: o plano da posição lateral é dado pelo ABC tricutâneo, e o outro plano se projeta horizontalmente a.

É necessário criar uma linha de apartamentos.

A tarefa relacionada reside nos dois pontos identificados dos planos ocultos através dos quais uma linha reta pode ser traçada. A área especificada pelo ABC tricutâneo pode ser vista como linhas retas (AB), (AC), (BC). A ponta da barra transversal é reta (AB) com o plano A - ponto D, reta (AC) -F. O corte indica a linha da cruz dos planos. Como a é um plano que se projeta horizontalmente, a projeção D1F1 é seguida pelo plano aP1, privando assim apenas as projeções em P2 e P3.

Malyunok 62. Retin de uma superfície plana com um plano horizontal.

Vamos para o destino final. Deixe o espaço ter dois planos oblíquos a(m,n) e b(ABC) (Fig.63)

Malyunok 63. Retin dos apartamentos do acampamento zagalny

Vejamos a sequência da linha da barra transversal das áreas a(m//n) e b(ABC). Por analogia com as tarefas anteriores, para encontrar a linha de cruzamento desses planos, desenharemos gráficos adicionais g e d. Conhecemos as linhas do cruzamento entre as planícies e as planícies que podem ser vistas. O plano g abrange o plano a com uma linha reta (12) e o plano b com uma linha reta (34). O ponto Do é o ponto da barra transversal dessas retas que se sobrepõe simultaneamente a três planos a, b e g, sendo um ponto da linha da barra transversal dos planos a e b tal que se sobrepõe à reta. O plano d entrelaça os planos aeb atrás das retas (56) e (7C) obviamente, o ponto de sua malha M se move simultaneamente em três planos a, b, d e segue a reta de trama dos planos a e b. Desta forma, foram encontrados dois pontos que ficam na reta da barra transversal dos planos a e b - reta (KM).

Uma certa simplificação com uma linha diária de seção transversal de planos pode ser alcançada se planos adicionais forem traçados através dos planos retos especificados.

Mutuamente perpendicular ao plano. Pela estereometria fica claro que dois planos são perpendiculares entre si, pois um deles passa pela perpendicular ao outro. Através do ponto A não é possível traçar planos perpendiculares de uma determinada área a(f,h). Esses planos criam no espaço vários planos, todos perpendiculares, descendo do ponto A ao plano a. Para traçar um plano do ponto A perpendicular ao plano dado com duas retas hf que se cruzam, é necessário traçar uma reta n do ponto A perpendicular ao plano hf (a projeção horizontal n é perpendicular à projeção horizontal horizontal linha h, projeção frontal n é perpendicular à frente Projeção frontal alternativa f). Se o plano que passa pela reta n é perpendicular ao plano hf, então para encontrar o plano pelos pontos A, uma reta m suficiente é desenhada. A área é dada por duas retas mn, que se entrelaçam quando perpendiculares à área hf (Fig. 64).

Malyunok 64. Planos mutuamente perpendiculares

Viznachennya. A linha reta é chamada de plano paralelo porque não há ponto de fusão comum atrás dela.

Ajuste mútuo de linhas retas e planos

Isso mesmo

Paralelismo de duas linhas

Se um plano passa por uma linha reta paralela a outro plano e cruza esse plano, então a linha de sua linha cruzada é paralela a essas linhas retas.

Finalizado. Deixe o avião passar pela reta a, paralela ao plano, e pela reta b, a linha da barra transversal desses planos. Vejamos que a e b são diretamente paralelos.

É verdade que o fedor está perto de um quadrado. Além disso, a linha reta b fica próxima ao plano, e a linha reta a não se sobrepõe a este plano. Bem, a linha reta i não se sobrepõe à linha reta b. Desta forma, as retas a e b ficam no mesmo plano e não se desfiam. Nossa, o fedor é paralelo.

Sinal de paralelismo de retas e planos Se for reto, mas não estiver no plano, for paralelo a toda linha reta que estiver neste plano, então será reto paralelo ao próprio plano.

Finalizado. Deixe-me ir direto não fique perto do plano β e paralelo à linha reta b , o que fica perto desta planície. Vamos ver o que está certo a paralelo ao plano β.

É inaceitável que a linha reta A cruze o plano no ponto C.

Vejamos o plano α, que passa pelas retas a e b (a || b, atrás do lavatório). O ponto C está localizado como um plano, então e um plano, então. alinhe as linhas com suas teias - em linha reta b. Bem, eles estão mudando diretamente A e B, então fica muito claro para sua mente. Otzhe, um || β.

Certo 1

É verdade que existem duas retas paralelas aos mesmos planos?

Versão: Não.

Certo 2

É mais correto dizer: “Reta, paralela ao plano, paralela a qualquer reta próxima a este plano”?

Versão: Não.

Certo 3

Uma das duas linhas paralelas é paralela ao plano. Qual é o sólido correto, já que é diretamente paralelo a este plano?

Versão: Não.

Certo 4

Dadas duas linhas paralelas. Um avião é desenhado através da pele deles. Essas duas superfícies mudam. Como esta linha foi recauchutada para corresponder aos dados diretos?

Versão: Paralelo.

Certo 5

Existem dois quadrados que se movem. Qual é o plano que entrelaça dois planos dados ao longo de linhas paralelas?

Veredicto: Sim.

Certo 6

O lado AF do ABCDEF regular de seis peças fica no plano α, pois não interfere no plano das seis peças. Como são traçadas as linhas retas para que os outros lados deste corpo de seis camadas possam ser achatados?

Tipo: AB, BC, DE, EF retina a superfície; CD é paralelo ao plano.

1) Existe uma linha reta e dois planos que se sobrepõem. Caracterize todos os tipos possíveis desta expansão mútua.

2) Dados dois aviões que se movem. Qual é o plano que intercepta dois planos ao longo de linhas paralelas?

2. Dadas duas retas que se cruzam no ponto C. Por que ficar com elas ao mesmo tempo no mesmo plano, seja a terceira reta, que é o ponto cutâneo dessas retas?

4. Coloque uma distância de 8 cm entre dois planos paralelos. Um corte reto, com cerca de 17 cm de distância entre eles, estende-se entre eles de forma que sua extremidade fique sobre os planos. Encontre a projeção desse corte na pele a partir da superfície.

5. Termine a frase para que saia corretamente:

d) não sei

6. As linhas retas a e b são perpendiculares. Os pontos A e B estão na linha reta a, os pontos C e D estão na linha reta b. AC e BD estão no mesmo plano?

7. O cubo ABCDA1B1C1D1 possui diagonais de faces AC e B1D1. Como é essa expansão mútua?

8. A aresta do cubo ABCDA1B1C1D1 é mais antiga que m. Encontre a linha entre as retas AB e CC1.

A) 2m B) 1/2m C) m D) Não sei

9. Em outras palavras, é mais correto dizer:

A) então B) nem C) deixa pra lá D) não sei

10. Para o cubo ABCDA1B1C1D1, encontre o corte entre os planos BCD e ВСС1В1.

A) 90°B) 45°C) 0°D) 60°

11. O que é um prisma que tem apenas um lado perpendicular à base?

A) então B) nem C) não sei

12. Como pode a diagonal de um paralelepípedo retangular ser menor que a nervura lateral?

A) então B) nem C) não sei

13. Qual é a área equivalente da superfície do barril de um cubo com aresta 10?

A) 40 B) 400 C) 100 D) 200

14. Por que a área total da superfície de um cubo é igual a sua diagonal é igual a d?

A) 2d2 B) 6d2 B) 3d2 D) 4d2

15. Quantos planos de simetria tem uma pirâmide regular?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6

16. Qual é o corte axial de qualquer pirâmide regular?

A) tricúbito de lados iguais

B) cortador reto

B) trapézio

D) trícupo equilátero

por favor me ajude por favor faça o teste

1. Quantas linhas retas duas superfícies diferentes podem formar sem colidir?
A) 1 B) 2 C) impessoal D) com sede E) não sei
2. Dadas duas retas que se cruzam no ponto C. Devem elas estar ao mesmo tempo no mesmo plano, seja a terceira reta, qual é o ponto da pele atrás dessas retas?
A) deixa pra lá B) deixa pra lá C) deita, deixa pra lá D) não sei
3. Qual é a afirmação correta:
Dois planos são paralelos, pois são paralelos à mesma e à mesma reta.
A) então B) nem C) não sei D) não esqueça
4. Fique entre dois planos paralelos a 8 cm. Um corte reto, com cerca de 17 cm de distância, mova-se entre eles de modo que ambas as extremidades fiquem nas partes planas. Encontre a projeção desse corte na pele a partir da superfície.
A) 15 cm B) 9 cm C) 25 cm D) Não sei
5. Termine a frase para que a frase saia corretamente:
Se existe uma linha reta que está em um dos dois planos perpendiculares, perpendicular à linha cruzada, então existe ...
A) paralelo ao mesmo plano
B) se move sobre outro plano
B) perpendicular a outro plano
d) não sei
6. As retas aeb são perpendiculares. Os pontos A e B estão na linha reta a, os pontos C e D estão na linha reta b. AC e BD estão no mesmo plano?
A) então B) nem C) deixa pra lá D) não sei
7. O cubo ABCDA1B1C1D1 possui diagonais de faces AC e B1D1. Como é essa expansão mútua?
A) deslocamento B) interseção C) paralelo D) não sei
8. A aresta do cubo ABCDA1B1C1D1 é mais antiga que m. Encontre a linha entre as retas AB e CC1.
A) 2m B) B) m D) Não sei
9. Significativamente, esta é a afirmação correta:
Como duas linhas retas criam inclinações iguais com o mesmo plano, elas são todas paralelas.
A) então B) nem C) deixa pra lá D) não sei
10. Para o cubo ABCDA1B1C1D1, encontre o caminho entre os planos BCD e ВСС1В1.
A) 90 B) 45 C) 0 D) 60
11. O que é um prisma que possui mais de um lado perpendicular à base?
A) então B) nem C) não sei
12. Como a diagonal de um paralelepípedo retilíneo pode ser menor que a nervura lateral?
A) então B) nem C) não sei
13. Qual é a área da superfície lateral de um cubo com aresta 10?
A) 40 B) 400 C) 100 D) 200
14. Por que é a área total da superfície de um cubo, já que sua diagonal é igual a d?
A) 2d2 B) 6d2 B) 3d2 D) 4d2
15. Quantos planos de simetria tem uma pirâmide regular?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6
16. Qual é o corte axial de qualquer pirâmide regular?
a) trícupo equilátero
B) cortador reto
B) trapézio
D) trícupo equilátero

Teste sobre o tema “Expansão mútua de retas e planos. Arranjo mútuo de dois planos"

Selecione uma opção correta dentre as seguintes:

Duas linhas retas no espaço são chamadas de tal forma que se encontram, como segue:

A - o fedor não incomoda as áreas de dormir

B – não é possível traçar um plano através deles

C - os fedores ficam no mesmo plano e não mudam

O espaço tem uma linha reta e um ponto irregular. Quantas linhas retas você tem que passar por um ponto sem cruzar uma linha reta?

A – uma linha reta

B – duas direções diferentes

S - heterossexual impessoal

Direto a cruzar com uma linha reta b , e liso b cruzar com uma linha reta c . Quais são os traços diretos? a і c venha junto:

A – não, os cheiros podem ser paralelos

V - sim, direto aі c venha junto

Com - não, o fedor pode se sobrepor e ser paralelo

Existem dois quadrados que se movem. A pele deles fica reta, cruzando a linha da teia das sapatilhas. Viznachte roztashuvannya tsikh direto schodo um um:

A - e as linhas retas mudam ou se chocam

Em – nos encontraremos diretamente

C – linhas retas tsi podem ser entrelaçadas, paralelas ou intersectadas

É verdade que existem duas retas, paralelas ao mesmo plano, paralelas entre si:

Ah sim, isso mesmo

In - não, eles podem diretamente, mas embaralhar

Com - não, as linhas retas podem mudar ou colidir

O que é verdadeiro é o sólido que é reto, paralelo ao plano, paralelo a qualquer linha reta que esteja próxima deste plano:

Ah sim, isso mesmo

In – não, é paralelo a apenas uma linha reta que fica perto deste plano

S – não, incorreto

Existem dois quadrados que se movem. Existe um plano que cruza duas áreas de dados ao longo de linhas retas paralelas: