Aqui relatamos três aplicações de integração de frações racionais avançadas:
,
,
.
Calcule a integral:
.
Aqui, sob o sinal da integral, existe uma função racional, e os fragmentos da expressão integral são divididos em frações a partir de termos ricos. Passo do membro rico do banner ( 3 ) menor que o grau do termo numérico ( 4 ). Esse pequenino precisa ver toda a parte da cena.
1.
Vemos uma parte inteira da cena. Dilimo x 4
por x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:
Zvidsi
.
2.
Dividimos o banner em múltiplos. Por que você precisa desamarrar o alinhamento cúbico:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6
.
Substituível x = 1
:
.
1
. Dilimo por x - 1
:
Zvidsi
.
Parece ser quadrado.
.
Raiz Rivnyanya: , .
Todi
.
3.
Vamos resumir as coisas em termos mais simples.
.
Bem, nós sabemos:
.
Integrado.
Calcule a integral:
.
Aqui, o triturador de números tem uma fração - um termo rico de grau zero ( 1 =x0). O vassalo tem um membro rico de terceiro grau. Oskolki 0 < 3 , então o drible está correto. Vamos dividir nas frações mais simples.
1.
Dividimos o banner em múltiplos. Para quem é necessário determinar o nível da terceira etapa:
.
É aceitável que haja alguém que queira apenas a raiz inteira. Esta também é a data do número 3
(Membro sem x). Então a raiz inteira pode ser um dos números:
1, 3, -1, -3
.
Substituível x = 1
:
.
Bem, conhecíamos uma raiz x = 1
. Dilimo x 3 + 2 x - 3 em x - 1
:
Otje,
.
Parece ser totalmente igual:
x 2+x+3=0.
Discriminante conhecido: D = 1 2 - 4 3 = -11. Oskolki D.< 0
, então o ruibarbo não tem raízes ativas. Desta forma, dividimos o banner em multiplicadores:
.
2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1)
.
Substituível x = 1
. Todi x - 1 = 0
,
.
Substituível em (2.1)
x = 0
:
1 = 3 A - C;
.
Igual a (2.1)
coeficientes em x 2
:
;
0 = A + B;
.
.
3.
Integrado.
(2.2)
.
Para calcular outra integral, aparentemente na calculadora numérica movemos o sinal para a soma dos quadrados.
;
;
.
Calculável I 2
.
.
Restos de Rivnyanya x 2+x+3=0 não tem raízes ativas, então x 2 + x + 3 > 0. Portanto, o sinal do módulo pode ser omitido.
Entregue em (2.2)
:
.
Calcule a integral:
.
Aqui, sob o signo da integral, existem vários termos diferentes. Portanto, a expressão integral tem uma função racional. O nível de um polinômio em números é antigo 3 . O estágio do polinômio do significante é semelhante à fração 4 . Oskolki 3 < 4 , então o drible está correto. Portanto, eles podem ser divididos em frações simples. Para isso é necessário dividir o banner em multiplicadores.
1.
Dividimos o banner em múltiplos. Para quem é necessário determinar o nível da quarta etapa:
.
É aceitável que haja alguém que queira apenas a raiz inteira. Esta também é a data do número 2
(Membro sem x). Então a raiz inteira pode ser um dos números:
1, 2, -1, -2
.
Substituível x = -1
:
.
Bem, conhecíamos uma raiz x = -1
. Dilimo por x - (-1) = x + 1:
Otje,
.
Agora você precisa determinar o nível do terceiro estágio:
.
Suponhamos que a raiz inteira seja a raiz e a raiz do número 2
(Membro sem x). Então a raiz inteira pode ser um dos números:
1, 2, -1, -2
.
Substituível x = -1
:
.
Nossa, encontramos outra raiz x = -1
. Seria possível, como no primeiro passo, dividir o termo em e depois agrupar os termos:
.
Restos de Rivnyanya x 2 + 2 = 0
não há raízes ativas, então dividimos o layout do banner em multiplicadores:
.
2.
Vamos resumir as coisas em termos mais simples. Parece que está exposto na sua frente:
.
Uma fração é adicionada ao banner, multiplicada por (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1)
.
Substituível x = -1
. Todi x + 1 = 0
,
.
Diferenciação (3.1)
:
;
.
Substituível x = -1
Eu realmente espero que x + 1 = 0
:
;
;
.
Substituível em (3.1)
x = 0
:
0 = 2 A + 2 B + D;
.
Igual a (3.1)
coeficientes em x 3
:
;
1 = B + C;
.
Bem, sabíamos como decompor as frações mais simples:
.
3.
Integrado.
.
“Um matemático, assim como um artista, canta e cria criações artísticas. E porque as opiniões de um matemático são mais estáveis, sobretudo porque são compostas de ideias... As opiniões de um matemático, tal como as opiniões de um artista ou de um poeta, devem ser belas; As ideias são iguais às cores e as palavras de culpa são compartilhadas uma a uma. A beleza vem em primeiro lugar: o mundo não tem lugar para matemática feia».
G. H. Hardy
Na primeira seção foi afirmado que a primeira coisa a fazer é conseguir funções simples que não podem ser determinadas através de funções elementares. A este respeito, de grande importância prática são aquelas classes de funções sobre as quais podemos dizer precisamente que as suas funções primárias são funções elementares. Funções alcançam esta classe funções racionais, que são as relações de dois termos algébricos ricos. Antes de integrar frações racionais, forneça uma ordem rica. Portanto, é muito importante integrar tais funções.
Fração racional(ou função tiro-racional) é chamada de relação de dois termos algébricos ricos:
onde i – membros ricos.
Adivinha membro rico (polinomial, toda uma função racional) nª etapaé chamada de função
de 
– números ativos. Por exemplo,
- membro rico da primeira fase;
- membro rico da quarta etapa, etc.
O argumento racional (2.1.1) é chamado correto Se o nível for inferior ao nível, então. n<eu, em outro caso, o drible é chamado errado.
Qualquer fração irregular pode ser servida na forma de parte grande (parte inteira) e fração regular (parte fracionária). A visualização do todo e das partes do tiro de um tiro irregular pode ser realizada de acordo com a regra da parte “cortada”.
Bunda 2.1.1. Veja a fração inteira das seguintes frações racionais irregulares:
A) 
, b) 
.
Decisão . a) O algoritmo de Vikorist é dividido em um “saliência” e pode ser eliminado
Desta forma, rejeitamos
.
b) Aqui está também um algoritmo vikory em uma “solavanca”:
Como resultado, podemos rejeitar
.
Vamos trazer as bolsas. A integral não insignificante da fração racional na expressão literal pode ser detectada pela soma das integrais do termo rico e da fração racional correta. Encontrar os primeiros tipos de polinômios não é difícil. Portanto, é importante considerar frações racionais adequadas.
Entre as frações racionais regulares existem quatro tipos que se relacionam com para as frações racionais mais simples (elementares):
|
3) |
4) |
de - número inteiro, 
, então. trinômio quadrático 
não tem raízes ativas.
A integração das frações mais simples do 1º e 2º tipos não apresenta grandes dificuldades:
, (2.1.3)
. (2.1.4)
Veremos agora a integração das frações mais simples do 3º tipo, mas não veremos as frações do 4º tipo.
Vamos terminar com integrais em mente
.
Esta integral é chamada a ser calculada vendo um quadrado completo na bandeira. O resultado é uma integral tabular da seguinte forma:
se não 
.
Bunda 2.1.2. Encontre integrais:
A) 
, b) 
.
Decisão . a) Visível a partir do trinômio quadrado, o novo quadrado é:
Nós conhecemos as estrelas
b) Tendo visto o novo quadrado do trinômio quadrado, podemos remover:
De certa forma
.
Para encontrar a integral
pode ser visto na calculadora numérica pelo sinal e divisão da integral pela soma de duas integrais: a primeira por sua substituição 
atualize-se
,
e o outro - para a coisa que está sendo observada.
Bunda 2.1.3. Encontre integrais:
.
Decisão
. Querido aluno 
. Visível no número do banner:
A primeira integral é calculada usando substituição adicional 
:
A outra integral aparentemente tem um quadrado extra no sinal
Restando, podemos removê-lo
Seja o argumento racional certo 
pode ser visto em uma única ordem, observando a soma das frações mais simples. Para tanto, o banner deverá ser dividido em multiplicadores. De muita álgebra fica claro que a pele é rica em coeficientes ativos
O material contido neste tópico está contido na planilha, submetida no tópico “Frações racionais. Decomposição de frações racionais em frações elementares (mais simples)”. Eu realmente gostaria de revisar rapidamente este tópico antes de prosseguir com a leitura deste material. Além disso, precisaremos de uma tabela de integrais não valiosas.
Posso pensar em vários termos. Houve uma discussão sobre eles em um tópico separado, então compartilharei uma breve declaração aqui.
A relação de dois termos $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ é chamada de função racional ou fração racional. Um argumento racional é chamado correto iaque $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется errado.
As frações racionais elementares (mais simples) são frações racionais de quatro tipos:
Nota (para maior compreensão do texto): mostrar
O que é necessário é inteligência $p^2-4q< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.
Por exemplo, para a rotação $x^2+5x+10$ podemos eliminar: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Fragmentos $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.
Antes de falar, para efeito de verificação não é nada difícil, de modo que as probabilidades antes de $x^2$ somem 1. Por exemplo, para $5x^2+7x-3=0$ é rejeitado: $D= 7^2-4\cdot 5 \cdot (-3) = $ 109. Se $D > 0$, então a expressão $5x^2+7x-3$ pode ser decomposta em multiplicadores.
O uso de frações racionais (regulares e irregulares), bem como o uso de frações racionais podem ser aprendidos em termos elementares. Aqui estamos privados da nutrição da sua integração. Vamos terminar com a integração das frações elementares. Além disso, é difícil integrar os significados das frações elementares de vários tipos de peles, fórmulas vicorísticas mostradas abaixo. Deixe-me adivinhar que de frações integradas do tipo (2) e (4) $n=2,3,4,ldots$ são transferidos. Fórmulas (3) e (4) vimagayut vikonannya umovi $p^2-4q< 0$.
\begin(equação) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(equação) \begin(equação) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(equação) \begin(equação) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(equação)
Para $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$, substitua $t=x+\frac(p)(2)$, após a exclusão o intervalo é dividido em dois . O primeiro é calculado para a entrada adicional sob o sinal diferencial, e o outro se parece com $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Esta integral é resolvida com a ajuda da relação recorrente
\begin(equação) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)Eu_n,\; n\in N\end(equação)
O cálculo de tal integral é mostrado no Anexo nº 7 (div. terceiro).
Em geral, o algoritmo para integração de frações racionais pode ter validade consistente – é universal. Tobto. usando este algoritmo é possível integrar ser-yaku amigo racional. Também é possível que todas as substituições de mudanças em uma integral não avaliada (substituições de Euler, Chebishev, substituição trigonométrica universal) sejam realizadas com tal estrutura, de modo que após a substituição uma fração racional seja removida sob a integral. E antes disso, o algoritmo já estagnou. Analisaremos este algoritmo diretamente nas pontas, primeiro fazendo uma pequena anotação.
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$
Em princípio, esta integral é difícil de remover sem formular mecanicamente a fórmula. Se inserirmos a constante $7$ no sinal integral e escrevermos que $dx=d(x+9)$, então podemos cancelar:
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$
Para informações detalhadas, recomendo assistir ao tópico. Lá está claramente explicado como tais integrais são calculadas. Antes de falar, a fórmula é traduzida pelas próprias transformações que foram montadas neste momento no momento da finalização “à mão”.
2) Sei que existem duas maneiras: ou congelar a fórmula pronta ou ficar sem ela. Depois de formular a fórmula, descubra qual será o coeficiente antes de $x$ (número 4). Por esse motivo, vale a pena mencionar os quatro pelas armas:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\esquerda(x+\frac(19)(4)\direita)^8). $$
Agora chegou a hora de formular a fórmula:
$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\esquerda(x+\frac(19)(4) \direita)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\esquerda(x+\frac(19)(4) \direita)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \esquerda(x+\frac(19)(4) \direita )^7)+C. $$
Você pode sobreviver com a fórmula. І navegue sem vineshenny constante $4$ para os braços. Se você acredita que $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, então podemos rejeitar:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$
Explicações detalhadas de como encontrar tais integrais são fornecidas no tópico “Integração por substituição (introduzida sob o sinal diferencial)”.
3) Precisamos integrar a fração $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Esta fração tem a estrutura $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, onde $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. No entanto, para descobrir qual é a tribo elementar mais eficaz do terceiro tipo, você precisa verificar a mente viconiana $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
É a mesma bunda, mas sem o uso de fórmula pronta. Vamos tentar ver o porta-bandeira no número. O que isto significa? Sabemos que $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Devemos articular a expressão $2x+10$ no operador numérico. Por enquanto, o operador numérico só pode vingar $4x+7$, caso contrário não é necessário, é uma questão de recriação até o triturador de números:
$$ 4x+7=2cponto 2x+7=2cponto (2x+10-10)+7=2cponto(2x+10)-2cponto 10+7=2cponto(2x+10) -13. $$
Agora o processador de números tem um novo requisito: $2x+10$. E nossa integral pode ser reescrita da seguinte forma:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2xcdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$
Dividimos o integrando em dois. Bem, obviamente, ele mesmo integrou o mesmo “de duas maneiras”:
$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10)))(x^ 2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \direita)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$
Vamos falar então sobre terminar a primeira integral. sobre $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Os fragmentos $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, então na equação numérica da fração integral, o diferencial do banner é expandido. Em suma, aparentemente, substituir o viraza $( 2x +10)dx$ pode ser escrito como $d(x^2+10x+34)$.
Agora vamos dizer algumas palavras sobre outra integral. Você pode ver o novo quadrado no banner: $ x 2 + 10 x + 34 = (x + 5) 2 + 9 $. Além disso, o valor é $dx=d(x+5)$. Agora, a soma das integrais que removemos anteriormente pode ser reescrita de uma forma completamente diferente:
$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9) . $$
Se na primeira integral fizermos a substituição $u=x^2+10x+34$, então veremos $\int\frac(du)(u)$ e será fácil usar outra fórmula com . Quanto à outra integral, então para a nova usamos a substituição $u=x+5$, após a qual veremos $\int\frac(du)(u^2+9)$. Esta é a água pura, a décima primeira fórmula com a tabela de integrais sem importância. Então, voltando à soma das integrais, digamos:
$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2cpontoln(x^2+10x+34)-frac(13)(3)arctgfrac(x+5)(3)+C. $$
Rejeitamos as mesmas evidências mesmo com a fórmula estagnada, o que, afinal, não é surpreendente. Portanto, a fórmula é desenvolvida da mesma forma que usamos para determinar a integral. Respeito que um leitor respeitado possa fazer uma refeição aqui, então formularei o seguinte:
Refeição número 1
Se a integral $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$ colocar outra fórmula na tabela de integrais sem valor, podemos removê-la assim:
$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$
Por que a solução possui um módulo diário?
Feedback nº 1
A dieta é totalmente natural. O módulo é maior que $x^2+10x+34$ para qualquer $x\in R$ maior que zero. Não é nada difícil mostrar quantos caminhos existem. Por exemplo, os fragmentos $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ e $(x+5)^2 ≥ 0$, então $(x+5)^2+9 > 0 $. Você pode julgar de forma diferente, sem ver um quadrado completo. Lascas $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ para qualquer $x\in R$ (como esse garotinho lógico grita, Raja ficará maravilhado com o método gráfico de desvendar irregularidades quadradas). Se a skin tiver fragmentos $x^2+10x+34 > 0$, então $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, então. Em vez do módulo, os braços primários podem ser substituídos.
Todos os pontos do número 1 foram verificados e não posso mais escrever uma confirmação.
Vídeo:
Bunda nº 2
Encontre a integral $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.
À primeira vista, o drible pedintegral $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ é muito semelhante a um drible elementar do terceiro tipo, então. por $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Acontece que a mesma diferença é o coeficiente de $3$ antes de $x^2$, e o coeficiente é igual à desvantagem (para as armas, pagamento). No entanto, há uma semelhança. Para a fração $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ obov'yazkova є umova $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.
Nosso coeficiente antes de $x^2$ não é igual a um, então verifique a mente $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, então o Viraz $3x^2-5x-2$ pode ser dividido em multiplicadores. E isso significa que a fração $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ não é uma fração elementar do terceiro tipo, mas é reduzida à integral $\int\frac(7x+12) A fórmula (3x^2- 5x-2)dx$ não é possível.
Pois bem, como os problemas das frações racionais não são elementares, então é necessário apresentá-los como somas das frações elementares e depois integrá-los. Em suma, aparentemente, a pista é rápida. Como dividir um argumento racional em argumentos elementares está claramente escrito. Vejamos que o banner está dividido em multiplicadores:
$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(alinhado) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-sqrt(49))(2cponto 3)=frac(5-7)(6)=frac(-2)(6)=-frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \\end(alinhado)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3cpontoesquerdo(x+frac(1)(3)direita)(x-2). $$
O drible subinterno pode ser representado desta forma:
$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\esquerda(x+\frac(1)(3)\direita)(x-2)). $$
Agora vamos dividir a fração $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ em frações elementares:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+ ) \frac(1)(3)\direita)(x-2));\\\frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\esquerda(x+\frac(1) (3)\direita). $$
Para encontrar os coeficientes $A$ e $B$, existem dois métodos padrão: o método dos coeficientes insignificantes e o método da substituição de valores privados. A seguir está um método simples de substituição de valores privados introduzindo $x=2$ e, em seguida, $x=-\frac(1)(3)$:
$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\esquerda(x+\frac(1)(3)\direita).\x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\esquerda(2+\frac(1)(3)\direita); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\direita); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$
Foram encontrados fragmentos do coeficiente, não foi mais possível anotar o layout finalizado:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+frac(1)(3))+frac(frac(26)(7))(x-2). $$
Em princípio, você pode excluir esse registro, mas há uma opção mais simples que você deseja:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cponto frac(1)(x+frac(1)(3))+frac(26)(7)cdotfrac(1)(x-2). $$
Passando para a integral de saída, apresentamos a expansão para uma nova conclusão. Depois integramos a integral por dois, e até a pele estagnar a fórmula. Colocarei imediatamente as constantes atrás do sinal integral:
$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$
Vídeo: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| + frac (26) (7) cdot ln | x-2 | +C$.
Estoque nº 3
Encontre a integral $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.
Precisamos integrar a fração $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. O gerenciador de números possui um polinômio de nível diferente e o znamennik possui um polinômio de terceiro nível. Os fragmentos das etapas do polinômio para o trabalhador numérico são menores que as etapas do polinômio para o znamennik, então. US$ 2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:
$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-frac(1)(x-9). $$
Não teremos mais que dividir as tarefas da integral em três e estagnar completamente a fórmula. Colocarei imediatamente as constantes atrás do sinal integral:
$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \ int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9 |+C. $$
Vídeo: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.
A continuação da análise das candidaturas é descrita noutra parte.
Vamos continuar com a integração de frações. Já examinamos as integrais de diferentes tipos de frações na lição, e esta lição do sentido do canto pode ser importante para futuros alunos. Para entender o material com sucesso, você precisa de habilidades básicas de integração, então, como você acabou de começar a integrar integrais com uma chaleira, você precisa começar com este artigo Integral sem valor. Aplique sua decisão .
Não é surpreendente que, ao mesmo tempo, não estejamos tão preocupados com a importância das integrais como com... os viris dos sistemas níveis lineares. Em conexão com o casal descontraído Eu recomendo dar uma lição a si mesmo - você precisa ser bem versado em métodos de substituição (o método “escola” e o método de dobramento (extensão) termo a termo do sistema).
O que é uma função racional-racional? Perdoe palavras, a função tiro-racional é um tiro, o escritor de números e sinais tem termos ricos e cria polinômios. Nesse caso as frações são torcidas, inferiores às encontradas nas estatísticas Integração de tiro fracionário .
Aqui está um exemplo e um algoritmo típico para desacoplar uma integral em uma função racional fracionária.
Bunda 1
Crok 1. Primeiro, SEMPRE trabalharemos com a integral mais alta como uma função racional fracionária – isso é claro a comida está chegando: O que é correto? Este texto está claramente concluído e agora vou explicá-lo da seguinte forma:
A princípio fico maravilhado com o leitor de números e compreensivelmente estágio sênior membro rico: 
O nível sênior de um oficial numérico é antigo.
Agora fico maravilhado com o banner e entendo estágio sênior bandeira No caminho - abra os braços e traga acréscimos semelhantes, caso contrário você pode fazer de uma forma mais simples, cutâneo duzhtsi são conhecidos por serem o estágio sênior 
E os pensamentos se multiplicam: - desta forma, o nível sênior da bandeira é igual a três. É completamente óbvio que se você realmente abrir os braços, não poderemos dar mais de três passos.
Visnovok: Nível sênior de engenheiro numérico ESTRITAMENTE inferior ao nível sênior da bandeira, o que também é correto.
Neste caso, no livro numérico havia muitos termos 3, 4, 5, etc. passo, depois drib buv bi errado.
Agora somos menos capazes de ver as funções racionais de tiro corretas. É um problema, se o nível do numerador for maior ou o nível do significante, vamos dar uma olhada na lição.
Crocodilo 2 Separamos o banner em múltiplos. Ficamos maravilhados com nosso banner: 
Parecem que se esconderam, aqui já tem muita riqueza, mas, não menos, nos perguntamos: por que ainda não pode ser espalhada? O objeto da tortura, claro, é o trinômio quadrático. Parece ser totalmente igual: 
O discriminante maior que zero, então, o trinômio pode ser efetivamente decomposto em multiplicadores:
A seguinte regra: TUDO que o signatário pode dividir em multiplicadores é dividido em multiplicadores
Vamos começar a tomar decisões:
Crocodilo 3 Usando o método dos coeficientes não significativos, expandimos a função integral em uma soma de frações simples (elementares). Nina será mais sábia.
Admiramos nossa função integral: 
E, você sabe, parece haver um pensamento intuitivo de que não seria uma boa ideia transformar nossa grande amizade em um bando de pequeninos. Por exemplo, o eixo é assim: 
A comida é o problema, mas como ganhar dinheiro assim? Com facilidade, o teorema conclusivo da análise matemática é confirmado – POSSÍVEL. É assim que é apresentado e é um.
Existe apenas uma restrição, os coeficientes são Buwai Não sabemos o nome do método dos coeficientes insignificantes.
Como você adivinhou, as ruínas do corpo estão chegando, então não reaja! será direcionado a eles para que possam ser reconhecidos - para entender por que são iguais.
Seja respeitoso, vou explicar uma vez!
Bem, vamos começar a dançar assim: 
No lado esquerdo apontamos para o banner frontal:
Agora estamos seguramente removidos dos banners (porque eles cheiram mal):
O lado esquerdo está com os braços abertos, com coeficiente desconhecido para o qual ainda não encontramos:
Ao mesmo tempo, repetimos a regra escolar de multiplicar vários membros. Na minha época como professor, aprendi a entender esta regra em formas pétreas: Para multiplicar membro rico sobre membro ricoé necessário multiplicar o membro skin de um membro rico pelo membro skin de outro membro rico.
Do ponto de vista de uma explicação razoável do coeficiente, é melhor adicioná-lo aos templos (embora eu não incomode ninguém especialmente para economizar tempo):
Criamos um sistema de níveis lineares.
Desde o início podemos ouvir os passos seniores:
E fixamos os coeficientes secundários do sistema de primeiro nível:
Lembre-se bem da próxima nuance. O que teria acontecido se o lado direito não tivesse se divertido? Digamos que seria apenas exibido sem a praça da água? E aqui no sistema histórico seria necessário colocar um zero à direita: . Por que zero? E então no lado direito você sempre pode atribuir um zero a este quadrado: Como no lado direito há quaisquer alterações ou (i) termos livres, então nas partes certas dos diferentes níveis do sistema colocamos zeros.
Registramos coeficientes secundários de outro nível do sistema: 
Eu, com seiva, água mineral, selecionamos membros fortes.
Eh, ... agora estou pegando fogo. Zharti geti - a matemática é uma ciência séria. No nosso grupo do instituto, ninguém riu quando a professora assistente disse que estava espalhando os membros reta numérica E selecione os maiores. Vamos levar as coisas a sério. Mesmo que você viva para ver o final da lição, você ainda rirá baixinho.
O sistema está pronto:
Vírus no sistema: 
(1) O primeiro nível é expresso e apresentado ao 2º e 3º nível do sistema. Na verdade, poderia ser entendido (ou para outro escritor) da outra categoria, mas neste caso pode ser visto a partir da própria 1ª categoria, os fragmentos ali coeficientes mais baixos.
(2) Adições semelhantes estão sendo feitas nas 2ª e 3ª posições.
(3) As 2ª e 3ª categorias são formadas em termos de termos, por meio dos quais, zelo otderzhayuschie, a partir do qual vemos que
(4) Apresentamos outro (ou um terceiro) igual, sabemos que
(5) Substituído e primeiro igual, subtraível.
Se você tiver dificuldades com os métodos do sistema superior, pratique-os em sala de aula Como desencadear o sistema de classificações lineares?
Após atualizar o sistema, é necessário realizar primeiro uma verificação – inserir os valores encontrados na pele No nível do sistema, como resultado, tudo pode se encaixar.
Mayzhe chegou. Os coeficientes foram encontrados e: 
O projeto final do edifício pode ser mais ou menos assim:
Como se vê, o principal problema da administração era consolidar (corretamente!) e alinhar (corretamente!) o sistema de classificações lineares. E na fase final nem tudo é tão complicado: o poder da linearidade da integral não assinada é vitorioso e integrado. Compreendo que sob a pele das três integrais temos uma função complexa “livre”, sobre as peculiaridades de sua integração aprendo em aula Método para substituir uma variável em uma integral não identificada .
Verificação: Diferenciação:
A função integral de saída foi removida e a integral foi encontrada corretamente.
Durante a nova verificação, tive a chance de alcançar a bandeira adormecida, mas isso não aconteceu. O método dos coeficientes insignificantes e da redução do vírus ao sinal final é sem reversão mútua.
Bunda 2
Encontre a integral sem valor. 
Vamos voltar ao tiro da primeira bunda: 
. Não é importante ressaltar que no banner todos os múltiplos são RIZNI. A culpa é da comida, mas o que fazer, como na Dinamarca, por exemplo, é algo assim: 
? Aqui temos um passo para o bannerman, caso contrário, matematicamente múltiplos. Além disso, existe um trinômio quadrático que não pode ser expandido em multiplicadores (é fácil de converter, então o discriminante é igual a 
negativo, portanto não há como classificá-los em multiplicadores de trinômios). O que é tímido? O layout da soma das frações elementares é visível na mesa 
com probabilidades desconhecidas no incêndio, e se for diferente?
Bunda 3
Revele a função 
Crok 1. Vamos verificar se temos o caminho certo
Nível de número sênior: 2
Nível de banner sênior: 8
Bem, isso está correto.
Crocodilo 2É possível dividir o banner em multiplicadores? Obviamente, nem tudo está definido ainda. O trinômio quadrado não se expande em sólidos por uma série de razões. Capuz. Os robôs são menores.
Crocodilo 3 Apresentamos a função racional de tiro na forma de uma soma de frações elementares.
Neste caso, o layout fica assim:
Ficamos maravilhados com nosso banner:
Ao expandir a função racional de tiro para a soma das frações elementares, três pontos importantes podem ser mencionados:
1) Se no banner houver um multiplicador “autossuficiente” na primeira etapa (na nossa divisão), então colocamos um coeficiente insignificante (na nossa divisão). As pontas nº 1 e 2 foram formadas com menos frequência para esses múltiplos “solitários”.
2) Qual é a bandeira? múltiplo multiplicador, então você precisa organizá-lo assim: 
– passar sequencialmente por todos os passos de “X” do primeiro ao próximo passo. Nosso exemplo tem dois múltiplos: e dê uma outra olhada no layout que desenhei e veja o que está disposto de acordo com esta regra.
3) Se o denominador conhece um polinômio inexpansível de outro grau (no caso de ), então quando expandido no livro de números, é necessário escrever uma função linear com coeficientes sem importância (no caso de coeficientes sem importância eu ).
Na verdade, ainda há um 4º episódio, mas vou esquecer esse, pois na prática os fragmentos raramente se juntam.
Bunda 4
Revele a função 
Parece uma soma de frações elementares com coeficientes desconhecidos.
Este é um exemplo de decisão independente. Acima de tudo, há uma solução e uma conclusão para a lição.
Siga o algoritmo rigorosamente!
Depois de descobrir quais princípios são necessários para colocar a função racional fracionária em um saco, você poderá gerar quase qualquer integral do tipo que está sendo examinado.
Bunda 5
Encontre a integral sem valor. 
Crok 1.É óbvio que o seguinte está correto:
Crocodilo 2É possível dividir o banner em multiplicadores? É possível, talvez. Há muitos cubos aqui 
. Dividimos o banner em multiplicadores, usando a fórmula Vikorist para multiplicação curta
Crocodilo 3 Usando o método dos coeficientes não significativos, decompomos a função integral na soma das frações elementares:
Lembre-se que o termo rico não pode ser decomposto em multiplicadores (inverso que o discriminante é negativo), por isso colocamos uma função linear com coeficientes desconhecidos, e não apenas uma letra.
Vamos apontar para o banner final:
O sistema é empilhável e verificável:
(1) O primeiro nível é expresso e apresentado no outro nível do sistema (da forma mais eficiente).
(2) Adições semelhantes são feitas a outro parente.
(3) O outro terceiro nível do sistema é formado membro por membro.
Todos os desenvolvimentos posteriores, em princípio, adormecem e, como resultado, o sistema fica desajeitado. 
(1) Escreva a soma das frações até encontrar os coeficientes.
(2) O poder de linearidade da integral não valorizada de Vikorist. O que aconteceu com a outra integral? Você pode descobrir mais sobre esse método no parágrafo restante da lição. Integração de tiro fracionário .
(3) Mais uma vez o poder vitorioso do lineismo. A terceira integral começa a ver um novo quadrado (fornecido no parágrafo da lição Integração de tiro fracionário ).
(4) Tomamos outra integral, a terceira tem um novo quadrado.
(5) Tomamos a terceira integral. Preparar.
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