O método de variação é bastante constante, e o método de Lagrange é outra maneira de desenvolver equações diferenciais lineares de primeira ordem e de Bernoulli.
Alinhamento diferencial linear de primeira ordem - igual à forma y + p (x) y = q (x). Como o lado direito deve ser zero: y'+p(x)y=0, ce é linear uniformemente igual a 1ª ordem. Obviamente, igual à parte direita diferente de zero, y'+p(x)y=q(x), heterogêneo alinhamento linear de 1ª ordem.
Método de variação de bastante constante (método de Lagrange) polygaє na ofensiva:
1) É possível resolver a equalização homogênea y+p(x)y=0: y=y*.
2) Na solução final, Z é importante não como constante, mas como função em xu: C \u003d C (x). Sabe-se que existe uma solução nítida (y *) 'e na mente da mente é possível subtrair viraz para y * e (y *)'. Da igualdade tomada, conhecemos a função (x).
3) Em uma solução global de uma igualdade homogênea, o conhecimento de C(x) virases é apresentado.
Vamos dar uma olhada mais de perto no método de variação da constante constante. Vіzmemo y você mesmo zavdannya, scho y u povnyaєmo hіd dіshennya і perekonaєmosya, scho otmanі vіdpovіdі zbіgayutsya.
1) y'=3x-y/x
Vamos reescrever o nível da aparência padrão (com base no método de Bernoulli, precisamos anotar a forma da bula apenas para isso, schobachit, que o nível é linear).
y'+y/x=3x (I). Agora diemo atrás do plano.
1) É absolutamente uniforme y+y/x=0. O preço é igual às mudanças que são divididas. Representamos y'=dy/dx, representamos: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Ofensas de paridade são multiplicadas por dx e divisíveis por xy≠0: dy/y=-dx/x. Integrável:
2) Na solução onipotente de igualdade homogênea, C é levado em conta não por uma constante, mas por uma função como x: C=C(x). Zvіdsi
Otrimanі virazi podstavlyaєmo para mente (I):
Integrando insultos a partes de igualdade:
aqui C já é uma nova constante.
3) Na solução final do alinhamento homogêneo y=C/x, demi levou em conta C=C(x), então y=C(x)/x, ao invés de C(x), representamos o conhecimento de viraz x³+C: y=(x³ + C)/x ou y=x²+C/x. Eles pegaram o mesmo vіdpovіd, como e pіd hоvіshennya pelo método de Bernoulli.
Sugestão: y=x²+C/x.
2) y'+y=cosx.
Aqui o nível já está registrado no visual padrão, não é necessário alterá-lo.
1) Variando uniformemente o alinhamento linear y'+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Integrável:
Para ter uma melhor forma de entrada, o expositor no mundo C é aceito como novo:
Tse pereprechennya vykonali, schob sabe melhor pokhіdnu.
2) Na solução onipotente do alinhamento linear homogêneo, C é importante não como constante, mas como função de x: C = C(x). Para qєї lavar
Otrimanі virazi y e y' é representado como mente:
Vamos multiplicar as partes machucadas do ciúme por
Integrando as partes insultantes igual à fórmula para integrar as partes, tomamos:
Aqui não é uma função, mas uma constante constante.
3) No final da mesma linha
Substituindo a função encontrada С(x):
Eles pegaram o mesmo vіdpovіd, como e pіd hоvіshennya pelo método de Bernoulli.
O método de variação é bastante constante e estagnado para cereja.
y'x+y=-xy².
Alinhado ao visual padrão: y+i/x=-y² (II).
1) É absolutamente uniforme y+y/x=0. dy/dx=-y/x. Multiplique as partes ofensivas da igualdade por dx e divida por y: dy/y=-dx/x. Agora integrável:
Submeter-se a tirar o virazi para a mente (II):
Digamos apenas:
Tiramos a equalização da mudança de dinheiro C і x:
Aqui C já é uma constante. No processo de integração, eles escreveram zam_st (x) simplesmente Z, para não alterar o registro. E, por exemplo, eles se voltaram para C (x), para não desviar C (x) do novo C.
3) Para a solução final do alinhamento uniforme y=C(x)/x, a função С(x) pode ser encontrada:
Tiraram a mesma conclusão que no caso da execução pelo método de Bernoulli.
Solicite a autoverificação:
1. Vamos reescrever os iguais da aparência padrão: y'-2y = x.
1) Divergimos uniformemente y'-2y = 0. y'=dy/dx, estrelas dy/dx=2y, multiplicamos o deslocamento das partes iguais por dx, divisível por y e integrável:
Zvіdsi conhecido y:
Virazi para y e y' é representado na mente (para o estilo de vida, C substitui C (x) e C' substitui C "(x)):
Para o valor da integral na parte direita, usamos a fórmula de integração por partes:
Agora substituímos u, du e v y pela fórmula:
Aqui Z = const.
3) Agora é apresentado no topo do mesmo
Vamos dar uma olhada na equalização diferencial linear não homogênea de primeira ordem:
(1)
.
Existem três maneiras de desatar este igual:
Vejamos a solução do alinhamento diferencial linear do primeiro traste pelo método de Lagrange.
O método de variação pós-estudo é evidentemente igual em duas etapas. No primeiro estágio, podemos ver facilmente se é igual e se é mais ou menos igual. Do outro lado do palco, substituiremos a pós-integração, a eliminação do primeiro estágio da solução, na função. Afinal, é uma decisão vergonhosa do fim de semana.
Vejamos o alinhamento:
(1)
Solução Shukaєmo de alinhamento uniforme:
O preço é igual às mudanças que são divididas
Divida a mudança - multiplique por dx, divida por y:
Integrável:
Integral sobre y-tabular:
todi
Potencialmente:
Substitua a constante e C por C e retire o sinal do módulo, que pode ser multiplicado pela constante ±1, yaku é inclusivo em C:
Agora vamos substituir a constante C pela função x:
c → você (x)
Tobto, decisão shukatimemo do fim de semana (1)
à vista:
(2)
Nós sabemos que eu irei.
De acordo com a regra de diferenciação de funções de dobragem:
.
Por trás da regra de diferenciação está a criação:
.
Apresentado no fim de semana (1)
:
(1)
;
.
Dois paus correm:
;
.
Integrável:
.
Apresentado em (2)
:
.
Como resultado, resolvemos obsessivamente a equação diferencial linear de primeira ordem:
.
Virishuemo uniformemente igual:
Partilhamos as alterações:
Vamos multiplicar por:
Integrável:
Integrais de tabela:
Potencialmente:
Substitua e C por C e remova os sinais do módulo:
Zvіdsi:
Vamos substituir a constante C pela função x:
c → você (x)
Nós sabemos que eu vou:
.
Apresentado na saída é igual:
;
;
Abo:
;
.
Integrável:
;
Virishennya rivnyannia:
.
Método de variação de prevіlnyh rápido
a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = f(t)
polagaє na substituição do jejum prevіlnyh c k para uma solução profunda
z(t) = c 1 z 1 (t) + c 2 z 2 (t) + ... + c n z n (t)
alinhamento uniforme uniforme
a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = 0
para funções adicionais c k (t) , semelhantes aos que satisfazem os sistemas lineares de álgebra
O designador do sistema (1) são as funções wronskianas z 1 ,z 2 ,...,z n .
Como é o primeiro para , tomado ao fixar valores constantes de integração, então a função
є soluções de alinhamento diferencial linear não homogêneo externo. A integração de uma equivalência heterogênea para a manifestação de um rozvyazannya selvagem de uma equivalência uniforme semelhante é feita, em tal classificação, para quadraturas.
jurar por uma decisão privada (1) olhando
de Z(t) - a base da expansão do alinhamento uniforme uniforme, as entradas da matriz visual, e a função vetorial, que substituiu o vetor dos anteriores, é atribuída ao alinhamento. Solução privada Shukane (com valores cob zero em t = t 0 pode parecer
Para um sistema com coeficientes constantes, o viraz restante será perguntado:
matriz Z(t)Z− 1 (τ) chamado matriz Cauchy operador eu = A(t) .
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