बर्यापैकी स्थिर भिन्नतेची पद्धत किंवा लॅग्रेंज पद्धत ही प्रथम श्रेणीतील रेखीय विभेदक समीकरणे आणि बर्नौली समीकरणे उलगडण्याचा आणखी एक मार्ग आहे.
पहिल्या क्रमाची रेखीय विभेदक समीकरणे y + p (x) y = q (x) या स्वरूपाच्या समान आहेत. उजवी बाजू शून्य असल्याने: y'+p(x)y=0, ce रेखीय आहे त्याच वेळी 1ल्या ऑर्डरची प्रतिस्पर्धी. वरवर पाहता, समीकरणात शून्य नसलेली उजवी बाजू आहे, y'+p(x)y=q(x), एकापेक्षा जास्त वेळा 1ल्या क्रमाचे रेखीय समीकरण.
बर्यापैकी स्थिर भिन्नतेची पद्धत (लॅग्रेंज पद्धत) आक्षेपार्ह मध्ये lies:
1) हे एकसंध समीकरण y+p(x)y=0: y=y* साठी छुपे समाधान आहे असे दिसते.
2) हलाल सोल्युशनमध्ये, Z हे स्थिरांक म्हणून नाही तर x च्या रूपात कार्य म्हणून महत्वाचे आहे: C = C (x). आपल्याला zagal सोल्युशन (y*)'चा दृष्टीकोन माहित आहे आणि cob mind मध्ये आपण y* आणि (y*)' साठी अभिव्यक्ती सादर करतो. समीकरण काढून आपण फंक्शन (x) शोधू शकतो.
3) एकसंध समीकरणाच्या गुप्त सोल्युशनमध्ये, C(x) विषाणूची जागा बदलली जाते.
बर्यापैकी स्थिर भिन्नतेची पद्धत पाहू. चला तीच कार्ये घेऊया जी सोल्यूशनच्या प्रगतीच्या समान आहेत आणि रूपांतरित केली जात आहेत, जेणेकरून निष्कर्ष टाळले जातील.
1) y'=3x-y/x
चला मानक फॉर्ममध्ये समीकरण पुन्हा लिहू (बर्नौली पद्धती व्यतिरिक्त, जेथे समीकरण रेषीय असल्याची खात्री करण्यासाठी आम्हाला नोटेशन फॉर्मची आवश्यकता होती).
y'+y/x=3x (I). आता नियोजन करण्याची वेळ आली आहे.
1) हे समीकरण y+y/x=0 असण्याची शक्यता आहे. समारंभ समान आहेत जे विभक्त आहेत. y'=dy/dx द्वारे दर्शविण्यायोग्य, द्वारे प्रस्तुत: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. दोन भाग dx ने गुणाकार आणि xy≠0 ने भागले: dy/y=-dx/x. समाकलित:
2) एकसंध समीकरणाच्या अंतिम सोल्युशनमध्ये, C हे स्थिरांक म्हणून नाही तर x चे कार्य म्हणून महत्वाचे आहे: C=C(x). Zvidsi
मनासाठी ऑट्रिमनी व्‍याराझी सादर केले आहे (I):
आम्ही समीकरणाचे आक्षेपार्ह भाग एकत्रित करतो:
येथे C आधीच नवीन स्थिरांक आहे.
3) त्याच समीकरणाच्या अंतिम निर्णयामध्ये, y=C/x, जिथे आपण C=C(x) विचारात घेतले, नंतर y=C(x)/x, C(x) ऐवजी आपण x³ ही अभिव्यक्ती दर्शवतो. +C: y=(x³ + C)/x किंवा y=x²+C/x. भूतकाळातील बर्नौली पद्धतीचा वापर करून समान पुरावे मिळवले गेले.
आवृत्ती: y=x²+C/x.
२) y'+y=cosx.
येथे समीकरण आधीपासूनच मानक दृश्यात लिहिलेले आहे, ते पुन्हा तयार करण्याची आवश्यकता नाही.
1) रेखीय संरेखन y'+y=0 असण्याची शक्यता आहे: dy/dx=-y; dy/y=-dx. समाकलित:
प्रवेशाचा अधिक मॅन्युअल प्रकार तयार करण्यासाठी, जगातील प्रदर्शक हे नवीन म्हणून स्वीकारतील:
जाण्यासाठी मार्ग शोधणे सोपे करण्यासाठी हे पुन्हा तयार केले गेले आहे.
2) रेखीय एकसंध समीकरणाच्या मूळ सोल्युशनमध्ये, C हा स्थिरांक म्हणून नव्हे तर x चे कार्य म्हणून वापरणे महत्वाचे आहे: C = C(x). या कारणास्तव
आम्ही मनासाठी y आणि y' शब्द काढतो:
समान भागांची नाराजी गुणाकार करूया
आम्ही आक्षेपार्ह भाग समाकलित करतो, भागांद्वारे एकत्रीकरणाच्या सूत्राचे अनुसरण करून, आम्ही निष्कर्ष काढतो:
येथे ते यापुढे फंक्शन नाही तर प्राथमिक स्थिरांक आहे.
3) गुप्त समाधानाचा एकसमान संबंध आहे
आम्ही सापडलेले फंक्शन C(x) बदलतो:
भूतकाळातील बर्नौली पद्धतीचा वापर करून समान पुरावे मिळवले गेले.
भिन्नतेची पद्धत पुरेशी स्थिर आणि सुधारणेसाठी आहे.
y'x+y=-xy².
आम्ही समीकरण मानक स्वरूपावर आणतो: y+i/x=-y² (II).
1) हे समीकरण y+y/x=0 असण्याची शक्यता आहे. dy/dx=-y/x. आम्ही dx च्या समान भागांचा गुणाकार करतो आणि y ने भागतो: dy/y=-dx/x. आता समाकलनीय:
चला कल्पना करूया की अभिव्यक्ती काढून टाकली आहेत (II):
चला विचारूया:
आम्ही बदल schodo C आणि x पासून समान उपाय केले:
येथे C आधीपासूनच प्राथमिक स्थिरांक आहे. एकत्रीकरण प्रक्रियेत, रेकॉर्ड ओव्हरराइड होऊ नये म्हणून त्यांनी बदली (x) फक्त Z लिहिली. आणि उदाहरणार्थ, ते C(x) कडे वळले, जेणेकरून C(x) चा नवीन C सह गोंधळ होऊ नये.
3) y=C(x)/x या एकसंध समीकरणाच्या अंतिम सोल्युशनमध्ये, आपण C(x) हे आढळलेले कार्य दर्शवतो:
बर्नौलीच्या प्रगत पद्धतीचा वापर करून हाच पुरावा मिळवण्यात आला.
स्व-तपासणीसाठी बटस्टॉक:
1. चला समीकरण मानक स्वरूपात पुन्हा लिहू: y'-2y = x.
1) बहुधा समीकरण y'-2y = 0 आहे. y'=dy/dx, dy/dx=2y वरून, समान भागांचा dx ने गुणाकार करणे, y ने भागणे आणि एकत्र करणे:
आम्हाला माहित आहे:
y आणि y' साठी अभिव्यक्ती मनात बदलली जातात (व्यवहार्यता C प्रतिस्थापन C(x) आणि C' प्रतिस्थापन C"(x)):
उजव्या बाजूचा अविभाज्य भाग शोधण्यासाठी, आम्ही भागांद्वारे एकत्रीकरणासाठी सूत्र वापरतो:
आता आपण u, du आणि v y ला सूत्राने बदलतो:
येथे Z = const.
3) आता आपण एकसंध च्या शिरोबिंदूला बदलू
पहिल्या क्रमाच्या रेखीय विषम विभेदक समीकरणावर एक नजर टाकूया:
(1)
.
ही मत्सर दूर करण्याचे तीन मार्ग आहेत:
Lagrange पद्धत वापरून पहिल्या fret च्या रेखीय विभेदक पातळीचे समाधान पाहू.
स्थिर भिन्नतेची पद्धत दोन टप्प्यांत पार पाडली जाण्याची शक्यता आहे. पहिल्या टप्प्यावर, आपण आउटपुट समान आणि बहुधा समान दिसेल. स्टेजच्या दुसऱ्या टोकाला, आम्ही पहिल्या निर्णयाच्या टप्प्यापासून, फंक्शनसह स्थिर एकत्रीकरण बदलतो. यानंतर अंतिम एक्झिट करण्याचा छुपा निर्णय घेतल्यासारखे वाटते.
ईर्ष्याकडे एक नजर टाकूया:
(1)
आपण त्याच प्रश्नाचे समाधान पाहू शकतो:
समारंभ आणि बदल की वेगळे
आम्ही व्हेरिएबल्स विभाजित करतो - dx ने गुणाकार करा, y ने भागा:
समाकलित:
y-सारणीवर अविभाज्य:
तोडी
संभाव्य:
स्थिरांक e C ला C ने बदला आणि मॉड्यूलसचे चिन्ह घ्या, ज्याचा स्थिरांकाने गुणाकार केला जातो. ±1, जे C मध्ये समाविष्ट आहे:
आता स्थिर C ला फंक्शन x ने बदलू.
C → u (x)
म्हणून, आम्ही आठवड्याच्या शेवटी भेट देण्याचा निर्णय शोधत आहोत (1)
एका दृष्टीक्षेपात:
(2)
आम्हाला माहित आहे की मी जाणार आहे.
फोल्डिंग फंक्शनच्या भिन्नतेच्या नियमाचे अनुसरण करा:
.
सर्जनशीलतेमध्ये फरक करण्याच्या नियमाचे अनुसरण करा:
.
आठवड्याच्या शेवटी सादर केले (1)
:
(1)
;
.
दोन सदस्य पटकन भेटतात:
;
.
समाकलित:
.
मध्ये सादर केले (2)
:
.
परिणामी, पहिल्या क्रमाच्या रेखीय विभेदक समीकरणावर एक आकर्षक समाधान आहे:
.
असे दिसते:
आम्ही खालील सामायिक करतो:
याने गुणाकार करा:
समाकलित:
टेबल इंटिग्रल्स:
संभाव्य:
स्थिर e C ला C ने बदला आणि मॉड्यूलस चिन्हे जोडा:
तारा:
फंक्शन x सह स्थिर C पुनर्स्थित करा:
C → u (x)
आम्हाला माहित आहे, चला जाऊया:
.
निर्गमन स्तरावर सादर केले:
;
;
Abo:
;
.
समाकलित:
;
सद्गुरु प्रतिद्वंद्वी:
.
दीर्घकालीन स्थिरांकांच्या फरकाची पद्धत
a n (ट)z (n) (ट) + a n − 1 (ट)z (n − 1) (ट) + ... + a 1 (ट)z"(ट) + a 0 (ट)z(ट) = f(ट)
आणखी कायमस्वरूपी बदलण्याच्या प्रक्रियेत आहे c kठरवले आहे
z(ट) = c 1 z 1 (ट) + c 2 z 2 (ट) + ... + c n z n (ट)
एकसमान एकसमान पातळी
a n (ट)z (n) (ट) + a n − 1 (ट)z (n − 1) (ट) + ... + a 1 (ट)z"(ट) + a 0 (ट)z(ट) = 0
अतिरिक्त कार्यांवर c k (ट) , जे बीजगणिताच्या रेखीय प्रणालीचे समाधान करते
प्रणालीचे प्राथमिक कार्य (1) Wronskian कार्य आहे z 1 ,z 2 ,...,z n , जे दोन दरम्यान एक अस्पष्ट फरक सुनिश्चित करेल.
ते प्राथमिक असल्याने, स्थिर एकीकरण मूल्ये निश्चित करताना घेतले जाते, नंतर फंक्शन
आउटपुट नॉन-एकसंध रेखीय विभेदक समानीकरणासाठी उपाय. अशा प्रकारे समान एकसंध नातेसंबंधासह छुपे नातेसंबंधाच्या पुराव्यासाठी विषम संबंधांचे एकत्रीकरण चतुर्भुजांमध्ये कमी केले जाते.
खाजगी निर्णयाच्या विनंतीनुसार (1) दृश्यात
डी झेड(ट) - एका विशिष्ट एकसंध समीकरणाच्या जोडणीचा आधार, मॅट्रिक्सच्या रूपातील नोंदी आणि वेक्टर फंक्शन, ज्याने अधिक स्थिरांकांच्या वेक्टरची जागा घेतली आहे, संबंधांना नियुक्त केले आहे. शुकन खाजगी निर्णय (शून्य कॉब मूल्यांसह येथे ट = ट 0 पाहू शकतो
स्थिर गुणांक असलेल्या सिस्टमसाठी, उर्वरित व्हायरस निरोप देईल:
मॅट्रिक्स झेड(ट)झेड− 1 (τ)म्हणतात कॉची मॅट्रिक्सऑपरेटर एल = ए(ट) .
विकिमीडिया फाउंडेशन. 2010.
