Üst üste binen 2 yüzey vardır ve bu yüzeydir. İki düzlemin karşılıklı düzenlenmesi

Bu bölümde doğrudan uzay ile stereometrinin konumu arasında devam eden bir ilişki vardır. Bu, önemsiz bir uzayda düz bir çizgiyi iki düzlem arasında bir çizgi olarak gördüğümüz anlamına gelir.

Stereometri aksiyomlarına göre, iki düzlem kesişmediği ve ortak bir noktayı tanımlamadığı için, iki düzlem için ortak olan tüm noktaların üzerinde bulunduğu ortak bir düz çizgiyi de işaretlerler. Üst üste binen iki düzlemin vikoristik hizalaması, dikdörtgen bir koordinat sisteminde düz bir çizgi belirleyebiliriz.

Bu arada, malzemenin tam olarak anlaşılmasını gerektiren çok sayıda örneğe, bir dizi grafik illüstrasyona ve hararetli çözümlere bakacağım.

Birbirine çarpmayan ve kaymayan iki düzlem olsun. Alan ve alan olarak önemlidirler. Önemsiz uzayın O x y z dikdörtgen koordinat sistemine yerleştirilebilir.

Hatırladığımız gibi doğrusal koordinat sisteminde alan şu şekilde belirtilir: galle rivnyannya A x + B y + C z + D = 0 formundaki düzlem. α düzleminin A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 seviyesi ve β düzlemi ile gösterilmesi önemlidir. A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 düzeyiyle gösterilir. Bu durumda, α ve β n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) і n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) düzlemlerinin normal vektörleri eşdoğrusal değildir, çünkü düzlemler doğrusal değildir. birbirine paralel olarak bire bir koşun. Qiu Umov'u şu şekilde yazalım:

n 1 → ≠ λ n 2 → ⇔ Bir 1 , B 1 , C 1 ≠ λ Bir 2 , λ B 2 , λ C 2 , λ ∈ R

“Uçakların paralelliği” konusundaki materyalle ilgili hafızanızı tazelemek için web sitemizin ilgili bölümüne bakın.

Dairelerin travers çizgisi harfle belirtilir A . Tobto. a = α ∩ β. Bu düz çizgi, hem α hem de β düzlemleri için ortak olan anlamsız bir noktadır. Bu, bir düz çizginin tüm noktalarının A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 ve A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 alanının her iki seviyesini de karşıladığı anlamına gelir. Aslında koku, A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 seviye sisteminin özel kararlarıdır.

Sistemin perde arkası çözümleri doğrusal seviyeler A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, arkasında iki çapraz çubuğun bulunduğu çizginin tüm noktalarının koordinatları anlamına gelir α ve β düzlemleri. Bu, bu ek yardımla O x y z doğrudan dikdörtgen koordinat sisteminin konumunu belirleyebileceğimiz anlamına gelir.

Şimdi belirli bir uygulama üzerinde açıklanan teoriye bir kez daha bakalım.

popo 1

Düz O x – bu düzdür, bu şekilde karıştırılır koordinat düzlemleri O xy ve O x z. O x y alanını z = 0 satırlarına ve O x z alanını y = 0 satırlarına ayarlayalım. Bu yaklaşımı “Yeraltı Yüzeyleri” bölümünde geniş bir şekilde ele aldık ancak zorlandığınızda bu malzemeye tekrar dönebilirsiniz. Bu durumda, O x koordinat çizgisi önemsiz bir koordinat sisteminde y = 0 z = 0 formundaki iki seviyeli bir sistem tarafından belirlenir.

Düzlemlerin kesiştiği doğru üzerinde bulunan bir noktanın koordinatlarını bulma

Gelin mekana bir göz atalım. Önemsiz uzaya O x y z doğrusal koordinat sistemi verilsin. İki düzlemin iç içe geçtiği çizgi, A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 hizalama sistemi tarafından belirlenir. Önemsiz uzayda M 0 x 0, y 0, z 0'da bir nokta verildiğinde.

M 0 x 0 , y 0 , z 0 noktasının verilen düz çizgi üzerinde nerede bulunduğunu bulalım A .

Beslenme görevine yanıt verebilmek için cilde yakın M 0 noktasının koordinatlarını iki yüzey seviyesiyle değiştiriyoruz. Kızgınlığın ikamesi sonucunda denklem doğru eşitliğe dönüştürülür: A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0 ve A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D 2 = 0 ise M 0 noktası düzlemlerin dış yüzeyinde bulunur ve belirtilen çizgide bulunur. A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0 ve A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D 2 = 0 eşitliklerinden birinin yanlış görünmesini istiyorsanız, bu durumda M0 noktası düz bir çizgi üzerinde değildir.

Popo çözümüne bir göz atalım

popo 2

Düz bir çizgi, uzayda üst üste binen iki düzlemin düzeyleriyle 2 x + 3 y + 1 = 0 x - 2 y + z - 3 = 0 biçiminde tanımlanır. Bu, M 0 (1, - 1, 0) ve N 0 (0, - 1 3, 1) noktalarının düzlemlerin düz çizgisi üzerinde olduğu anlamına gelir.

Karar

M0 noktasından itibaren bulalım. Bu koordinatları 2 · 1 + 3 · (-1) + 1 = 0 1 - 2 · (- 1) + 0 - 3 = 0 ⇔ 0 = 0 0 = 0 sisteminde yerine koyalım.

Değiştirme sonucunda gerçek eşitlikler elde ettik. Bu, M 0 noktasının her iki düzlemde de yer aldığı ve bunların çapraz çubuklarının çizgisi boyunca çizildiği anlamına gelir.

N 0 noktasının koordinat düzleminin seviyesini yerine koyalım (0, - 1 3, 1). 2 · 0 + 3 · - 1 3 + 1 = 0 0 - 2 · - 1 3 + 1 - 3 = 0 ⇔ 0 = 0 - 1 1 3 = 0'ı ortadan kaldırın.

Gördüğünüz gibi sistemin diğer kıskançlığı yanlış kıskançlığa dönüştü. Bu, N 0 noktasının verilen düz çizgi üzerinde olmadığı anlamına gelir.

Ders: M 0 noktası düz bir çizgi üzerinde yer almalı, ancak N 0 noktası olmamalıdır.

Şimdi size düz bir çizgi üzerinde yer alan belirli bir noktanın koordinatlarını bulmak için bir algoritma sunuyoruz, çünkü O x y z dikdörtgen koordinat sisteminde uzaydaki düz bir çizgi, A 1 x + B 1 ile örtüşen düzlemlerin seviyeleri ile gösterilir. y + C 1 z + D 1 = 0 A 2x+ B 2 y + C 2 z + D 2 = 0.

Sistemdeki iki doğrusal seviyeden bilinmeyene kadar bağlantı sayısı A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 sonsuzdur. Bu kararlara bakılmaksızın görev çözülebilir.

Kıçı işaret edelim.

popo 3

Önemsiz genişliğe, x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 biçiminde kesişen iki düzlemin hizalanmasıyla düz bir çizgi verilsin. Doğru üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatlarını bulun.

Karar

x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 ⇔ x + 0 y + 3 z = - 7 2 x + 3 y + 3 z = -2 sistemini yeniden yazalım.

1 0 2 3 = 3 ≠ 0 sisteminin ana matrisinin temel minörü olarak farklı bir mertebeden sıfırın minörünü alalım. Tse şu anlama geliyor z - Tamamen bilinmeyen bir değişiklik var.

Bilinmeyen değişimin intikamını alacak eklemeleri safların sağ tarafına aktaracağız:

x + 0 y + 3 z = - 7 2 x + 3 y + 3 z = - 2 ⇔ x + 0 y = - 7 - 3 z 2 x + 3 y = - 2 - 3 z

Geçerli bir sayı girin ve z = olduğunu kabul edin.

O halde x + 0 y = - 7 - 3 z 2 x + 3 y = - 2 - 3 z ⇔ x + 0 y = - 7 - 3 λ 2 x + 3 y = - 2 - 3 λ.

Denklem sisteminin en yüksek seviyesini elde etmek için Cramer yöntemini kullanırız:

∆ = 1 0 2 3 = 1 3 - 0 1 = 2 ∆ x = - 7 - 3 λ 0 - - 3 λ 3 = - 7 - 3 λ 3 - 0 (- 2 - 3 λ) = 21 - 9 λ ⇒ x = ∆ x ∆ = - 7 - 3 λ ∆ y = 1 - 7 - 3 λ 2 - 2 - 3 λ = 1 · - 2 - 3 λ - - 7 - 3 λ = 12 + 3 λ ⇒ y = ∆ y ∆ = 4 + λ

Zagalne rishennya sistemy rivnyan x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 matime viglyad x = - 7 - 3 λ y = 4 + λ z = λ, de λ ∈ R.

Hizalama sisteminin özel bağlantısını oluşturmak için, hatta atanacak noktanın koordinatlarını bize verebilmek için parametrenin belirli değerlerini almamız gerekiyor. λ = 0 ise x = - 7 - 3 0 y = 4 + 0 z = 0 ⇔ x = - 7 y = 4 z = 0.

Bu, seçilen noktanın koordinatlarını (7, 4, 0) seçmenizi sağlar.

Bir noktanın bulunan koordinatlarının doğruluğunu, bunları örtüşen iki düzlemin çıktı düzeyinde değiştirerek doğrulayabiliriz - 7 + 3 0 + 7 = 0 2 (- 7) + 3 4 + 3 0 + 2 = 0 ⇔ 0 = 0 0 = 0 .

Vіdpovid: - 7 , 4 , 0

Doğrudan vektör, iki düzlemin kesiştiği düzdür

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 ve A 2 x + ile kesişen iki düzlemin hizalamalarıyla verilen bir çizginin doğrudan vektörünün koordinatlarının nasıl belirleneceğine bir göz atalım. B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Dikdörtgen koordinat sistemi 0xz'de doğrudan vektör düz bir çizgi değildir.

Bildiğimiz gibi, bir düz çizgi, belirli bir düzlemde yer alan herhangi bir düz çizgiye dik ise o doğrultudaki bir düzleme diktir. Söylenenlerden yola çıkarak, bir düzlemin normal vektörü, bu düzlemin yakınında bulunan sıfırdan farklı herhangi bir vektöre diktir. Bu iki gerçek doğrudan vektörü bulmamıza yardımcı olacaktır.

α ve β düzlemleri çizgi boyunca hareket eder A . Doğrudan vektör a → düz çizgi A A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 alanının normal vektörü n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) ve normal vektörü n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) alanı A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0.

Düz vektör düz A n → 1 = (A 1, B 1, C 1) і n 2 → = A 2, B 2, C 2 vektörlerinin bir vektör toplamıdır.

a → = n → 1 × n 2 → = ben → j → k → A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2

Tüm doğrudan vektörlerin sıfır değerini λ · a → = λ · n 1 → × n 2 → olarak tanımlıyoruz; burada λ, sıfırdan farklı her türlü operasyonel değeri kabul edebilen bir parametredir.

popo 4

O x y z düz çizgi koordinat sistemindeki uzaydaki düz çizginin, x + 2 y - 3 z - 2 = 0 x - z + 4 = 0'u iç içe geçiren iki düzlemin hizalanmasıyla verilebileceğini varsayalım. Doğrunun herhangi bir direkt vektörünün koordinatlarını biliyoruz.

Karar

x + 2 y - 3 z - 2 = 0 і x - z + 4 = 0 alanları, n 1 → = 1, 2, -3 і n 2 → = 1, 0, -1 normal vektörlerini gösterir. Verilen iki düzlemin kesişimi olan bir düz çizginin direkt vektörü olarak alındığında, normal vektörlerin vektör toplamı:

a → = n → 1 × n 2 → = i → j → k → 1 2 - 3 1 0 - 1 = i → · 2 · (-1) + j → · (- 3) · 1 + k → · 1 · 0 - - k → · 2 · 1 - j → · 1 · (- 1) - i → · (- 3) · 0 = - 2 · ben → - 2 j → - 2 k →

Cevabı a → = -2, -2, -2 koordinat formunda yazalım. Tim, eğer bunu nasıl yapacağını hatırlamıyorsan şu "Doğrusal koordinat sisteminin vektör koordinatları" bölümüne gitmeni öneririz.

Ders: bir → = - 2 , - 2 , - 2

Parametrik ve kanonik seviyelere geçiş doğrudan uzaydadır

Erdemli alçak komutlar için, x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ formundaki uzayda parametrik düz çizgiyi veya kanonik düz çizgiyi kullanmak daha kolaydır. x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ formunun uzayı. Bu doğrularda a x , a y , a z doğrunun direkt vektörünün koordinatlarıdır, x 1 , y 1 , z 1 doğru üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatlarıdır ve a ek etkin değerler alan bir parametredir.

Düz çizgi hizalamasından A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, düz çizginin kanonik ve parametrik hizalamalarına gidebilirsiniz uzayda çizgi. Düz bir çizginin kanonik ve parametrik çizgilerini kaydetmek için, kesişen iki düzlemin çizgileri tarafından verilen çizginin herhangi bir doğrudan vektörünün koordinatlarının yanı sıra, çizgi üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatlarını bulma becerisine ihtiyacımız var.

Popo üzerindeki yazıya bir göz atalım.

popo 5

Üç boyutlu bir koordinat sisteminde 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ile kesişen iki düzlemin hizalamalarına sahip bir düz çizgi tanımlayalım. Doğrudan değerleri olan kanonik ve parametrik denklemler yazalım.

Karar

n 1 → = 2, 1, - 1 düzlem 2 x + y - z - 1 = 0 ve n 2 → = (1, 3) normal vektörlerinin vektörel toplamı olan doğrunun doğrudan vektörünün koordinatlarını biliyoruz. , - 2) düzlemler x + 3 y - 2 z = 0:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 2 1 - 1 1 3 - 2 = i → · 1 · (-2) + j → · (- 1) · 1 + k → · 2 · 3 - - k → · 1 · 1 - j → · 2 · (-2) - i → · (- 1) · 3 = i → + 3 · j → + 5 · k →

a → = (1, 2, 5) doğrularının ileri vektörünün koordinatları.

Bir sonraki adım, hizalama sisteminin çözümlerinden biri olan belirli bir düz çizginin noktasının koordinatlarının değeridir: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ 2 x + y - z = 1 x + 3 y - 2 z = 0.

Sistemin küçük matrisini, sıfırın bir alt kümesi olan birincil 2 1 1 3 = 2 · 3 - 1 · 1 = 5 olarak alalım. Değişim ne yönde z є ücretsiz. Eklemeleri ondan cilt katmanının sağ kısmına aktarıyoruz ve yeterince yüksek bir λ değeri ekliyoruz:

2 x + y - z = 1 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ 2 x + y = 1 + z x + 3 y = 2 z ⇔ 2 x + y = 1 + λ x + 3 y = 2 λ , λ ∈R

En yüksek seviyeli sistem için Cramer yöntemini kullanmak mümkündür:

∆ = 2 1 1 3 = 2 3 - 1 1 = 5 ∆ x = 1 + λ 1 2 λ 3 = (1 + λ) 3 - 1 2 λ = 3 + λ ⇒ x = ∆ x ∆ = 3 + λ 5 = 3 5 + 1 5 · λ ∆ y = 2 1 + λ 1 2 λ = 2 · 2 λ - (1 + λ) · 1 = - 1 + 3 λ ⇒ y = ∆ y ∆ = - 1 + 3 λ 5 = - 1 5 + 3 5 λ

İndirgenebilir: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ x = 3 5 + 1 5 y = - 1 5 + 3 5 z = λ

Düz bir çizgi üzerindeki bir noktanın koordinatlarını hesaplamak için λ = 2'yi kabul ediyoruz: x 1 = 3 5 + 1 5 · 2 y 1 = - 1 5 + 3 5 · 2 z 1 = 2 ⇔ x 1 = 1 y 1 = 1 z 1 = 2. Artık doğrudan uzay verilerinin kanonik ve parametrik denklemlerini yazmak için yeterli veriye sahibiz: x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 5 x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ ⇔ x = 1 + 1 · λ y = 1 + 3 · λ z = 2 + 5 · λ ⇔ x = 1 + λ y = 1 + 3 · λz = 2 + 5 λ

Ders: x - 1 1 = y - 1 3 = z - 2 5 і x = 1 + λ y = 1 + 3 · λ z = 2 + 5 · λ

Bu gizemi çözmenin başka bir yolu daha var.

Belirli bir noktanın koordinatlarının düz bir çizgi üzerinde hesaplanması, açık bir hizalama sistemi ile gerçekleştirilir A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D2 = 0.

Bu durumda çözüm, uzayda düz parametrik denklemler şeklinde yazılabilir x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ.

Kanonik ilişkilerin kaldırılması şu sırayla gerçekleştirilir: cilt, λ parametresine göre ilişkilerin kaldırılmasından ayrılır, ilişkinin doğru kısımlarını eşitleriz.

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y λ = z - z 1 a z ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

Görevi gerçekleştirmenin bu yöntemi açıktır.

popo 6

2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ile kesişen iki düzlemin düz çizgisinin konumunu belirtin. Bu düz çizgi için parametrik ve kanonik hizalamayı yazıyoruz.

Karar

Sistemin iki seviyeli ve üç bilinmeyenli gelişimi, önceki uygulamada yaptığımız gibi, daha önce olduğu gibi gerçekleştirilir. Türetilebilir: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ x = 3 5 + 1 5 · λ y = - 1 5 + 3 5 · λ z = λ.

Bu parametrik seviye uzayda düzdür.

Kanonik denklem mevcut sıraya göre belirlenir: x = 3 5 + 1 5 · λ y = - 1 5 + 3 5 · λ z = λ ⇔ λ = x - 3 5 1 5 λ = y + 1 5 3 5 λ = z 1 ⇔ x - 3 5 1 5 = y + 1 5 3 5 = z 1

Her iki uçtaki farklar farklıdır, eşdeğerdirler çünkü önemsiz uzayın aynı noktasını ve dolayısıyla aynı düz çizgiyi belirtirler.

Ders: x - 3 5 1 5 = y + 1 5 3 5 = z 1 ben x = 3 5 + 1 5 λ y = - 1 5 + 3 5 λ z = λ

Metinde bir iyilik işaretlediyseniz lütfen onu görün ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Bir genişlikteki iki düzlem karşılıklı olarak paralel olabilir, birlikte hareket edebilir veya üst üste binebilir. Karşılıklı dik düzlemler üst üste binen bir dizi düzlemle güçlendirilir.

1. Paralel düzlemler. Paralel düzlemler, kesişen iki düz çizgi gibi, bir düzlem başka bir düzlemin kesişen iki düz çizgisine paraleldir.

Bu değer en iyi şekilde kesişen iki düz çizgiyle belirtilen düzleme paralel bir noktadan geçen bir düzlem çizilerek gösterilir (Şekil 61).

Zavdannya. Verilen: iç içe geçmiş iki düz çizgi ab ve B noktası tarafından verilen yanal konumun alanı.

Ab düzlemine paralel bir noktadan ve c ve d ile kesişen iki düz çizgiden geçen bir düzlem çizmek gerekir.

İki düz çizgi kesiştiğinde, birbirine paralel bir düzlemin düz bir çizgide kesiştiği, diğer düzlemlerin ise birbirine paralel olduğu açıktır.

Diyagram üzerinde paralel çizgiler çizebilmek için paralel tasarımın - paralel çizgilerin izdüşümü - birbirine paralel olmasının gücünden hızlı bir şekilde yararlanmak gerekir.

d//a, с//b Ş d1//a1, с1//b1; d2//a2, c2//b2; d3//a3, c3//b3.

Malyunok 61. Paralel düzlemler

2. Ovaları geçmek, Bitişik eğim karşılıklı olarak düzleme diktir. İki düzlemin çapraz çubuğunun çizgisi düzdür, bunu başarmak için her iki düzlemin karşısındaki iki noktayı veya düzlemlerin çapraz çubuğu çizgisi boyunca bir noktayı işaretleyin.

Biri çıkıntı yapan iki düzlemin ışın çizgisine bakalım (Şekil 62).

Zavdannya. Verilen: yanal konumun düzlemi trikütanöz ABC tarafından verilir ve diğer düzlem yatay olarak a'yı çıkıntı yapar.

Bir dizi daire oluşturmak gereklidir.

İlgili görev, gizli düzlemlerin içinden düz bir çizginin çizilebileceği belirlenen iki noktasında yatmaktadır. Trikütanöz ABC tarafından belirlenen alan düz çizgiler (AB), (AC), (BC) olarak görülebilir. Çapraz çubuğun noktası düzdür (AB), düzlem a - nokta D, düz (AC) -F. Kesim, dairelerin çapraz çizgisini gösterir. a, yatay olarak çıkıntı yapan bir düzlem olduğundan, D1F1 çıkıntısını aP1 düzlemi takip eder, böylece yalnızca P2 ve P3 üzerindeki çıkıntılardan yoksun kalır.

Malyunok 62. Yatay düzlemli düz bir yüzeyin retinası.

Gelelim son hedefe. Uzayın a(m,n) ve b(ABC) olmak üzere iki eğik düzlemi olsun (Şekil 63).

Malyunok 63. Zagalny kampındaki dairelerin retinası

a(m//n) ve b(ABC) alanlarının çapraz çubuğunun çizgisinin sırasına bakalım. Ön görevlere benzetilerek, bu düzlemlerin geçiş çizgisini bulmak için ek g ve d grafikleri çizeceğiz. Ovalar ile görülen ovalar arasındaki haç çizgilerini biliyoruz. g düzlemi, düz bir çizgiyle (12) a düzlemini ve düz bir çizgiyle (34) b düzlemini kapsar. Do Noktası, bu düz çizgilerin çapraz çubuğunun aynı anda üç a, b ve g düzlemiyle örtüşen noktasıdır; a ve b düzlemlerinin çapraz çubuğunun çizgisinin çizgiyle örtüşecek şekilde bir noktasıdır. D düzlemi, a ve b düzlemlerini düz çizgilerin (56) ve (7C) arkasında örmektedir; bunların M ağlarının noktası aynı anda üç a, b, d düzleminde hareket ettirilir ve düzlemlerin örgüsünün düz çizgisini takip eder. a ve B. Bu şekilde, a ve b düzlemlerinin çapraz çubuğu çizgisi üzerinde - düz çizgi (KM) üzerinde bulunan iki nokta bulunmuştur.

Belirtilen düz düzlemler üzerinden ek düzlemler çizilirse, düzlemlerin günlük kesit çizgisiyle belirli bir basitleştirme elde edilebilir.

Düzlemlere karşılıklı olarak dik. Stereometriden, biri diğerine dik olarak geçtiği için iki düzlemin karşılıklı olarak dik olduğu açıktır. A noktasından verilen bir a(f,h) alanının dik düzlemlerini çizmek mümkün değildir. Bu düzlemler uzayda hepsi dik olan ve A noktasından a düzlemine inen bir dizi düzlem oluşturur. A noktasından, kesişen iki hf düz çizgisiyle belirli bir düzleme dik bir düzlem çizmek için, A noktasından hf düzlemine dik bir n düz çizgisi çizmek gerekir (yatay projeksiyon n, yatay projeksiyona diktir). h çizgisi, önden projeksiyon n öne diktir Alternatif önden projeksiyon f). n doğrusundan geçen düzlem hf düzlemine dik ise, A noktalarından geçen düzlemi bulmak için yeterli bir m doğrusu çizilir. Alan, hf alanına dik olduğunda iç içe geçen iki mn düz çizgisiyle verilmektedir (Şekil 64).

Malyunok 64. Karşılıklı dik düzlemler

Viznachennya. Düz çizgiye paralel düzlem denir çünkü arkasında ortak bir füzyon noktası yoktur.

Düz çizgilerin ve düzlemlerin karşılıklı ayarlanması

İşte tam orada

İki doğrunun paralelliği

Bir düzlem başka bir düzleme paralel bir düz çizgiden geçip bu düzlemi geçerse, onların çapraz çizgisi bu düz çizgilere paralel olur.

Bitti. Düzlemin, düzleme paralel a düz çizgisinden ve bu düzlemlerin çapraz çubuğunun çizgisi olan b düz çizgisinden geçmesine izin verin. a ve b'nin doğrudan paralel olduğunu görelim.

Doğru, koku bir karenin yakınında yatıyor. Ayrıca, b düz çizgisi düzlemin yakınında yer alır ve a düz çizgisi bu düzlemle örtüşmez. Evet, i düz çizgisi b düz çizgisiyle örtüşmüyor. Bu sayede a ve b düzleri aynı düzlemde yer alır ve yıpranmaz. Aman Tanrım, koku paralel.

Düz çizgilerin ve düzlemlerin paralellik işareti Düz ise ancak düzlemde yer almıyorsa, bu düzlemde bulunan her düz çizgiye paraleldir, o zaman düzlemin kendisine paralel olarak düz olarak verilir.

Bitti. Düz gitmeme izin ver β düzleminin yakınında ve düz çizgiye paralel uzanmayın B , bu ovanın yakınında ne var? Bakalım ne doğru A β düzlemine paralel.

A düz çizgisinin düzlemi C noktasında kesmesi kabul edilemez.

a ve b (a || b, lavabonun arkasında) düz çizgilerinden geçen α düzlemine bakalım. O halde C noktası bir düzlem olarak konumlandırılmıştır ve dolayısıyla bir düzlemdir. çizgileri şeritleriyle hizalayın - düz b. Eh, bunlar doğrudan a ve b şeklinde değişiyor, dolayısıyla bu sizin için çok net. Otzhe, bir || β.

Sağ 1

Aynı düzlemlere paralel iki düz çizginin olduğu doğru mu?

Sürüm: Hayır.

Sağ 2

"Düz, düzleme paralel, bu düzlemin yakınında bulunan herhangi bir düz çizgiye paralel" demek daha mı doğru?

Sürüm: Hayır.

Sağ 3

İki paralel doğrudan biri düzleme paraleldir. Bu düzleme doğrudan paralel olduğuna göre doğru katı nedir?

Sürüm: Hayır.

Sağ 4

Verilen iki paralel doğru. Derilerinin içinden bir uçak çizilir. Bu iki yüzey yer değiştirir. Bu çizgi doğrudan verilerle eşleşecek şekilde nasıl yeniden kaplandı?

Sürüm: Paralel.

Sağ 5

Hareket eden iki kare var. Verilen iki düzlemi paralel doğrular boyunca iç içe geçiren düzlem nedir?

Karar: Evet.

Sağ 6

Normal altı parçalı ABCDEF'in AF tarafı, altı parçalının düzlemine müdahale etmediği için α düzleminde yer alır. Altı katlı bu gövdenin diğer kenarlarının düzleştirilebilmesi için düz çizgiler nasıl çizilmiştir?

Tip: AB, BC, DE, EF retina yüzeyi; CD düzleme paraleldir.

1) Düz bir çizgi ve üst üste binen iki düzlem vardır. Bu karşılıklı genişlemenin tüm olası türlerini karakterize edin.

2) Hareket eden iki uçak verilmiştir. İki düzlemi paralel doğrular boyunca kesen düzlem nedir?

2. C noktasında kesişen iki düz çizgi göz önüne alındığında. Bu düz çizgilerin kutanöz noktası olan üçüncü düz çizgi olsun, neden onlarla aynı anda aynı düzlemde uzanalım ki?

4. İki paralel düzlem arasına 8 cm mesafe koyun, aralarında yaklaşık 17 cm aralıklı düz bir kesim, ucu düzlemlerin üzerinde olacak şekilde uzanır. Bu kesiğin yüzeyden cilt üzerindeki izdüşümünü bulun.

5. İfadeyi doğru şekilde ortaya çıkacak şekilde tamamlayın:

d) bilmiyorum

6. A ve b düz çizgileri diktir. A ve B noktaları a düz çizgisi üzerinde, C ve D noktaları b düz doğrusu üzerinde yer almaktadır. AC ve BD aynı düzlemde mi yer alıyor?

7. ABCDA1B1C1D1 küpünün köşegenleri AC ve B1D1 yüzleridir. Bu nasıl karşılıklı genişlemedir?

8. ABCDA1B1C1D1 küpünün kenarı m'den daha eskidir. AB ve CC1 düz çizgileri arasındaki çizgiyi bulun.

A) 2m B) 1/2m C) m D) Bilmiyorum

9. Başka bir deyişle şunu söylemek daha doğrudur:

A) yani B) ikisi de C) boşver D) bilmiyorum

10. ABCDA1B1C1D1 küpü için BCD ve ВСС1В1 düzlemleri arasındaki kesimi bulun.

A) 90° B) 45° C) 0° D) 60°

11. Yalnızca bir kenarı tabana dik olan prizma nedir?

A) yani B) ikisi de C) bilmiyorum

12. Dikdörtgen bir paralel yüzün köşegeni yan kenardan nasıl daha küçük olabilir?

A) yani B) ikisi de C) bilmiyorum

13. Kenarı 10 olan bir küpün namlu yüzeyinin eşdeğer alanı nedir?

A) 40 B) 400 C) 100 D) 200

14. Bir küpün toplam yüzey alanı neden köşegeninin d'ye eşit olmasıyla aynı?

A) 2d2 B) 6d2 B) 3d2 D) 4d2

15. Düzenli bir piramidin kaç tane simetri düzlemi vardır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6

16. Herhangi bir normal piramidin eksenel kesimi nedir?

A) eşit taraflı trikübitus

B) düz kesici

B) yamuk

D) eşkenar trikupus

lütfen yardım edin lütfen sınava girin

1. İki farklı yüzey çarpışmadan kaç tane düz çizgi oluşturabilir?
A) 1 B) 2 C) kişiliksiz D) susamış E) Bilmiyorum
2. C noktasında kesişen iki düz çizgi verildiğinde. Bunlar, üçüncü düz çizgi de olsa, aynı anda aynı düzlemde mi yer almalılar? Bu düz çizgilerin arkasındaki derinin noktası hangisidir?
A) boşver B) boşver C) uzan, boşver D) bilmiyorum
3. Doğru onaylama nedir:
İki düzlem aynı ve aynı doğruya paralel oldukları için paraleldirler.
A) yani B) ikisi de C) bilmiyorum D) unutma
4. 8 cm'lik iki paralel düzlem arasında durun, yaklaşık 17 cm aralıklı düz bir kesim, her iki ucu da düz yüzeylerin üzerinde olacak şekilde aralarında hareket edin. Bu kesiğin yüzeyden cilt üzerindeki izdüşümünü bulun.
A) 15 cm B) 9 cm C) 25 cm D) Bilmiyorum
5. Cümlenin doğru çıkması için cümleyi tamamlayın:
Çapraz çizgiye dik iki dik düzlemden birinde uzanan düz bir çizgi varsa, o zaman ...
A) Aynı düzleme paralel
B) başka bir düzlem üzerinde hareket eder
B) başka bir düzleme dik
d) bilmiyorum
6. a ve b düz çizgileri birbirine diktir. A ve B noktaları a düz çizgisi üzerinde, C ve D noktaları b düz doğrusu üzerinde yer almaktadır. AC ve BD aynı düzlemde mi yer alıyor?
A) yani B) ikisi de C) boşver D) bilmiyorum
7. ABCDA1B1C1D1 küpünün köşegenleri AC ve B1D1 yüzleridir. Bu nasıl karşılıklı genişlemedir?
A) kaydırma B) kesişme C) paralel D) Bilmiyorum
8. ABCDA1B1C1D1 küpünün kenarı m'den daha eskidir. AB ve CC1 düz çizgileri arasındaki çizgiyi bulun.
A) 2m B) B) m D) Bilmiyorum
9. İlginçtir ki, bu doğru bir doğrulamadır:
İki düz çizgi aynı düzlemde eşit eğimler oluşturduğundan hepsi paraleldir.
A) yani B) ikisi de C) boşver D) bilmiyorum
10. ABCDA1B1C1D1 küpü için BCD ve ВСС1В1 düzlemleri arasındaki yolu bulun.
A) 90 B) 45 C) 0 D) 60
11. Birden fazla kenarı tabana dik olan prizma nedir?
A) yani B) ikisi de C) bilmiyorum
12. Doğrusal bir paralel borunun köşegeni yan kirişten nasıl daha küçük olabilir?
A) yani B) ikisi de C) bilmiyorum
13. Kenarı 10 olan bir küpün yan yüzeyinin alanı nedir?
A) 40 B) 400 C) 100 D) 200
14. Köşegeni d'ye eşit olduğundan küpün toplam yüzey alanı neden?
A) 2d2 B) 6d2 B) 3d2 D) 4d2
15. Düzenli bir piramidin kaç tane simetri düzlemi vardır?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6
16. Herhangi bir düzgün piramidin eksenel kesimi nedir?
a) eşkenar tricupus
B) düz kesici
B) yamuk
D) eşkenar trikupus

“Düz çizgilerin ve düzlemlerin karşılıklı genişlemesi” konusunu test edin. İki uçağın karşılıklı düzenlenmesi"

Aşağıdakilerden bir doğru seçeneği seçin:

Uzayda kesişen iki doğruya şu şekilde denir:

A - koku uyku alanlarını rahatsız etmiyor

B – içlerinden bir düzlem çizmek mümkün değil

C - kokular tek bir düzlemde yatıyor ve değişmiyor

Uzayın düz bir çizgisi ve düzensiz bir noktası vardır. Düz bir çizgiyi geçmeden bir noktadan kaç tane düz çizgi geçmeniz gerekir?

A – bir düz çizgi

B – iki farklı yön

S - kişisel olmayan düz

Dümdüz A düz bir çizgiyle kesişmek B ve düz B düz bir çizgiyle kesişmek C . Direkt olan izler nelerdir? A і C bir araya gelmek: