Diofant denkleminin önemli bir uygulaması, rektum trikütanözünün dovzhin x ve y bacaklarını hipotenüsün dovzhin'i ile birleştiren Pisagor teoremi ile verilmektedir:
Elbette bu denklemin mucizevi çözümlerinden birini doğal sayılarda ve Pisagor sayı üçlüsünde tanımladınız. x = 3, y = 4, z = 5. Nedir bu üçler?
Oldukça fazla Pisagor üçlüsü var ve hepsi uzun zamandır biliniyor. Bu paragraftan öğreneceğiniz gibi kokular tanıdık formüllerden ayrılabilir.
Birinci ve diğer seviyelerin meydan okuyan gayreti zaten üstün olduğundan, en büyük matematikçilerin gücü ne olursa olsun, daha yüksek aşamaların besleyici gayreti hala kabul edilmemektedir. Bu dönemde örneğin Fermat'ın tam değeri olmayanlar hakkındaki ünlü hipotezi n2 Rivnyannya
Tam sayıların çözümü yoktur.
Belirli diophantine türlerinin geliştirilmesinde bu tür isimler önemli bir rol oynayabilir. Karışık sayılar. Bu ne? Mektup zihni tatmin eden herhangi bir nesneyi gösterebilir mi? ben 2 = -1(Aynı miktardaki aktivitenin zihni tatmin etmediği açıktır). Gelin manzaraya bir göz atalım α + iβ, burada α ve β aktif sayılardır. Bu tür ifadelere, binomlarda olduğu gibi toplama ve çarpma işlemleri yapıldığı ve bu nedenle ifade edilen hiçbir fark olmadığı için karmaşık sayılar adı verilecektir. ben 2 Her yerde -1 sayısıyla değiştirildi:
7.1. Sadece üçünde çok şey var
Ne olduğunu bana bildirin x 0, y 0, z 0- Pisagor üçlüsü, ardından üçüzler y 0 x 0 z 0і x 0 k, y 0 k, z 0 k doğal parametrenin herhangi bir değerinde aynı zamanda Pisagor'dur.
7.2. Özel formüller
Ters çevirin, ne tür doğal anlamlar var? m>n aklımda üç
є Pisagor. Her Pisagor üçlüsünü söyle x, y, z Bu bakış açısına göre x ve y sayılarını üçüncüde yeniden düzenlemenin mümkün olduğunu görebiliyor musunuz?
7.3. Kısa üçlük
1'den büyük bir uzun dönemi temsil eden Pisagor sayı üçlüsüne yavaş denir. Pisagor üçlüsünün hızlı bir tesadüf olmadığını belirtmek gerekir, çünkü üçlünün sayılarından ikisi bile karşılıklı olarak affedilir.
7.4. Yavaş üçlülerin gücü
Herhangi bir hızlı Pisagor üçlüsü x, y, z'de, z sayısının ve x veya y sayılarından birinin eşlenmemiş olduğunu kanıtlayın.
7.5. Tüm hızlı olmayan üçlükler
x, y, z sayı üçlüsünün hızlı bir Pisagor üçlüsü olduğunu ve ilk iki sayının mertebesine kadar üçlünün eşleşebildiğini gösterin. 2 dk, m 2 - n 2, m 2 + n 2 de m>n- Farklı çiftlerin karşılıklı basit doğal sayıları.
7.6. Zagalni formülleri
Her şeye karar verildiğini bize bildirin
doğal sayılar, bilinmeyen x ve y formüllerinin büyüklük sırasına kadar hassasiyetle belirtilir
burada m>n ve k doğal parametrelerdir (herhangi bir üçlünün çoğaltılmasını kapatmak, karşılıklı olarak basit ve farklı eşleşmelere sahip sayıları seçmek için).
7.7. İlk 10 üçlük
Tüm Pisagor üçlülerini bulun x, y, z, zihni ne memnun eder X
7.8. Pisagor üçlüsünün gücü
Herhangi bir Pisagor üçlüsü için bunu bize bildirin x, y, z adil onaylama:
a) x veya y sayılarından birinin 3'ün katı olmasını istiyorum;
b) x veya y sayılarından birinin 4'ün katı olmasını istiyorum;
c) X, y veya z sayılarından birinin 5'in katı olmasını istiyorum.
7.9. Karmaşık sayıların Zastosuvannya'sı
Karmaşık bir sayının modülü α + iβ bilinmeyen numarayı aradım
Karmaşık sayılar için ters çevirin α + iβі γ + iδ iktidar sona eriyor
Karmaşık sayıların ve modüllerinin gücünü bozan herhangi iki m ve n tam sayısının eşitlikleri sağladığı ileri sürülüyor
bir karar vermek
tam sayılar (görev 7.5'e bakın).
7.10. Pisagor olmayan üçüzler
Karmaşık sayıların kuvvetlerini ve modüllerini inceleyerek (böl. problem 7.9), herhangi bir sayıda çözüm için formüller bulun:
a) x2 + y2 = z3; b) x 2 + y 2 = z4.
7.1. Yakşço x 0 2 + y 0 2 = z 0 2 O y 0 2 + x 0 2 = z 0 2 ve k'nin doğal değeri ne olursa olsun
nelerin başarılması gerekiyordu.
7.2. Kıskançlıktan
görevde belirtilenlere uyuyor üç eşittir eşittir x 2 + y 2 = z 2 doğal sayılarda. Ancak her Pisagor üçlüsü x, y, z böyle bir bakışta görülebilir; Örneğin 9, 12, 15 üçlüsü Pisagor'dur ancak 15 sayısı herhangi iki m ve n doğal sayısının karelerinin toplamına benzemez.
7.3. Pisagor üçlüsünden iki sayı nedir? x, y, z Borçlu varsa d, üçüncü günde borçlu olur (yani, eğer x = x 1 d, y = y 1 d anne z 2 = x 2 + y 2 = (x 1 2 + y 1 2)d 2 yıldız z 2, d 2'ye ve z, d)'ye bölünür. Bu nedenle, Pisagor üçlüsünün hızı için üçlü sayıdan herhangi ikisinin karşılıklı olarak affedilebilir olması gerekir,
7.4. Sevgili, x ve y sayılarından biri, diyelim ki x, yavaş bir Pisagor üçlüsüdür x, y, zє eşleştirilmemişse, aynı x ve y sayılarının parçaları karşılıklı olarak affedilebilir olacaktır (bölüm 7.3). Y sayısı da eşleştirilmemişse, sayı rahatsız edilir
4'e ve sayıya bölündüğünde 1 fazlasını verir z 2 = x 2 + y 2 4'e bölündüğünde 2 fazlasını verir. 2'ye bölünebilir olmalı ama 4'e bölünemez ki bunu yapamayız. Böylece, y sayısı eşleştirilebilir ve dolayısıyla z sayısı eşleştirilemez.
7.5. Pisagor üçlüsünü bırakın x, y, z hızlı değildir ve değer için x sayısı eşleştirilir ve y, z sayıları eşleştirilmez (böl. problem 7.4). Todi
sayılar 
Bütün amaç budur. a ve b sayılarının karşılıklı basit olduğunu kanıtlayalım. Aslında büyük borçlunun kokusu varsa, 1'den fazlaysa, o zaman böyle bir borçlunun sayısı azdır. z = a + b, y = a - b, o zaman üçü de yavaş olmayacaktır (böl. problem 7.3). Şimdi, basit çarpanlar oluşturmak için a ve b sayılarını ayrıştırırken, herhangi bir basit çarpanın daha önce girmesi gerektiğine saygı duyuyoruz. 4ab = x2 yalnızca eşleştirilmiş bir dünyada ve eğer a sayısını girmenize izin veriliyorsa, o zaman b sayısını girmeyin ve aynısı. Bu nedenle, a ve b sayılarının ayrıştırılmasına herhangi bir basit çarpan dahil edilirse, bu eşleştirilmiş dünyaya eklenecektir ve sayıların kendileri tam sayıların kareleridir. Katılıyoruz 
o zaman kıskançlık ortadan kalkar
Ayrıca, m>n doğal parametreleri karşılıklı olarak basittir (a ve b sayılarının karşılıklı basitliği nedeniyle) ve farklı eşleşmelere sahiptir (sayıların eşitsizliği nedeniyle) z = m2 + n2).
Şimdi farklı çiftlerden oluşan m>n doğal sayıları karşılıklı olarak affedelim. Todi üç x = 2mn, y = m2 - n2, z = m2 + n2, problem 7.2'nin iddialarına ve Pisagor'a göre. Hızlı olmayacağını görelim. Bunun için y ve z sayılarının bir anlam taşımadığının doğrulanması yeterlidir (böl. problem 7.3). Aslında bu sayılar eşleştirilmez çünkü sayıların türü farklı şekilde eşlenebilir. Nasıl ki y ve z sayıları basit bir kombinasyona benziyorsa (ve aynı zamanda zorunlu olarak eşlenmemişse), o zaman sayılardan, onlardan ve m ve n sayılarından da aynı şekilde aynı sıra oluşur ve bu da onların karşılıklı basitliğinin yerini alır.
7.6. 7.1 ve 7.2 problemlerinde formüle edilen gökkubbe sayesinde, atanan formüller yalnızca Pisagor üçlüleri ile verilmektedir. Öte yandan, Pisagor üçlüsü olsun x, y, z Bundan sonra, k adet x ve y sayı çiftinin en büyük k mesafesine kadar kısaltılması yavaştır (böl. problem 7.3) ve bu nedenle, tam olarak x ve y sayılarının sırasına göre problem 7.5'te açıklanan biçimde sunulabilir. Bu nedenle Pisagor üçlüsü, çeşitli parametre değerleri için anlamlı formüllerle belirlenir.
7.7. Huzursuzlukla z ve 7.6 probleminin formüllerinden tahmini belirleyebiliriz m 2 tobto. m≤5. saygılarımla m = 2, n = 1і k = 1, 2, 3, 4, 5,Üçler kaldırılabilir 3, 4, 5; 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12,16,20; 15, 20, 25. saygılarımla m = 3, n = 2і k = 1, 2,Üçler kaldırılabilir 5, 12, 13; 10, 24, 26. saygılarımla m = 4, n = 1, 3і k = 1,Üçler kaldırılabilir 8, 15, 17; 7, 24, 25. Haydi saygılarımla m = 5, n = 2і k = 1,üçünü kaldıralım 20, 21, 29.
Solucan Vitaly
Okul çocukları için bilim projeleri yarışması
Bölgesel bilimsel ve pratik konferans “Eurika” çerçevesinde
Kuban Küçük Bilimler Akademisi
Pisagor sayıları üzerine araştırma
Matematik bölümü.
Cherv'yak Vitaly Gennadiyovich, 9. sınıf
MOBU ZOSH No.14
Korenivskyi bölgesi
Sanat. Zhuravska
Bilimsel taş ocağı:
Manko Galina Vasilivna
Matematik öğretmeni
MOBU ZOSH No.14
Korenivsk 2011 r
Cherv'yak Vitaly Gennadiyovych
Pisagor sayıları
Soyut.
Takip konusu:Pisagor sayıları
Soruşturmanın amaçları:
Soruşturma departmanı:
Soruşturma yöntemleri:
Visnovok:
Cherv'yak Vitaly Gennadiyovych
Krasnodar bölgesi, Zhuravska köyü, MOBU ZOSH No. 14, 9. sınıf
Pisagor sayıları
Bilim kitabı: Manko Galina Vasylivna, MOBU ZOSH No. 14'ün matematik öğretmeni
2.1 Tarihsel arka plan……………………………………………………4
2.2 Eşleştirilmiş ve eşleşmemiş bacakların kanıtı………................................................5-6
2.3 Keşif modelinin özeti
Pisagor sayıları………………………………………………………………………………7
2.4 Pisagor sayılarının gücü ……………………………………………… 8
3. Visnovok………………………………………………………………………………9
4.Wiki ve literatür listesi…………………… 10
Programı...................................................... ...................................................................... ....... ......onbir
Ek I…………………………………………………………………………………11
Ek II…………………………………………………………………………………..13
Cherv'yak Vitaly Gennadiyovych
Krasnodar bölgesi, Zhuravska köyü, MOBU ZOSH No. 14, 9. sınıf
Pisagor sayıları
Bilim kitabı: Manko Galina Vasylivna, MOBU ZOSH No. 14'ün matematik öğretmeni
Girmek
Beşinci sınıfta matematik dersinde Pisagor'u ve onun hayatını hissettim ve "Pisagor'un pantolonu her yönden eşittir" sözüne hayran kaldım. Pisagor teoreminin ortaya çıkmasıyla Pisagor sayıları kullanılmadı.meta araştırma: Pisagor teoremi ve “Pisagor sayıları” hakkında daha fazla bilgi edinin.
Bunlar tarafından alaka düzeyi. Pisagor teoreminin ve Pisagor üçlülerinin değeri yüzyıllar boyunca kanıtlanmıştır. Çalışmamda tartışılan problem, herkesin bildiği gibi, Pisagor teoremi gibi matematiksel bir ifadeye dayandığı basit gerçeğinden kaynaklanıyor gibi görünüyor: herhangi bir doğrusal trikesin bir karesi varsa, hipotenüs üzerindeki itmeler , eski toplam, bacaklarda bulunan bir kare iv'dir. Şimdi x, y, z olmak üzere üç doğal sayı var. x 2 + y 2 = z 2 aramak gelenekseldirPisagor üçüzleri. Pisagor üçlülerinin Babil'de zaten bilindiği ortaya çıktı. Yunan matematikçiler onları hızla keşfettiler.
Meta fiyatları robotları
Robotun ayakların altına yerleştirildiğine dikkat etmek önemlidir. Zavdan:
1. Pisagor teoreminin tarihi hakkında daha fazlasını okuyun;
2. Pisagor üçlülerinin evrensel güçlerinin analizi.
3. Pisagor üçlülerinin pratik yapısının analizi.
Soruşturmanın amacı: Pisagor üçlüleri.
Soruşturma konusu: matematik.
Soruşturma yöntemleri: - İnternetteki Wikipedia kaynakları; - modern öncesi edebiyatın gelişimi; -deneyin yürütülmesi;
Teorik önemi:Pisagor üçlülerinin bilimde oynadığı rol; pratik zastosuvannya Pisagor'un insan hayatına bakış açısı.
Uygulanan değerSoruşturma, edebi kaynakların analizinde ve gerçeklerin sistemleştirilmesinde yatmaktadır.
Cherv'yak Vitaly Gennadiyovych
Krasnodar bölgesi, Zhuravska köyü, MOBU ZOSH No. 14, 9. sınıf
Pisagor sayıları
Bilim kitabı: Manko Galina Vasylivna, MOBU ZOSH No. 14'ün matematik öğretmeni
Pisagor sayılarının tarihi üzerine.
Matematik kitabı Chu-pei:[ 2]
"Bir depoda düz bir çizgi çekilirse, taban 3 ve yükseklik 4 ise yanlarının uçlarını birleştiren çizgi 5 olacaktır."
Kantor (en büyük Alman matematik tarihçisi) kıskançlığın kıymetini bilir 3² + 4² = 5² Zaten Mısırlılar tarafından M.Ö. 2300'e yakın olduğu biliniyordu. örneğin kralın saatleri için Amenemheta (papirüs 6619'dan Berlin Müzesi'ne). Kantor'un düşüncesi üzerine Harpedonapti “gerdirme motuzokları” ise 3 tarafı düz kesimli örgüler yardımıyla düz kesimli örgüler; 4 ve 5.
“Thales, Pisagor ve Pisagorcular gibi ilk Yunan matematikçilerinin erdemi matematiğin keşfi değil, daha ziyade sistemleştirme ve tasvir etmedir. İnanılmaz olgulara dayanan hesaplı tarifler bizim elimizde kesin bir bilime dönüştü."
Bu teorem Pisagor'un isimleriyle bağlantılı olmasına rağmen çok önceden biliniyordu.
Babil metinlerinde Pisagor'dan 1200 yıl öncesine kadar izi sürülüyor.
Açıkçası bu kanıtı ilk bilen biziz. Bununla bağlantılı olarak şu not yazılmıştır: "... eğer vin çarpıksa, düz kesilmiş trikutan balığın hipotenüsü kateter görünümüne sahip olacak şekilde, vin buğday hamurundan ezilmiş bir bik kurbanı getirdi."
Cherv'yak Vitaly Gennadiyovych
Krasnodar bölgesi, Zhuravska köyü, MOBU ZOSH No. 14, 9. sınıf
Pisagor sayıları
Bilim kitabı: Manko Galina Vasylivna, MOBU ZOSH No. 14'ün matematik öğretmeni
Pisagor sayılarının incelenmesi.
3 2 + 4 2 = 5 2.
Pisagor üçlüleri uzun zamandır ortalıkta dolaşıyor. Antik Lizopotamya mezar taşlarının mimarisinde, kenarları 9, 12 ve 15 litre olan iki dikdörtgenle katlanmış izosfemoral bir tricubitus vardır. Firavun Sneferu'nun piramitleri (MÖ XXVII. Yüzyıl), kenarları 20, 21 ve 29 olan üç parçalı üçgenlerin yanı sıra 18, 24 ve 30 Mısır litresinden yapılmıştır.[ 1 ]
Bacakları 3, 4 ve hipotenüsü 5 olan rektum tricucutineum'a Mısır tricucutineum adı verilir. Bu üç parçanın alanı 6 rakamından daha eskidir. Çevresi ise mutluluk ve refahın sembolü olarak kabul edilen 12 rakamından daha eskidir.
Eski Mısırlılar, düğümlerle 12 eşit parçaya bölünmüş bir motuzkanın yardımıyla düz kesimli bir trikutnik ve düz bir kut giyerlerdi. Haritacılar tarafından dik çizgileri ölçmek için kullanılan basit ve çok doğru bir yöntem. Bir kordon ve üç kordon almanız, kordonu bir trikutnik içine sarmanız, böylece bir tarafı 3 parçaya, diğer tarafı 4 parçaya ve geri kalanı da bu tür beş parçaya katlamanız gerekir. Kordon, düz kesimli bir trikes ile dışarı çekilir.
Mısır piramitlerinin ataları tarafından binlerce yıl önce kurulduğu anlaşılan bu eski yöntem, Pisagor teoremine göre 3:4:5 ile ilişkili olan tricut derisinin düz olması gerçeğine dayanmaktadır. .
Pisagor üçlülerinin keşfi Öklid, Pisagor, Diophantus ve diğerleri tarafından incelenmiştir.[ 1]
Ne olduğunu anladım (x, y, z ) bir Pisagor üçlüsüdür, o zaman herhangi bir doğal için k üç (kx, ky, kz) aynı zamanda Pisagor üçlüsü olacak. Zokrema (6, 8, 10), (9, 12, 15) vb. - Pisagor üçlüleri.
Sayılar arttıkça Pisagor üçlüleri giderek daralır ve giderek daha önemli hale gelir. Pisagorcular bir yol buldular
Bu tür üçlüler ve onu incelemek bizi daha da fazla Pisagor üçlüsü olduğu noktasına getirdi.
1'den fazla oyuncu içermeyen üçlülere en basit üçlüler denir.
Pisagor üçlülerinin güç dinamiklerine bir göz atalım.[ 1]
Pisagor teoremine uygun olarak bu sayılar herhangi bir dikdörtgen trikutan ağacın dowzhin'leri olabilir; Bu nedenle y'ye “bacaklar”, s'ye ise “hipotenüs” denir.
Eğer a, b, z bir Pisagor sayıları üçlüsü ise, o zaman bir tamsayı çarpanı olan ip, p, rs'nin bir Pisagor sayısı olduğu açıktır.
Doğru ve geri dönüş!
Bu nedenle, karşılıklı olarak üçten fazla asal Pisagor sayısının izini sürmek mümkündür (karar, bunların p tamsayı çarpanı ile çarpılmasıdır).
Bu üçünün her birinde a, b ve “katetelerden” birinin erkek, diğerinin eşleşmemiş olabileceğini gösterelim. “Kabul edilemez gibi görünen” durumu ortadan kaldıralım. Eğer hücum “taraf” a ise ve adamlarsa, o zaman adam a numarası olacaktır. 2 + y 2 , Ve bu "hipotenüs" anlamına gelir. Ale tse superehit that scho sayılar a, b Ve uyumlu çarpanlar olmadığından, eşleştirilmiş üç sayı 2'li çarpan olarak kullanılabilir.Bu şekilde "katetlerden" biri aranır, diğeri eşleştirilmez.
Başka bir olasılık kaybolmuştur: "bacak" eşleşmemiştir ve "hipotenüs" eşleştirilmiştir. Ne söyleyemediğimiz önemli değil, çünkü “doğrular” 2 x + 1 ve 2y + 1 gibi görünüyor, o zaman karelerinin toplamı aynı
4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y +1 = 4 (x 2 + x + y 2 + y) +2 o zaman. Bu, 4'e bölündüğünde 2 fazlalık veren bir sayıdır. Şimdi herhangi bir eşleştirilmiş sayının karesi, fazlalık olmadan 4'e bölünmelidir.
Ayrıca eşlenmemiş iki sayının karelerinin toplamı, eşleştirilmiş bir sayının karesi olabilir; Aksi halde görünen o ki üç sayımız Pisagor değil.
- VISNOVOK:
Peki, "katetlerden" biri eşleştirilmiş, diğeri eşleştirilmemiş. Bu nedenle a sayısı 2 + y 2 eşleştirilmemiş, yani eşleştirilmemiş ve "hipotenüs" s.
Pisagor modern sembolizmle şu şekilde yazılabilecek formülleri biliyor: a=2n+1, b=2n(n+1), c=2 n 2 +2n+1 de n – tam sayı.
Bu sayılar Pisagor üçlüleridir.
Cherv'yak Vitaly Gennadiyovych
Krasnodar bölgesi, Zhuravska köyü, MOBU ZOSH No. 14, 9. sınıf
Pisagor sayıları
Bilim kitabı: Manko Galina Vasylivna, MOBU ZOSH No. 14'ün matematik öğretmeni
Pisagor sayılarını bulma modelinin bir özeti.
Eksen Pisagor üçlüsüdür:
Derinin Pisagor üçlüsünün sayılarıyla 2, 3, 4, 5 vb. ile çarpılması durumunda şunu not etmek önemlidir. Adım üçlüklerini kaldırıyoruz.
Ayrıca Pisagor sayıları gibi kokuyorlar/
Cherv'yak Vitaly Gennadiyovych
Krasnodar bölgesi, Zhuravska köyü, MOBU ZOSH No. 14, 9. sınıf
Pisagor sayıları
Bilim kitabı: Manko Galina Vasylivna, MOBU ZOSH No. 14'ün matematik öğretmeni
Pisagor sayılarının gücü.
Cherv'yak Vitaly Gennadiyovych
Krasnodar bölgesi, Zhuravska köyü, MOBU ZOSH No. 14, 9. sınıf
Pisagor sayıları
Bilim kitabı: Manko Galina Vasylivna, MOBU ZOSH No. 14'ün matematik öğretmeni
Visnovok.
Geometri, diğer bilimler gibi, uygulama ihtiyaçlarından doğmuştur. "Geometri" kelimesinin kendisi Yunancadır, ancak çevirisinde "yeryüzüne ait" anlamına gelir.
İnsanlar arazileri yok etme ihtiyacının çok erken farkına vardılar. Zaten 3-4 bin için. M.Ö. kayaları Çin'in nehri olan Nil, Fırat ve Dicle vadilerindeki yerli toprakların derisi insanların yaşamı için büyük önem taşımaktadır. Büyük bir geometrik ve aritmetik bilgi birikimine değer veriyordu.
İnsanlar adım adım geometrik şekilleri katlamanın gücüne hayran olmaya ve onu fethetmeye başladı.
Mısır ve Babil'de ise inşaatı ancak ileri gelişmelere dayanarak gerçekleştirilebilecek devasa tapınaklar inşa edildi. Ayrıca su boruları da vardı. Her şey sandalye ve rozrakhunkiv ile ilgiliydi. Şimdiye kadar, kenarları x, y, z olan üç tarafı alırsak x, y, z'nin aynı sayılar olacağını zaten bilen Pisagor teoreminin sonuçlarının gayet iyi farkındaydık. x 2 + y 2 = z 2 , o zaman trikesler düz kesilecektir.
Bütün bu bilgiler insan yaşamının birçok alanında tamamen durağanlaştı.
Bu nedenle, hayatlarımızın doğrudan durgunluğunu bilmek, antik filozof Pisagor için hâlâ büyük bir keşiftir.
Budinki'nin hayatı, yollar, uzay gemileri, arabalar, platformlar, petrol boru hatları, hava yolları, tüneller, metro ve çok daha fazlası. Pisagor üçlüsü, bizi gündelik hayatla tanıştıran konuşmaların yansıtılan kişiliksizliğinin doğrudan durgunluğunun farkındadır.
Ve zihinleri Pisagor teoreminin kanıtlarının yeni versiyonlarını aramaya devam edecek.
Cherv'yak Vitaly Gennadiyovych
Krasnodar bölgesi, Zhuravska köyü, MOBU ZOSH No. 14, 9. sınıf
Pisagor sayıları
Bilim kitabı: Manko Galina Vasylivna, MOBU ZOSH No. 14'ün matematik öğretmeni
Edebiyat
4. Anosov D.V. Matematiğe ve ondan ne çıktığına bir bakış. - M .: MTsNMO, 2003.
5. Çocuk Ansiklopedisi. - M .: RRFSR Pedagoji Bilimleri Akademisi Şubesi, 1959.
6.Stepanova L.L. Temel sayılar teorisinden seçmeler. - M.: Prometheus, 2001.
7. V. Sierpinsky Pisagor trikütanöz dokuları. - M: Üçpedgiz, 1959. S.111
Takip Tarihsel arka plan; Pisagor teoremi; "Katetlerden" birinin erkek olabileceğini, diğerinin ise eşleşmemiş olabileceğini bize bildirin; Pisagor sayılarını bulmak için düzenliliklerin gösterilmesi; Pisagor sayılarının gücünü ortaya çıkarın;
Beşinci sınıf matematik dersinde Pisagor'un ve onun yaşamının kokusunu duydum ve "Her tarafta Pisagor'un pantolonu" ifadesi beni büyüledi. Pisagor teoreminin tanıtılmasıyla Pisagor sayıları daha az önemli hale geldi. Araştırmanın amacını belirledim: Pisagor teoremi ve "Pisagor sayıları" hakkında daha fazla bilgi edinmek.
Zayıflar bilebilse gerçek sonsuz olacaktır! Ve Pisagor'un teoremi bu uzak yüzyılda olduğu gibi doğrudur
Pisagor sayılarının tarihi üzerine. Antik Çin Matematik kitabı Chu-pei: "Bir depoda düz bir kesim yapılırsa, taban 3 ve yükseklik 4 ise yanlarının uçlarını birleştiren çizgi 5 olacaktır."
Eski Mısırlılar arasında Pisagor sayıları Cantor (en büyük Alman matematik tarihçisi), 3 + 4 = 5 denkleminin Mısırlılar tarafından MÖ 2300 civarında zaten bilindiğini belirtiyor. örneğin, Kral Amenemhet'in saatleri için (6619 papirüsünden Berlin Müzesi'ne). Cantor'a göre motosikletlerin harpedonapt'ları, yani gergileri, 3 kenarlı düz kesimli trikoların yardımının hemen arkasındaydı; 4 ve 5.
Babil'de Pisagor Teoremi “Thales, Pisagor ve Pisagorcular gibi ilk Yunan matematikçilerinin erdemi matematiğin keşfi değil, daha ziyade sistemleştirme ve tasvir etmedir. İnanılmaz olgulara dayanan hesaplı tarifler bizim elimizde kesin bir bilime dönüştü."
Kozhen trikutnik, kenarlar temel Pisagor teoremine uygun olarak 3:4:5 gibi bağlanmıştır - düz kesim, 3 2 + 4 2 = 5 2 parçaları. 3,4 ve 5 sayılarına ek olarak görünüşe göre öyledir , h tam pozitif sayılar olmadan sonsuz, A 2 + b 2 = z 2 ilişkisini sağlayan i'lerde. Bu sayılara Pisagor sayıları denir.
Pisagor teoremine uygun olarak bu sayılar herhangi bir doğrusal trikütanöz ağacın dowzhin'leri olabilir; bu nedenle a ve c'ye “bacaklar” ve z - “Hipotenüs” denir. a, b, c'nin bir Pisagor sayıları üçlüsü olduğu açıktır; ra, pv, rs, burada p bir tamsayı çarpanıdır - Pisagor sayıları. Doğru ve geri dönüş! Bu nedenle, karşılıklı olarak üçten fazla asal Pisagor sayısının izini sürmek mümkündür (karar, bunların p tamsayı çarpanı ile çarpılmasıdır).
Visnovok! Sayılardan biri eşleştirilmiş, diğeri eşlenmemiş ve üçüncüsü eşlenmemiş.
Eksen Pisagor üçlüsüdür: 3, 4, 5; 9+16=25. 5, 12, 13; 25 +144 = 169. 7, 24, 25; 49 +576 = 625, 8, 15, 17; 64 +225 = 289. 9, 40, 41; 81 +1600 = 1681. 12, 35, 37; 144 +1225 = 1369. 20, 21, 29; 400 +441 = 841
Derinin Pisagor üçlüsünün sayılarıyla 2, 3, 4, 5 vb. ile çarpılması durumunda şunu not etmek önemlidir. Adım üçlüklerini kaldırıyoruz. 6, 8, 10; 9,12,15. 12, 16, 20; 15, 20, 25; 10, 24, 26; 18, 24, 30; 16, 30, 34; 21, 28, 35; 15, 36, 39; 24, 32, 40; 14, 48, 50; 30, 40, 50 vb. Ayrıca Pisagor sayılarını da içerir
Pisagor sayılarının kuvvetleri Pisagor sayılarına bakarken bazı kuvvetleri dikkate aldım: 1) Pisagor sayılarından biri üçün katıdır; 2) bunlardan biri chotiri'nin katı olabilir; 3) Diğer Pisagor sayıları da beşin katlarıdır;
Pisagor sayılarının daha pratik kullanımı
Özet: Çalışmam sonucunda bana 1. Pisagor, hayatı, Pisagorluların kardeşliği hakkında daha fazla bilgi edinin. 2. Pisagor teoreminin tarihçesini öğrenin. 3. Pisagor sayılarını, gücünü öğrenin, bulmayı öğrenin. Pisagor sayılarını kullanarak doğrudan bir çizgi koyabileceğimiz deneysel olarak doğrulandı.
Hadi daha yakından bakalım Farklı yollar Etkili Pisagor üçlülerinin üretilmesi Pisagor bilim adamları, Pisagor üçlülerini oluşturmak için basit bir yöntem bulan ilk kişilerdi; bir Vikorist formülü ve bazı kısımları Pisagor üçlüsünü oluşturuyor:
M 2 + ((M 2 − 1)/2) 2 = ((M 2 + 1)/2) 2 ,
De M-Neparne, M>2. Doğru,
4M 2 + M 4 − 2M 2 + 1
M 2 + ((M 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((M 2 + 1)/2) 2 .
4
Antik Yunan filozofu Platon da benzer bir formül önerdi:
(2M) 2 + (M 2 − 1) 2 = (M 2 + 1) 2 ,
De M- Sayı ne olursa olsun. İçin M= 2,3,4,5 aşağıdaki üçlüler oluşturulur:
(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).
Aslında bu formüller olası tüm ilkel üçlüleri temsil edemez.
Polinomların toplamına ayrışan bir sonraki polinoma bakalım:
(2M 2 + 2M + 1) 2 = 4M 4 + 8M 3 + 8M 2 + 4M + 1 =
=4M 4 + 8M 3 + 4M 2 + 4M 2 + 4M + 1 = (2M(M+1)) 2 + (2M +1) 2 .
İlkel üçüzleri türetmeye yönelik formüller şunlardır:
A = 2M +1 , B = 2M(M+1) = 2M 2 + 2M , C = 2M 2 + 2M + 1.
Bu formüller, ortalama sayısı en büyüğünden birer artan üçlüler oluşturur; dolayısıyla tüm olası üçlüler oluşturulmaz. Burada ilk üçler daha da gelişmiş oluyor: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).
Tüm ilkel üçlülerin oluşum yöntemlerini belirlemek için güçlerinin izini sürün. Öncelikle yakscho ( a, b, c) ilkel bir üçlüdür, o zaman Aі B, Bі C, Aі C- Suç karşılıklı olarak affedilecektir. Hadi gidelim Aі B ile paylaş D. Todi A 2 + B 2 - ayrıca bölünebilir D. Görünüşe göre, C 2 sabah C paylaşma sorumluluğu D. Bu ilkel bir üçlü değil.
Başka bir deyişle sayıların ortası A, B Biri erkek olabilir, diğeri ise eşleşmemiş olabilir. Adil olmak Aі B- çocuklar o zaman H Erkek olduğu için sayılar 2'ye bölünebilir. Kokular eşleştirilmediğinden 2 olarak temsil edilebilir. k+1 ve 2 ben+1, de k,ben- Deyaki sayıları. Todi A 2 + B 2 = 4k 2 +4k+1+4ben 2 +4ben+1, H 2, yak ben A 2 + B 2, 4'e bölündüğünde 2 fazlası olabilir.
Hadi gidelim H- sayı ne olursa olsun o zaman H = 4k+Ben (Ben= 0, ..., 3). Todi H 2 = (4k+Ben) 0 veya 1'in üzerine 2 bırakılabilir, 2'nin üzerine bırakılamaz. Bu şekilde, Aі B eşleştirme kaldırılamaz, o zaman A 2 + B 2 = 4k 2 +4k+4ben 2 +4ben+1 ve bölmede fazlalık H 2'ye 4 1 olabilir, bu da ne anlama geliyor? H Eşleştirilmemiş olabilir.
Pisagor üçlüsünün unsurlarına sağlanan bu tür faydalar aşağıdaki sayıları karşılar:
A = 2milyon, B = M 2 − N 2 , C = M 2 + N 2 , M > N, (2)
De Mі N- Farklı ortaklarla karşılıklı olarak basit. İlk olarak, bu mevduatlar 2300 kişi hayatta olan Öklid'in babasından biliniyordu. geri.
Mevduatın adilliğini kanıtlayalım (2). Hadi gidelim A- dostum, todi Bі C- Neparni. Todi C + B Ben C − B- Çocuklar. Ix şu şekilde görülebilir: C + B = 2senі C − B = 2v, de sen,v- Günler tam sayıdır. Tom
A 2 = H 2 − B 2 = (C + B)(C − B) = 2sen·2 v = 4UV
Ben o ( A/2) 2 = UV.
Bunu kabul edilemez gibi gösterebilirsin senі v- Birbirinizi affedin. Hadi gidelim senі v- ile paylaş D. Todi ( C + B) O ( C − B) bölünmüştür D. Ve şu Cі B paylaşma sorumluluğu D ve Pisagor üçlüsünü düşünmek çok önemlidir.
yani yak UV = (A/2) 2 ila senі v- Basitçe söylemek gerekirse, bunu iletmek zor senі v buti'yi yakiho sayılarının kareleriyle fırlatın.
Bu şekilde pozitif tam sayılar bulunur Mі N, ne olmuş sen = M 2 sabah v = N 2. Todi
A 2 = 4UV = 4M 2 N 2, ne olmuş yani?
A = 2milyon; B = sen − v = M 2 − N 2 ; C = sen + v = M 2 + N 2 .
yani yak B> 0 ise M > N.
Ne olduğunu göstermek için çok geç Mі N bir miktar buharlılık var. Yakşço Mі N- çocuklar o zaman senі v Erkek olmak size kalmış, ama bu imkansız çünkü pis koku karşılıklı olarak basit. Yakşço Mі N-Neparni o zaman B = M 2 − N 2 sabah C = M 2 + N 2'si erkek olurdu, imkansız, kıymık Cі B- Birbirinizi affedin.
Böyle bir rütbeye sahip olan Pisagor üçlüsü ne kadar ilkel olursa olsun zihni tatmin etmekten suçludur (2). Bu numarada Mі N arandı sayı üretmek ilkel üçler. Örneğin ilkel Pisagor üçlüsünü (120,119,169) unutmayalım. Bu durumda
A= 120 = 2 12 5, B= 119 = 144 − 25, yani C = 144+25=169,
De M = 12, N= 5 - sayı üretme, 12> 5; 12 ve 5 - karşılıklı olarak basit ve farklı çiftler.
Acıyı güncel hale getirebilirsiniz M, N formül (2)'den sonra ilkel Pisagor üçlüsünü (a, b, c) verir. Doğru,
A 2 + B 2 = (2milyon) 2 + (M 2 − N 2) 2 = 4M 2 N 2 + (M 4 − 2M 2 N 2 + N 4) =
= (M 4 + 2M 2 N 2 + N 4) = (M 2 + N 2) 2 = C 2 ,
Tobto ( A,B,C) - Pisagor üçlüsü. Bakalım neler oluyor A,B,C- Sayılar karşılıklı olarak basittir. Bu sayıları ikiye bölelim P> 1.Oskilki Mі N bir miktar buharlılık var, o zaman Bі C- unparni o zaman P≠ 2. Parçalar R bölmek Bі C, O R 2'ye bölünebilir M 2 ve 2 N 2 ama bu imkansız P≠ 2.Tom M, N- Her şey karşılıklı olarak basit A,B,C- birbirinizi affedin.
Tablo 1, formüller (2) tarafından oluşturulan tüm ilkel Pisagor üçlülerini göstermektedir. M≤10.
Tablo 1. İlkel Pisagor üçlüleri M≤10
| M | N | A | B | C | M | N | A | B | C |
| 2 | 1 | 4 | 3 | 5 | 8 | 1 | 16 | 63 | 65 |
| 3 | 2 | 12 | 5 | 13 | 8 | 3 | 48 | 55 | 73 |
| 4 | 1 | 8 | 15 | 17 | 8 | 5 | 80 | 39 | 89 |
| 4 | 3 | 24 | 7 | 25 | 8 | 7 | 112 | 15 | 113 |
| 5 | 2 | 20 | 21 | 29 | 9 | 2 | 36 | 77 | 85 |
| 5 | 4 | 40 | 9 | 41 | 9 | 4 | 72 | 65 | 97 |
| 6 | 1 | 12 | 35 | 37 | 9 | 8 | 144 | 17 | 145 |
| 6 | 5 | 60 | 11 | 61 | 10 | 1 | 20 | 99 | 101 |
| 7 | 2 | 28 | 45 | 53 | 10 | 3 | 60 | 91 | 109 |
| 7 | 4 | 56 | 33 | 65 | 10 | 7 | 140 | 51 | 149 |
| 7 | 6 | 84 | 13 | 85 | 10 | 9 | 180 | 19 | 181 |
Bu tablonun analizi bir dizi modelin varlığını göstermektedir:
1971'de doğdu Amerikalı matematikçiler Teigan ve Hedwin, üçüzlerin nesli için, rektikütanöz trikütanöz dokunun yüksekliği (yüksekliği) gibi düşük profilli parametrelerini önerdiler. H = C− b bu fazlalık (başarı) e = A + B − C. Şekil 1'de. sıradan trikütanöz bitkinin büyüklüğünün göstergeleri.
Malyunok 1. Yogo zrostannya ve nadlishok için düz kesimli trikutnik
"Fazla tedarik" adı, bunun ek bir adım olduğu gerçeğine benzer, çünkü trikübitusun yanları boyunca bir tepe noktasından uzantıya kadar ilerlemek gerekir, çünkü köşegeni boyunca ilerlemez.
Pisagor üçlüsünün kenarlarının aşırı büyümesiyle bunu şu şekilde ifade edebiliriz:
e 2 e 2
A = H + e, B = e + ——, C = H + e + ——, (3)
2H 2H
Tüm kombinasyonlar değil Hі e Pisagor trikuputanlarına benzer olabilir. Belirli bir şey için H olası değerler e- Bunu aynı tarihte yapın D. Bu numara D Büyüme ve erişim olarak adlandırılabilir H Sıralamayla ilerleyelim: D- Karesi 2'ye bölünebilen en küçük pozitif tam sayıdır H. yani yak eçoklu D, o zaman şu şekilde yazılacaktır: e = kd, de k- Kesinlikle.
Yardım isteyen çiftler ( k,H) ilkel olanlar ve normal olanlar da dahil olmak üzere tüm Pisagor trikübitüllerini şu şekilde oluşturabilirsiniz:
(dk) 2 (dk) 2
A = H + dk, B = dk + ——, C = H + dk + ——, (4)
2H 2H
Üstelik bu üçü ilkeldir, çünkü kі H- Karşılıklı olarak basit ve basit H =± Q 2'de Q- Eşleştirilmedi.
Ayrıca bu Pisagor üçlüsü olacaktır. k> √2· H/Dі H > 0.
Bilmen gerekiyor kі H z ( A,B,C), aşağıdakileri oluşturun:
Örneğin üç (8,15,17) için şunları yapabiliriz: H= 17−15 = 2 1 ise P= 2 ben Q = 1, D= 2, ben k= (8 − 2)/2 = 3. Yani bu üçlü ( k,H) = (3,2).
Üç (459,1260,1341) için şunları yapabiliriz: H= 1341 − 1260 = 81, ayrıca P = 1, Q= 9 ben D= 18, zvidsi k= (459 − 81)/18 = 21, dolayısıyla bu üçünün kodu daha eskidir ( k,H) = (21, 81).
Üç kişiyi yardıma çağırdı Hі k Yetkililer arasında düşük olabilir. Parametre k daha eski
k = 4S/(dP), (5)
De S = ab/2 trikütanöz alanın alanıdır ve P = A + B + C- Yogo çevresi. Coşkuyla akıyor eP = 4S Pisagor teoreminden gelen.
Düz kesimli trikütanöz için eüç küpte yazılı kazık çapına eşittir. Bu, hipotenüsün olmasından kaynaklanmaktadır. H = (A − R)+(B − R) = A + B − 2R, de R- Kazığın yarıçapı. Zvidsi H = C − B = A − 2Rі e = A − H = 2R.
İçin H> 0 ila k > 0, kє üçlü seri numarası A-B-C büyümedeki Pisagor trikuputans dizisinde H. Tablo 2 çiftler halinde oluşturulan üçüzler için bir dizi seçeneği göstermektedir H, k bunun arttığı açık k Trikütanöz ağacın kenarlarının boyutu artar. Böylece klasik numaralandırma yerine çiftler halinde numaralandırma yapılmıştır. H, kÜçlü dizilerde daha büyük bir düzen vardır.
Tablo 2. h, k çiftleri tarafından oluşturulan Pisagor üçlüleri.
| H | k | A | B | C | H | k | A | B | C |
| 2 | 1 | 4 | 3 | 5 | 3 | 1 | 9 | 12 | 15 |
| 2 | 2 | 6 | 8 | 10 | 3 | 2 | 15 | 36 | 39 |
| 2 | 3 | 8 | 15 | 17 | 3 | 3 | 21 | 72 | 75 |
| 2 | 4 | 10 | 24 | 26 | 3 | 4 | 27 | 120 | 123 |
| 2 | 5 | 12 | 35 | 37 | 3 | 5 | 33 | 180 | 183 |
İçin H > 0, D kaygıyı giderir 2√ H ≤ D ≤ 2H alt sınıra ne zaman ulaşılabileceği P= 1 ve üstteki - Q= 1. Bu yüzden D shodo 2√ H- sayısı kadar H Belirli bir sayının karesine olan uzaklıklar.
Rivnyanya'nın kalıntıları X 2 + sen 2 = z 2 eşit olarak, çarpma ile X , senі z aynı sayı başka bir Pisagor üçlüsünü verir. Pisagor üçlüsü denir ilkel Bu şekilde ayrılamadıklarından aralarında asal sayılardırlar.
Bu Pisagor üçlüleri (ilkel olarak görülen maksimum sayıya göre sıralanmıştır):
(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…
Pisagor üçlüleri uzun zamandır ortalıkta dolaşıyor. Eski Mezopotamya mezar taşlarının mimarisinde, kenarları 9, 12 ve 15 litre olan iki dikdörtgenden katlanmış izosfemoral bir tricubitus vardır. Firavun Sneferu'nun piramitleri (MÖ XXVII. Yüzyıl), kenarları 20, 21 ve 29 olan üç parçalı üçgenlerin yanı sıra 18, 24 ve 30 Mısır litresinden yapılmıştır.
X Uygulamalı ve Endüstriyel Matematik Tüm Rusya Sempozyumu. St.Petersburg, 19 Mayıs 2009.
Diophantine Rivne'yi çözmek için algoritma.
Robot, Diophantine seviyelerini araştırma yöntemini inceliyor ve sonuçları şu yöntemle sunuyor: - Fermat'ın büyük teoremi; - Pisagor üçlüleri vb. hakkında şakalar. http://referats.protoplex.ru/referats_show/6954.html
Wikimedia Vakfı. 2010.
Matematikte, Pisagor sayıları (Pisagor üçlüsü), Pisagor denklemini karşılayan üç tam sayıdan oluşan bir gruptur: x2 + y2 = z2. Zmіst 1 Güç … Vikipedi
Öyle doğal sayıların üçlüleri ki, bazılarının trikutnik, düzine kenarları bu sayılarla orantılı (ve eşit) ve dikdörtgen olanlar örneğin. Üç sayı: 3, 4, 5… Büyük Ansiklopedik Sözlük
Doğal sayılardan herhangi birinin trikutnik, düzine kenarları bu sayılarla orantılı (ve eşit) ve dikdörtgen olacak şekilde üçlüler. Teoreme göre, pis kokmanın yeterli olduğu Pisagor'un ters teoremi (böl. Pisagor teoremi) ... Büyük Radyanska Ansiklopedisi
x2 + 2 = z2 denklemini sağlayan x, y, z tam pozitif sayılarının üçlüleri. Çabalarımız her zaman ve tüm yıl boyunca yapıldı. x=a 2 b2, y=2ab, z=a2+b2 formülleriyle ifade edilir; burada a, b ek hedeflerdir pozitif sayılar(a>b). P. yıl. Matematik ansiklopedisi
Trikutnik, düzine kenarları bu sayılarla orantılı (veya eşit) olan ve örneğin dikdörtgen olan doğal sayıların üçlüleri. Üç sayı: 3, 4, 5… Doğa çalışmaları. Ansiklopedik sözlük
Düzine kenarları bu sayılara orantılı (veya eşit) olan trikutnik olan bu tür doğal sayıların üçlüleri dikdörtgendir, örneğin bir sayı üçlüsü: 3, 4, 5. * * * Ansiklopedik sözlük
Matematikte bir Pisagor üçlüsüne üç doğal sayıdan oluşan bir demet denir ve bu da Pisagor'un görüşünü karşılar: Pisagor üçlüsünü oluşturan sayılara Pisagor sayıları denir. 1. İlkel üçlük… Vikipedi
Pisagor teoremi, rektikütanöz trikupusun kenarları arasındaki ilişkiyi kuran Öklid geometrisinin ana teoremlerinden biridir. 1. Sıra … Vikipedi
Pisagor teoremi, rektikütanöz trikupusun kenarları arasındaki ilişkiyi kuran Öklid geometrisinin ana teoremlerinden biridir. 1 Formül 2 Kanıtı... Vikipedi
Adil olmak gerekirse, P bir tamsayı fonksiyonudur (örneğin, tamsayı katsayılı bir polinom) ve değişiklikler değer amacıyla alınır. Adını antik Yunan matematikçi Diophantus'tan almıştır. 1. Sıra Başvur... Vikipedi
» Bilimin önde gelen popülerleştiricilerinden biri olan Warwick Üniversitesi'nden Emeritus Matematik Profesörü Ian Stewart, kendini sayıların insanlık tarihindeki rolüne ve bunların zamanımızdaki önemine adamıştır.
Pisagor trikübitülleri düzdür ve ayrılmaz kenarları vardır. En basit durumda, bulunan tarafın 5, diğerinin 3 ve 4'lük bir dowzhin'i vardır. Her durumda, 5 doğru zengin taraf vardır. Beşinci adımın kökleri beşinci adımın köklerine ya da başka bir köke kadar izlenemez. Düzlükteki ve önemsiz genişlikteki bedavalar, ambalajın beşli simetrisini taşımaz, bu yüzden bu tür simetriler günlük ve kristallerdedir. Bununla birlikte, koku neredeyse dünya çapındaki her alanda ve yarı kristaller olarak bilinen küçük yapılarda mevcut olabilir.
Pisagor teoremi, doğrusal bir üçgenin (ünlü hipotenüs) bir tarafının üçgenin diğer iki tarafıyla ilişkili olduğunu söyler, çok basit ve güzeldir: Hipotenüsün karesi diğer ikisinin karelerinin toplamına eşittir taraflar.
Bu teoreme geleneksel olarak Pisagor'un adı verilir, ancak aslında hikaye oldukça belirsizdir. Kil tabletler, eski Babillilerin Pisagor teoremini Pisagor'dan çok önce bildiklerini gösteriyor; Yazarın şöhreti ona, taraftarları tüm temeller dünyasının sayısal yasalara dayandığına inanan Pisagorcuların matematik kültü tarafından getirildi. Eski yazarlar Pisagorlulara ve ayrıca Pisagor'a çeşitli matematik teoremlerini atfetmişlerdir, ancak gerçekte Pisagor'un matematikte ele aldığı teoremler hakkında hiçbir ifade yoktur. Pisagorcuların Pisagor teoremini kanıtlayıp kanıtlayamadıklarını ya da sadece bunun doğru olduğuna inanıp inanmadıklarını bilmiyoruz. Ya da en kesin olanı, kendi gerçekleri hakkında kapsamlı verilere sahip olmalarıydı ve bu veriler, bugün kanıt olarak değer verdiğimiz verilerle kesinlikle tutarlı olmayacaktı.
Pisagor teoreminin bilinen ilk kanıtı Öklid'in "Cobs"unda bulunur. İşte Viktorya dönemi okul çocuklarının Pisagor pantolonunu hemen tanıdığı Viktorya dönemi koltuğundan basit bir kanıt; Sandalye ve gerçek şu ki, iç çamaşırı motosikletin üzerinde kuruyor. Kelimenin tam anlamıyla, çoğu daha açık olan yüzlerce başka kanıt var.
// Küçük 33. Pisagor pantolonu
En basit kanıtlardan biri bir tür matematiksel bulmacadır. Düz kesilmiş herhangi bir üç köşeli atın, birkaç kopyasını alın ve bunları karenin ortasından toplayın. Bir bachimo yerleştirildiğinde kare hipotenüs üzerindedir; diğeriyle - trikübitusun diğer iki tarafındaki kareler. Bu durumda hem bu hem de diğer aşamadaki alanın daha da olgunlaşacağı açıktır.
// Küçük 34. Zliva: hipotenüs üzerindeki kare (artı birkaç trikütanöz kas). Sağ el: diğer iki taraftaki karelerin toplamı (artı aynı trikübitüller). Şimdi tişörtüleri aç
Perigal'in diseksiyonu başka bir kanıt bulmacasıdır.
// Küçük 35. Perigal Gülü
Ayrıca karelerin bir düzleme yerleştirilmesinin vikoristiklerine dayanan teoremin bir kanıtı da vardır. Pisagorcuların ve onların görünmez ardıllarının bu teoremi kendilerinin keşfetmesi mümkündür. Eğik bir karenin diğer iki kareyle nasıl örtüştüğüne bakarsanız, büyük bir kareyi parçalara ayırıp daha sonra bu karelerden iki küçük kareyi katlamak gibi bir şey yapabilirsiniz. Ayrıca kenarları üç karenin boyutlarını veren düz kesimli üçgenleri de kullanabilirsiniz.
// Küçük 36. Kaldırımların kanıtı
Ve işte trigonometrideki benzer trikuletlerin geçmişinden elde edilen kanıtlar. En az elli farklı delil var.
Sayı teoremi, Pisagor teoremi, verimli bir fikrin çekirdeği haline geldi: cebirsel denklemlere tamsayı çözümleri bulmak. Pisagor üçlüsü - a, b ve c tam sayılarından oluşan bir dizi, örneğin
Geometrik olarak böyle bir üçlü, her tarafı düz kesilmiş bir üçgen anlamına gelir.
Pisagor üçlüsünün en küçük hipotenüsü 5'e eşittir.
Bu formanın diğer iki tarafı 3 ve 4 olacak.
32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.
Hipotenüsün değeri 10'a eşittir, yani
62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.
Ancak özünde iki tarafı da aynı trikutniktir. Değerden sonra gelir ve aslında onun için diğer hipotenüs 13'e eşittir.
52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.
Öklid, Pisagor üçlülerinin birçok farklı çeşidinin bulunduğunu biliyordu ve hepsini bulmak için formül denebilecek bir formül verdi. Daha sonra Oleksandrialı Diophantus, Öklid teorisinden kaçınan basit bir tarif önerdi.
Herhangi iki doğal sayıyı alın ve hesaplayın:
Eski alt bölümler;
karelerindeki fark;
karelerinin toplamı.
Ortaya çıkan üç sayı Pisagor trikuputunun kenarları olacaktır.
Örneğin 2 ve 1 rakamlarını ele alalım. Sayılabilir:
alt bölüm tvir: 2×2×1 = 4;
karelerdeki fark: 22 - 12 = 3;
kareler toplamı: 22 + 12 = 5,
ve trikütikül 3–4–5'i çıkardık. Bu 3 ve 2 sayısının yerine geçersek iptal ederiz:
alt bölüm tvir: 2×3×2 = 12;
karelerdeki fark: 32 - 22 = 5;
kareler toplamı: 32 + 22 = 13,
ve popüler trikutnik 5 - 12 - 13 elendi. 42 ve 23 sayılarını alıp elemeye çalışalım:
alt bölüm tvir: 2×42×23 = 1932;
karelerdeki fark: 422 - 232 = 1235;
kareler toplamı: 422 + 232 = 2293,
hiç kimse trikutnik 1235–1932–2293'ü duymadı.
Tüm sayılar da telaffuz edilir:
12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.
Diophantine kuralının daha önce de belirttiğimiz gibi bir özelliği daha var: Üç sayıyı çıkardıktan sonra yeterli bir sayı daha alıp hepsini yeni bir sayıyla çarpabiliriz. Bu şekilde 3-4-5'lik bir tricut, tüm kenarları 2 ile çarpılarak 6-8-10'luk bir trikoya veya her şey 5 ile çarpılarak 15-20-25'lik bir trikoya dönüştürülebilir.
İngiliz cebirine geçerken kural netleşir: u, v ve k doğal sayılar olsun. Todi düz kesimli, yanları olan tricut
2kuv ve k (u2 - v2) hipotenüstür
Temel fikirleri anlatılan şeye indirgemek yerine ifade etmenin başka yollarını bulun. Bu yöntem tüm Pisagor üçlülerini kaldırmanıza olanak tanır.
Tam olarak beş düzenli zengin yön vardır. Düzenli bir çokyüzlü (veya çokyüzlü), son sayıda düz yüze sahip hacimsel bir şekildir. Yüzler, kenarlar adı verilen tek bir çizgide birleşir; kenarlar köşe adı verilen noktalarda keskinleşir.
Öklid "Koçanları"nın doruk noktası, dış kenarı olan beşten fazla düzenli zengin yüzlü veya zengin yüzlü olabileceğinin kanıtıdır. doğru zengin adam(Eşit kenarlar, eşit kenarlar), tüm yüzler aynıdır ve tüm köşeler eşit sayıda ancak genişletilmiş yüzlerle işaretlenmiştir. Beş düzenli zengin tarafın ekseni:
üç üçgen yüze, birkaç köşeye ve altı kenara sahip bir tetrahedron;
6 kare yüzü, 8 köşesi ve 12 kenarı olan küp veya altı yüzlü;
8 üçlü yüze, 6 köşeye ve 12 kenara sahip oktahedron;
12 beşgen yüze, 20 köşeye ve 30 kenara sahip on iki yüzlü;
20 yan yüze, 12 köşeye ve 30 kenara sahip bir ikosahedron.
// Küçük 37. Beş düzenli zengin taraf
Doğru çokyüzlüler doğada bulunabilir. 1904'te Ernst Haeckel, radyolaryanlar olarak bilinen minik organizmaları yayınladı; Şekillerinden beş normal zengin yönü tahmin edebilirsiniz. Ancak doğayı biraz değiştirerek bu mümkün oluyor ve küçük olanlar belirli canlıların formunu tam olarak yansıtmıyor. İlk üç yapı kristallerde de gözlenir. Düzensiz dodekahedronlar ve ikosahedronlar bazen orada sıkışıp kalsa da, kristallerde dodekahedronları ve ikosahedronları bulamazsınız. Aynı dodekahedronlar, atomlarının periyodik bileşikler oluşturmaması nedeniyle kristallere benzeyen yarı kristaller görünümüne sahip olabilir.
// Küçük 38. Haeckel'in bebekleri: Düzenli zengin kenarlı yüzler biçimindeki radyolarlar
// Küçük 39. Düzenli olarak zengin yönlerin listesi
İlk önce birbirine bağlı bir dizi yüz gördükten sonra, bir kağıttan düzenli zengin yüzeylerden oluşan bir modelle çalışmak kolaydır - buna zengin yüzey kısmı denir; Yığını kaburgalar boyunca katlayın ve üst kaburgaları birbirine yapıştırın. Şekil 2'de gösterildiği gibi derinin kenarlarından birine yapıştırıcı için ek bir ped eklemek önemlidir. 39. Böyle bir kızlık yoksa yapışkan dikişi kaldırabilirsiniz.
5. seviyenin en üst seviyesi için cebirsel bir formül yoktur.
Geleneksel görüşe göre beşinci aşamanın seviyesi şöyle görünür:
ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.
Sorun, bu tür kıskançlığı serbest bırakmanın formülünü bilmektir (birinin en fazla beş kararı olabilir). Kare ve kübik seviyelerin yanı sıra dördüncü aşamanın seviyeleri ile olan ilişkinin kanıtı, böyle bir formülün beşinci aşamanın seviyeleri için geçerli olduğunu varsaymamıza izin verir ve bu fikre göre, içinde şöyle görünür: ve beşinci, üçüncü ve diğer derecelerin kökü. Bir kez daha, böyle bir formülün göründüğü şekliyle daha da karmaşık görüneceğini rahatlıkla kabul edebiliriz.
Bu af merhametli olanlara vahyedildi. Doğru, böyle bir formül yok; a, b, c, d, e ve f katsayılarının, yardımcı kıvrımlarla katlanıp, katlanıp çarpılıp alt bölümlere bölündükten sonra köklerin bükülmesinden oluşan bilinen bir formül yoktur. Bu bakımdan 5. evin ortası tamamen özeldir. Beşlinin bu beklenmedik davranışının nedenleri çok derin ve anlamaları tam bir saat sürdü.
Sorunun ilk işareti, matematikçilerin böyle bir formül bulmaya ne kadar çalışırlarsa çalışsınlar, ne kadar mantıklı olurlarsa olsunlar, her zaman başarısızlıkları fark etmeleriydi. Saatlerce herkes, nedenlerin formülün inanılmaz karmaşıklığında yattığı gerçeğine dikkat etti. Hiç kimsenin bu cebirde başarılı olamaması önemliydi. Ancak zamanla birçok matematikçi böyle bir formülün doğru olduğundan şüphe etmeye başladı ve 1823'te Niels Hendrick Abel bunu daha da ileri götürmeye karar verdi. Böyle bir formül yok. Bundan sonra Nezabar, Evarist Galois, bu tür bir formül yardımıyla şu veya bu seviyenin (5., 6., 7., her neyse) seviyesini nasıl belirleyeceğinizi belirlemenin en iyi yolunu biliyor.
Sembol basittir: 5 sayısı özeldir. Cebir seviyesini kullanabilirsiniz (köklerin yardımıyla) n. aşama farklı değerler için n) 1, 2, 3 ve 4. aşamalar için, ancak 5. aşama için değil. Açık modelin bittiği yer burasıdır.
5'in üzerindeki adımların seviyesinin daha da sıkı olmasına kimse şaşırmıyor; Ancak aynı karmaşıklık onlarda da mevcut: Çok yönlülüklerini açıklayacak şifreli formüller yok. Bu, kıskançlığın bir çözüm olmadığı anlamına gelmez; Bu aynı zamanda bu çözümlerin sayısal değerlerini daha kesin olarak bilmenin imkansız olduğu anlamına da gelmez. Sağdaki her şey geleneksel cebirsel araçlarla çevrilidir. Bu bize cetvel ve pergel kullanarak üçe bölmenin imkansızlığını hatırlatıyor. Cevap açık ama abartılı yöntemler yetersiz kalıyor ve ne olduğunu tespit etmemize izin vermiyor.
İki ve üç vimirin kristalleri 5-promenian simetri sargısına sahip değildir.
Kristaldeki atomlar, birçok bağımsız yönde periyodik olarak tekrarlanan bir yapı oluşturur. Örneğin kafeslerdeki bebekler her rulodan sonra tekrarlanır; Ek olarak, bir kafes şeridini bir sonraki adıma çekerken aynı zamanda bunu yatay yönde tekrarlamak gerekir. Aslında kafes iki dünyalı bir kristaldir.
Ovada 17 çeşit kafes yengeci bulunmaktadır (Bölüm 17). Simetri türleri için ve küçükleri, şarabın koçan pozisyonunda kendi üzerine yatacağı şekilde acımasızca yok etmenin yolları için yarışacaklar. Yakından bakıldığında simetri türlerine kadar sarma simetrisinin farklı varyasyonları görülebilir; burada küçükler şarkı kesimini şarkı noktasına, simetrinin merkezine doğru çevirir.
Sargının simetri sırası, bebeğin tüm parçaları ilk pozisyonda dönene kadar vücudu kaç kez döndürebileceğinizdir. Örneğin 90°'lik bir dönüş, 4. dereceden ambalajın simetrisidir. Kristal bir kafes içinde sarmanın olası simetri türlerinin listesi bir kez daha 5 sayısının önemsizliğini doğrular: yok. 2., 3., 4. ve 6. sıra sarmaların simetrisine dayalı bir seçenek vardır, aksi halde kafes bebeğin 5. sıra sarmaların simetrisi yoktur. Kristallerde 6'dan büyük sarma simetrileri hala oluşmaz, ancak dizi bozulursa yine 5 numarada görünürler.
Önemsiz uzaydaki kristalografik sistemlerle ilgili aynı deneyimler. Burada ücretsizler, bağımsız bir direktifle üç kez kendi kendilerine tekrarlanıyor. Bebeğin ayna görüntüsünü bir seçenek olarak gördüğümüz için 219 farklı simetri türü veya 230 vardır - bu tipte ayna simetrisi olmamasına rağmen. Yine, 5 yerine 2, 3, 4 ve 6. sıraların sarma simetrilerine dikkat edin. Bu gerçek, kristalografik sınır adından çıkarılır.
Kafesin geniş alanı 5. dereceden simetriye sahiptir; Genel olarak yüksek boyutlara ulaşmak amacıyla ambalajın simetri sırasını önceden sipariş etmek mümkündür.
// Küçük 40. Kristal mutfak tuzu topakları. Koyu renkli torbalar sodyum atomlarını, açık renkli torbalar ise klor atomlarını temsil eder.
İki boyutlu ve üç boyutlu kristallerde 5. dereceden simetri mümkün olmasa da kuasikristaller olarak bilinen daha az düzenli yapılarda bulunabilir. Kepler'in çizimlerini hızla yazan Roger Penrose, daha aşırı bir beş katlı simetriye sahip düz sistemler keşfetti. Yarı kristallerin adını aldılar.
Kuasikristaller doğada görünür. 1984'te doğdu Daniel Shekhtman, alüminyum ve manganez alaşımının yarı kristaller oluşturabileceğini keşfetti; Başlangıçta kristalografi bu şüpheciliğin farkındaydı, ancak daha sonra bu açıklama doğrulandı ve 2011'de. Shekhtman ödüllendirildi Nobel Ödülü kimyadan. 2009 yılında Luca Bindi'nin araştırması kapsamındaki bilim adamlarından oluşan bir ekip, Rus Koryak kayasındaki alüminyum, orta ve sodalı su ile bağlantılı minerallerde yarı kristaller keşfetti. Bugün bu minerale ikosahedrit adı verilmektedir. Çeşitli izotoplara sahip minerallerde asit kullanmak yerine kütle spektrometresi kullanarak bu mineralin Dünya'ya ait olmadığını artık göstermiş oldular. Yaklaşık 4,5 milyar yıl önce kuruldu. uykulu sistem Sadece ortaya çıktı ve bir fırtına yörüngesini değiştirip Dünya'ya getirene kadar saatin çoğunu asteroit kuşağında Güneş'in etrafında dönerek geçirdi.
// Küçük 41. Zliva: Tam beş katlı simetriye sahip iki yarı kristal kapıdan biri. Sağ el: ikosahedral alüminyum-paladyum-manganez yarı kristalinin atom modeli
