Pateikiame trijų praktinių pažangių racionaliųjų trupmenų integravimo pritaikymų ataskaitą:
,
,
.
Apskaičiuokite integralą:
.
Čia, po integralo ženklu, yra racionali funkcija; Turtingo standarto nario žingsniai ( 3 ) yra mažesnis už skaičiaus turtingojo termino žingsnį ( 4 ). Būtina, kad ta ranka matytų visą trupmenos dalį.
1.
Mes matome visą trupmenos dalį. Dilimo x 4
ant x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:
Žvіdsi
.
2.
Išdėliojame trupmenos reklamjuostę į daugiklius. Tam reikia išplėsti kubinį išlyginimą:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6
.
Įsivaizduokite x = 1
:
.
1
. Dilimo x - 1
:
Žvіdsi
.
Virishuemo kvadratas lygus.
.
Šaknies linija:,.
Todi
.
3.
Išdėstykime paprastais žodžiais.
.
Tėve, mes žinojome:
.
Integruojamas.
Apskaičiuokite integralą:
.
Čia, skaitiklyje, trupmena yra turtingas nulinio žingsnio narys ( 1 = x0). Reklamuotojas turi turtingą trečiojo etapo narį. Oskilki 0 < 3 , tada drіb yra teisingas. Išskaidykime її pagal paprasčiausias trupmenas.
1.
Išdėliojame trupmenos reklamjuostę į daugiklius. Kam reikia virishiti trečią laipsnį:
.
Priimtina, kad gali būti tik viena šaknis. Todі vіn є dіlnik numeris 3
(Narys be x). Taigi visa šaknis gali būti vienas iš skaičių:
1, 3, -1, -3
.
Įsivaizduokite x = 1
:
.
Tėve, mes žinojome vieną šaknį x = 1
. Dilimo x 3 + 2 x - 3 ant x- 1
:
Otzhe,
.
Virishuemo kvadrato lygiavimas:
x 2+x+3=0.
Žinomas diskriminantas: D = 1 2 - 4 3 = -11. Oskilkis D< 0
, tada nėra tikrų šaknų. Šiame reitinge mes pašalinome reklamjuostės išdėstymą į daugiklius:
.
2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1)
.
Įsivaizduokite x = 1
. Todi x - 1 = 0
,
.
Įsivaizduokime (2.1)
x= 0
:
1 = 3 A - C;
.
Lygus (2.1)
koeficientai ties x 2
:
;
0 = A+B;
.
.
3.
Integruojamas.
(2.2)
.
Skaičiuojant kitą integralą, skaičių knygelėje matyti, kad reklamjuostės nebėra, o reklamjuostė iškelta iki kvadratų sumos.
;
;
.
Skaičiuojamas I 2
.
.
Oskilki Rivnyannia x 2+x+3=0 neturi tikrų šaknų, tada x 2 + x + 3 > 0. Todėl modulio ženklo galima praleisti.
Pateikta (2.2)
:
.
Apskaičiuokite integralą:
.
Čia, po integralo ženklu, yra drib іz turtingi terminai. Todėl integruota virazė yra racionali funkcija. Dauginamo žingsniai skaičių knygoje 3 . Trupmenos reklamjuostės daugianario žingsniai yra brangesni 4 . Oskilki 3 < 4 , tada drіb yra teisingas. Tą її galima išdėstyti paprasčiausiomis trupmenomis. Ale kam reikia išdėlioti banerį ant multiplikatorių.
1.
Išdėliojame trupmenos reklamjuostę į daugiklius. Kam būtina virishiti prilygti ketvirtam žingsniui:
.
Priimtina, kad gali būti tik viena šaknis. Todі vіn є dіlnik numeris 2
(Narys be x). Taigi visa šaknis gali būti vienas iš skaičių:
1, 2, -1, -2
.
Įsivaizduokite x = -1
:
.
Tėve, mes žinojome vieną šaknį x = -1
. Dilimo x - (-1) = x + 1:
Otzhe,
.
Dabar reikia virishiti išlyginti trečiąjį žingsnį:
.
Kaip paleisti, kas lygu šaknies šaknis, į dilniko skaičių 2
(Narys be x). Taigi visa šaknis gali būti vienas iš skaičių:
1, 2, -1, -2
.
Įsivaizduokite x = -1
:
.
Tėve, mes žinojome dar vieną šaknį x = -1
. Galima b, kaip i priekiniame šlaite, pridėti turtingą terminą, bet galime terminus sugrupuoti:
.
Oskilki Rivnyannia x 2 + 2 = 0
neturite tikrų šaknų, tada mes pašalinome reklamjuostės išdėstymą į daugiklius:
.
2.
Išdėstykime paprastais žodžiais. Shukaєmo išdėstymas akiratyje:
.
Zvіlnyaєmosya vіd znamennik frakcija, padauginta iš (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1)
.
Įsivaizduokite x = -1
. Todi x + 1 = 0
,
.
Profesionaliai (3.1)
:
;
.
Įsivaizduokite x = -1
beprotiška, kad x + 1 = 0
:
;
;
.
Įsivaizduokime (3.1)
x= 0
:
0 = 2A + 2B + D;
.
Lygus (3.1)
koeficientai ties x 3
:
;
1 = B+C;
.
Tėve, mes žinojome paprasčiausių trupmenų išdėstymą:
.
3.
Integruojamas.
.
„Matematikas yra kaip menininkas, jis dainuoja, kuria vizorunkus. Ir kaip tik vizierunkiai didesni už stilių, mažiau už idėjų sandėlio smarvę... mintis tik tokia, kaip spalvos, bet žodžiai kalti, vienas prieš vieną. Grožis yra pirmoji pagalba: pasaulyje nėra vietos bjauriai matematikai».
G.H.Hardi
Pirmajame skyriuje buvo planuota, kad norint pasiekti paprastas funkcijas, reikia suprasti pirmąjį, nes per elementarias funkcijas išmokti neįmanoma. Ryšium su cim šios funkcijų klasės turi didelę praktinę reikšmę, apie kurią galima tvirtai pasakyti, kad jų pirmosios yra elementarios funkcijos. Į tokią funkcijų klasę galima įžvelgti racionalios funkcijos, kuri yra dviejų algebrinių turtingų terminų išraiška Prieš integruodami racionaliąsias trupmenas, atlikite išsamią užduotį. Todėl svarbu apsvarstyti galimybę integruoti tokias funkcijas.
Racionalioji trupmena(kitaip šūvio racionali funkcija) vadinamas dviejų turtingų algebrinių terminų plėtiniu:
de i – turtingi segmentai.
Spėk turtingas narys (daugianario, visa racionali funkcija) n-tas etapas vadinama proto funkcija
de 
- dešimtainiai skaičiai. Pavyzdžiui,
- turtingas pirmojo etapo narys;
- turtingas ketvirtojo laipsnio terminas ir kt.
Vadinamas racionalus drіb (2.1.1). teisinga kaip laiptelis žemesnis už laiptelį, tobto. n<m, kitaip vadinamas drіb negerai.
Jei yra neteisinga trupmena, galite ją pateikti turtingo nario (visos dalies) ir teisingos trupmenos (trupmeninės dalies) sumos. Netaisyklingo kadro vientisumo ir nušautų dalių matymas gali būti atliekamas pagal taisyklę, esančią žemiau turtingų dalių „kut“.
2.1.1 pavyzdys.Žr. netaisyklingų racionaliųjų trupmenų skaičių ir nufotografuotą dalį:
A) 
, b) 
.
Sprendimas . a) Vikoristovuyuchi algoritmas rozpodіlu "kutochok", otrimuєmo
Tokiu būdu imame
.
b) Čia taip pat vikoristovumo algoritmas yra suskirstytas į „kutochok“:
Dėl to imame
.
Atnešime maišus. Integralo nereikšmes racionaliosios trupmenos pavidalu bendrame kritime galima parodyti integralų suma turtingo termino ir tinkamos racionalios trupmenos pavidalu. Žinoti pirminius daugianario tipus nėra sunku. Tam jie man davė svarbiausias teisingas racionalias trupmenas.
Tarp teisingų racionalių trupmenų jie mato chotiri tipi, yakі auklėti paprasčiausios (elementariosios) racionalios trupmenos:
|
3) |
4) |
de - plytelės numeris, 
, tada. kvadratinis trinaris 
Aš neturiu tikrų šaknų.
Paprasčiausių 1-ojo ir 2-ojo tipo trupmenų integravimas nesukelia didelių sunkumų:
, (2.1.3)
. (2.1.4)
Dabar galime pažvelgti į paprasčiausių 3 tipo trupmenų integraciją, o 4 tipo trupmenų nematyti.
Pažvelkime į integraciją
.
Visas integralas skaičiuojamas su keliu, kai reklamjuostėje matote visą kvadratą. Dėl to įžeidžiančios formos lentelių integralas
arba 
.
Atsargos 2.1.2.Žinokite integralus:
A) 
, b) 
.
Sprendimas . a) Iš kvadratinio trinalio matyti, kad kvadratas yra:
Žvіdsi žinoti
b) Matydami iš kvadratinio trinario naują kvadratą, paimame:
tokiu būdu,
.
Norėdami žinoti integralą
skaitmenų knygelėje galite pamatyti banerio nominalą ir integralo sklaidą dviejų integralų suma: pirmasis pagrįstas 
pažvelgti į viršų, kad pažiūrėtum
,
o kitas – iki plačių akių matymo.
2.1.3 pavyzdys.Žinokite integralus:
.
Sprendimas
. Mes tai gerbiame 
. Skaičių knygelėje matome reklamjuostės reklamjuostę:
Pirmasis integralas apskaičiuojamas po papildomo pakeitimo 
:
Kitas integralas gali matyti tą patį kvadratą prie reklamjuostės
Likęs, imk
Būkite teisingas racionalus drіb 
gali būti rodomas vienu rangu žiūrint į paprasčiausių trupmenų sumą. Kam reklamjuostė turėtų būti išdėstyta kartotiniais. Algebros požiūriu aišku, kad oda yra turtingas terminas iš efektyviųjų koeficientų
Medžiaga, indėlis į šias temas, spiralės ant vіdomosti, padavimas temose "Racionalios trupmenos. Racionaliųjų trupmenų išdėstymas elementariosiose (paprastosiose) trupmenose". Netgi raju norėtų greitai peržvelgti šią temą prieš jį, tarsi pradėtų skaityti šią medžiagą. Be to, mums reikės nereikšmingų integralų lentelės.
Spėju, pabarstyti terminais. Apie juos kalbėjau atskiroje temoje, tad čia sumaišysiu trumpas formules.
Dviejų turtingų terminų $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ plėtinys vadinamas racionalia funkcija arba racionalia trupmena. Racionalus drіb vadinamas teisinga Yaxcho $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется negerai.
Elementarios (paprasčiausios) racionalios trupmenos vadinamos kelių tipų racionaliosiomis trupmenomis:
Pastaba (bazhan, kad geriau suprastumėte tekstą): parodykite
Nauji proto poreikiai $p^2-4q< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.
Pavyzdžiui, išraiškai $x^2+5x+10$ galima imti: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Oskіlki $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.
Prieš kalbą, norint pakartotinai patikrinti cієї, tai nėra obov'yazykovo, todėl koeficientas prieš $x^2$ yra 1. Pavyzdžiui, $5x^2+7x-3=0$ reikia: $D= 7^2-4\cdot 5 \cdot (-3) = 109 USD. Jei $D > 0$, tai $5x^2+7x-3$ galima padauginti.
Taikykite racionaliąsias trupmenas (teisingas ir neteisingas), taip pat galite žinoti, kaip taikyti racionaliąją trupmeną elementariosioms trupmenoms. Čia mums lieka mažiau maisto jų integracijai. Pradėkime nuo elementariųjų trupmenų integravimo. Taip pat nelengva integruoti kelių tipų svarbiausių elementariųjų trupmenų skinus, pergalių formules, parodytas žemiau. Spėju, kad $n=2,3,4,ldots$ perkeliamas į (2) ir (4) tipo integruojančias trupmenas. Formulės (3) ir (4) reiškia $p^2-4q< 0$.
\begin(lygtis) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(lygtis) \begin(lygtis) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \pabaiga(lygtis) \begin (lygtis) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(lygtis)
$\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ pakeisti $t=x+\frac(p)(2)$, atėmus intervalas dalijamas į du. Pirmasis skaičiuojamas po papildomo įvesto n_d diferencialo ženklo, o kitas atrodo kaip $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Tikslas yra gauti pasikartojančio spipingo pagalbą
\begin(lygtis) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n, \; n\in N \pabaiga(lygtis)
Tokio integralo skaičiavimas analizuojamas ant užpakalio Nr. 7 (skyr. trečias).
Yra aukštesnis algoritmas integruoti racionalias trupmenas, kurios negali būti skersai geros – universalus vynas. Tobto. šio algoritmo pagalba galima integruoti be-yaku racionalus dribas. Dėl tos pačios priežasties visi neapibrėžto integralo pakaitalai (Eulerio, Čebiševo pakaitalai, universalus trigonometrinis pakaitalai) gali būti užversti tokiu rozrachunku, kad pakeitus racionalųjį dribus. Ir prieš tai jau zasosuvat algoritmas. Bezperedn є zastosuvannya tsgogo algoritmas rasberem ant užpakalių, iš anksto zrobivsh mažas primіku.
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$
Nelengva paimti integralą iš principo be mechaninės formulės. Jei dėl integralo ženklo kaltinate konstantą $7$ ir atspėsite, kad $dx=d(x+9)$, tuomet galite imti:
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9) )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$
Norėdami gauti išsamesnės informacijos, rekomenduoju pažvelgti į temą. Ten esą paaiškinama, kaip tokie integralai pažeidžiami. Iki kalbos formulę iškelia tos pačios transformacijos, kurios šiuo metu ceremonijos valandą buvo sustabdytos „rankiniu būdu“.
2) Pradėsiu dviem būdais: sustabdyti paruoštą formulę arba apsieiti be jos. Kaip sustabdyti formulę, kitą kartą patikrinkite, kurį koeficientą prieš $x$ (skaičius 4) galima išvalyti. Dėl šios qiu ketvirtasis yra tiesiog kaltas dėl šventyklų:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$
Dabar atėjo laikas užpildyti formulę:
$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4) ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$
Galite apeiti ir zastosuvannya formules. І navit be nuolatinių 4$ už ginklų kaltės. Jei neprieštaraujate, kad $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, galite imtis:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$
Išsamūs paaiškinimai apie panašių integralų reikšmę pateikiami temoje „Integravimas su nustatymu (diferencialo ženklo įvedimas)“.
3) Turime integruoti $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Šis dribas turi struktūrą $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, de $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Tačiau norint perekonatisya, sho dіysno elementarų trečiojo tipo drebą, būtina atgaivinti vikonannya um $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Virishimo šį užpakaliuką, bet nenaudojant paruoštos formulės. Pabandykime pamatyti reklamjuostę skaičių knygoje. Ką tai reiškia? Žinome, kad $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Turime įtraukti $2x+10$ į pačią skaičių knygą. Kol kas skaičių knygelė verta tik $4x+7$, bet neilgam.Zastosuєmo prie skaitvardžio tokia transformacija:
$ 4x+7=2ctaškai 2x+7=2ctaškai (2x+10-10)+7=2ctaškai(2x+10)-2ctaškai 10+7=2ctaškai(2x+10) -13. $$
Dabar skaitiklis gavo reikiamą sumą $2x+10$. Ir mūsų integralas gali būti perrašytas tokiu būdu:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2xcdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$
Rosіb'єmo pіdіntegralny drіb dviems. Na, matyt, pats integralas yra „atskirtas“:
$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10)))(x^ 2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \right)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$
Pakalbėkime apie pirmąjį integralą tobto. apie $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Oskіlki $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, tada integrandų trupmenos skaičių knygoje vardiklio skirtumas išplečiamas. + 10)dx$ galima parašyti $d(x^2+10x+34)$.
Dabar pasakykime keletą žodžių apie kitą integralą. Reklamjuoste galite pamatyti naują kvadratą: $ x 2 + 10 x + 34 = (x + 5) 2 + 9 $. Be to, $dx=d(x+5)$ yra neteisinga. Dabar integralų sumą, kurią anksčiau atėmėme, galima perrašyti kitaip:
$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9) . $$
Jei pirmajame integrale pakeisiu $u=x^2+10x+34$, tai ateityje žiūrėsiu į $\int\frac(du)(u)$ ir tiesiog imsiu kitą formulę z . Kalbant apie kitą integralą, tai naujajam keičiamas pakaitalas $u=x+5$, jei ateityje matau $\int\frac(du)(u^2+9)$. Šis grynas vanduo yra vienuolika formulių iš nereikšmingų integralų lentelių. Otzhe, kreipdamasis į integralų sumą, matimemo:
2 USD\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5) )^2+9) =2cdotln(x^2+10x+34)-frac(13)(3)arctgfrac(x+5)(3)+C. $$
Mes atėmėme pačius įrodymus, kad net tada, kai formulės įstrigo, tai nenuostabu, gerai. Vzagalі, formulė pateikiama tais pačiais būdais, yakі mi vikoristovuvali už integralo vertę. Gerbiu, kad gerbiamas skaitytojas čia gali kaltinti vieną maistą, už tai suformuluosiu jogą:
Maitinimas №1
Norėdami įtraukti integralą $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$ į kitą formulę iš netrivialių integralų lentelių, turėtume imtis šių veiksmų:
$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$
Kodėl sprendimas turi dienos modulį?
Pranešimas į prašymą Nr.1
Mityba yra įprastas dėsnis. Modulis yra mažesnis už tą, kuris yra lygus $x^2+10x+34$, kai $x\in R$ didesnis už nulį. Tsezovsіm nerangiai parodyti kilkom su takais. Pavyzdžiui, $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ ir $(x+5)^2 ≥ 0$, tada $(x+5)^2+9 > 0$ . Galite spręsti kitaip, nepamesdami iš akių visos aikštės. Skeveldros $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ už bet kokį $x\in R$ (todėl šis loginis lancetas šaukia, grafinis kvadratinių nelygumų išdėstymo metodas jus nustebins). Odos atveju $x^2+10x+34 > 0$, tada $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, tada. Modulio pakeitimas gali būti pakeistas kintamomis arkomis.
Ūsų užpakaliukas Nr.1 buvo praleistas;
Vidpovidas:
Užpakalis #2
Raskite integralą $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.
Iš pirmo žvilgsnio integrandas $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ jau panašus į trečiojo tipo elementarųjį dribą, tai yra. į $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Pasirodo, vienintelis skirtumas yra $3 $ koeficientas prieš $x^2$, bet koeficientas ir išvalykite blogą (dėl lankų). Tačiau panašumas egzistuoja. Trupmenai $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ obov'zkovoy є Umov $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.
Mes turime koeficientą prieš $x^2$, kuris nėra lygesnis vienetui, todėl patikrinkite mintimis $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, tada $3x^2-5x-2$ galima padauginti iš $3x^2-5x-2$. Ir tai reiškia, kad $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ nėra elementarioji trečiojo tipo trupmena ir sustoja iki integralo $\int\frac(7x+12)(3x ^2- 5x-2)dx$ formulė negalima.
Na, o jei racionaliųjų trupmenų užduotys nėra elementarios, tuomet reikia duoti elementariųjų trupmenų sumą, o tada jas integruoti. Atrodo trumpiau, lėčiau. Parašyta, kaip išdėstyti racionalų elementarų pranešimą. Pažvelkime į faktą, kad reklamjuostė yra išdėstyta daugikliuose:
$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin (sulygiuotas) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-sqrt(49))(2cdot 3)=frac(5-7)(6)=frac(-2)(6)=-frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \\pabaiga (sulygiuota)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3cdotelis kairėn(x+frak(1)(3)dešinė)(x-2). $$
Subvidinis dribas gali būti pavaizduotas taip:
$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$
Dabar galime išplėsti $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ į elementarų:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+) ) \frac(1)(3)\right)(x-2));\\\frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1) (3)\dešinėje). $$
Norint sužinoti koeficientus $A$ ir $B$, yra du standartiniai būdai: nereikšmingų koeficientų metodas ir privačių reikšmių pakeitimo metodas. Sukurkime metodą, kaip pakeisti privačias reikšmes, pakeičiant $x=2$, o tada $x=-\frac(1)(3)$:
$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$
Rastas Oskіlki koefіtsіenti, neįrašytas paruošto maketo:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+frak(1)(3))+frak(26)(7))(x-2). $$
Iš principo galite palikti tokį įrašą, bet aš pakeisiu puikų variantą:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdotfrac(1)(x+frac(1)(3))+frac(26)(7)cdotfrac(1)(x-2). $$
Kreipdamiesi į išorinį integralą, galime įsivaizduoti iki naujo otrimano išdėstymo. Potim rozіb'єmo іtegral dviems, o kol oda zastosuєmo formulė. Nuolat būsiu kaltas dėl integralo ženklo:
$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2) )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$
Vidpovidas: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| + frac (26) (7) cdot ln | x-2 | +C$.
Užpakalis #3
Raskite integralą $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.
Turime integruoti $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Skaičius vienas turi kito lygio daugianarį, o standartinis – trečio lygio daugianarį. Skaičiuotojo daugianario žingsnių šukės yra mažesnės nei banermano, tobto, daugianario žingsnių. 2 USD< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:
$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x) +4)-frak(1)(x-9). $$
Mums liks mažiau užduočių išspręsti integralą trims, o formulę dusinti prie odos. Nuolat būsiu kaltas dėl integralo ženklo:
$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \ int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9 |+C. $$
Vidpovidas: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.
Prodovzhennya paraiškų analizė tiems roztashovane kitoje dalyje.
Mes ir toliau dirbame su trupmenų integravimu. Pamokose jau buvo pažiūrėta į tam tikrų tipų trupmenų integralus ir šią pamoką dainavimo prasme galima tęsti. Sėkmingam medžiagos supratimui reikalingi pagrindiniai integravimo įgūdžiai, kad jau pradėjai kurti integracijas, tada su arbatinuku, tada reikia pradėti šią statistiką Integr. Taikyti tirpalą .
Nenuostabu, kad tuo pat metu esame užsiėmę ne tiek integracijų svarba, kaip ... su sistemomis linijinės upės. In zvyazku z cym nerūpestingai Rekomenduoju išmokti pamoką Ir patiems – būtina maloniai orientuotis į diegimo būdus („mokyklos“ metodas ir sistemos lankstymo pagal narį (peržiūros) metodas).
Kas yra trupmeninė-racionali funkcija? Paprastais žodžiais, shot-rational function - ce drіb, ties skaitikliu ir reklamjuosčiu, jie keičia turtingus terminus ir sukuria daugianarius. Su kuriomis trupmenomis є susuktos, mažesnės tі, apie jakі buvo pasakyta straipsnyje Realiųjų trupmenų integravimas .
Be to, pavyzdys ir tipinis integralo kaip trupmeninės-racionalios funkcijos išvedimo algoritmas.
užpakalis 1
Krokas 1. Visų pirma, turime dirbti su integralu trupmeninės-racionalios funkcijos pavidalu - ce z'yasovuєmo pėdų maistas: chi є drіb teisingai?Šis krokas yra pergalingas, ir aš tuoj pat paaiškinsiu, kaip:
Ant nugaros stebimės skaičių knygele ir z'yasovuemo vyresnysis žingsnis turtingas narys: 
Vyresnysis skaitmenų knygos žingsnis yra senesnis nei dveji.
Dabar stebiuosi reklamjuoste, kad z'yasovuёmo vyresnysis žingsnis baneris. Prašyti būdo - rozkriti lankai ir atsinešti panašių dodankų, bet galite tai padaryti paprasčiau, oda duzhtsі žinoti vyresnysis žingsnis 
ir minčių padaugėja: - šiame range vyresnysis vėliavininko laipsnis yra trys. Visiškai akivaizdu, kad jei tikrai atkišate rankas, mes nežengiame žingsnio daugiau nei trys.
Visnovok: pagrindinis skaičiaus žingsnis GRIEŽTAI mažiau nei aukštesnis reklamjuostės lygis, vėliau, teisingesnis.
Yakby šiame užpakaliuke skaičių knygoje buvo turtingas terminas 3, 4, 5 ir pan. žingsnis, tada drib buv bi negerai.
Dabar matome mažiau teisingų racionalių funkcijų. Vipadok, jei skaičiaus žingsnis yra didesnis ar brangesnis už reklamjuostės žingsnį, galime tai analizuoti kaip pamoką.
Krok 2 Išskleiskite reklamjuostę į daugiklius. Mes stebimės savo reklamjuoste: 
Atrodytų, daugintojų jau daug, ale, mes ne mažiau, klausiame savęs: kodėl negalite skleisti? Kankinimo objektas be kryžiaus yra kvadratinis trinaris. Virishuemo kvadrato lygiavimas: 
Diskriminantas, didesnis už nulį, tada trinaris yra efektyviai padalintas į daugiklius:
Nykščio taisyklė: VISKAS, ką gali padauginti iš reklamjuostės, gali būti padauginta
Mes pradedame rengti sprendimą:
Krok 3 Naudodamiesi nereikšminių koeficientų metodu, integrando funkciją išskaidome į paprastųjų (elementariųjų) trupmenų sumą. Ninі bus išmintingesnis.
Žvelgiant į mūsų integrando funkciją: 
Ir, žinote, atrodo, kad tai yra intuityvi mintis, kad būtų neteisinga mūsų didįjį dribą paversti mažais šprotais. Pavyzdžiui, ašis yra tokia: 
Kaltinkite maistą, bet ką jūs galite padaryti? Zіtkhnemo z polegshennyam, vіdpovіdna matematinės analizės teorema stverdzhuє - GALIMA. Toks išdėstymas yra aiškus ir vientisas.
Tik viena zakovika, koeficientai mi Booway Nežinau, kaip vadinosi nesvarbių koeficientų metodas.
Kaip atspėjote, ateik ant kūno, taigi, nešauk! bus nukreipta į tuos, kurie yra schob їх їх DIZNATISYA - z'yasuvati, kodėl jūs lygūs.
Būkite pagarbūs, vieną kartą paaiškinsiu!
Otzhe, mes pradedame šokti taip: 
Kairėje pusėje nukreipiame virazą į miegančią reklamjuostę:
Dabar saugiai bėgame nuo baneristų (nes smarvė ta pati):
Kairėje kreivės dalyje arkos atviros, nėra koeficientų, dėl kurių dar neaišku:
Tuo pačiu kartojame mokyklos taisyklę dėl turtingų terminų dauginimo. Mokytojos valandą išmokau laikytis taisyklės akmeniniais veidais: Norint padauginti turtingas narysįjungta turtingas narys reikia padauginti vieno turtingo nario odos narį iš kito turtingo nario odos nario.
Protingo paaiškinimo požiūriu, geriau įvesti koeficientus į lankus (ypač nenoriu, kad sutaupyčiau valandos):
Sukuriame linijinių linijų sistemą.
Grįžti į vyresniųjų žingsnių viršų:
І užrašykite atitinkamus pirmos lygios sistemos koeficientus:
Prašome prisiminti įžeidžiantį niuansą. Kas būtų b, yakby dešinėje ugnies dalyje nebuvo bulo? Tarkim, būtų gražu tik be kvadrato? Ir čia lygių sistema turėtų įdėti nulį dešinėje: . Kodėl nulis? O dešinėje esančiam visada galite priskirti kvadratą su nuliu: Jei dešinėje dienos dalyje, jei pakeisite arba (i) kintamąjį terminą, tai dešiniosiose antrosios dalyse sistemos lygis , dedame nulį.
Įrašome skirtingus kitos sistemos koeficientus: 
Aš, zreshtoyu, mineralinis vanduo, pasiimu nemokamas galūnes.
Ech, aš degau. Jarti išeik – matematika rimtas mokslas. Mūsų instituto grupėje niekas nesijuokė, kai docentė pasakė, kad ji mėto narius skaičių eilutė ir pasirinkti geriausią. Nalashtovuєmos rimtai. Norėdamas, kas gyveno iki pamokos pabaigos, vis tiek tyliai juoksis.
Sistema paruošta:
Remontuojame sistemą: 
(1) Nuo pirmojo lygio jis gali būti rodomas ir pavaizduotas 2 ir 3 sistemos lygiais. Iš antros upės tikrai gali kalbėti (ar kita raide), bet šiuo atveju pats matai iš 1 upės, skeveldros yra mažiausi koeficientai.
(2) Suteikiame panašius dodanki 2 ir 3 lygius.
3
(4) Pakeisti draugą (arba trečią) lygų, tai žinoma
(5) Pateikti ir pirmasis lygus, otrimuyuchi.
Jakščo vynikli sunkumai su sistemos kūrimo metodais Kaip atsieti linijinių linijų sistemą?
Ištobulinę sistemą, pradėkite nuodugnų pakartotinį patikrinimą – pateikite žinomas reikšmes prie odos sistemos išlyginimas, dėl to viskas gali susitvarkyti.
Mayzha atvyko. Koeficientai yra žinomi, be to: 
Tvarkingai suplanuota užduotis gali atrodyti maždaug taip:
Jako bachitas, pagrindinė užduoties problema buvo sujungti (teisingai!) ir išlankstyti (teisingai!) tiesinių lygiavimo sistemą. Ir paskutiniame etape viskas nėra taip sklandu: pergalinga neapibrėžto integralo tiesiškumo galia yra integruojama. Atsiprašau, kad po trijų integracijų oda turime „laisvą“ sulankstomą funkciją, apie integracijos ypatumus aš auginu Neapibrėžto integralo pokyčio pakeitimo metodas .
Peržiūra: diferenciacija:
Mes pašalinome pidintegral funkciją, bet integralas buvo rastas teisingai.
Pakartotinio patikrinimo metu turėjau galimybę pasikabinti prie miegančios vėliavėlės, bet tai pasirodė neblogai. Nereikšmingų koeficientų metodas ir nuvedimas į reklamjuostės apačią yra abipusiai naudingas.
užpakalis 2
Žinokite integralo nereikšmes. 
Pereikime prie trupmenos nuo pirmojo užpakalio: 
. Nesvarbu prisiminti, kad reklamjuostėje yra visi RIZNI daugikliai. Kalta mityba, bet koks darbas, pavyzdžiui, duoklė, pavyzdžiui, toks drebėjimas: 
? Čia, ant reklamjuostės, turime žingsnį, kitaip matematiškai kartotiniai. Be to, yra kvadratinis trinaris, kurio negalima padauginti 
neigiamas, negalime jo padalyti į trinario daugiklius). Koks darbas? Elementariųjų trupmenų sumos išdėstymas atrodo kaip kshtalt 
su nežinomais koeficientais kalnuose, lyg kitaip?
užpakalis 3
Rodyti funkciją 
Krokas 1.Įsitikinkite, kad turime tinkamą dėklą
Vyriausiasis numerio rinkimo žingsnis: 2
Vyriausiasis reklamjuostės žingsnis: 8
Otzhe, drіb є teisinga.
Krok 2 Ar galite jį išdėstyti daugikliui skirtoje reklamjuostėje? Akivaizdu, kad dar ne viskas išdėliota. Kvadratinis trinaris pasaulyje nesiplečia dėl kitų priežasčių. Gerai. Robotų mažiau.
Krok 3 Suteikime racionaliąją funkciją, kad pamatytume elementariųjų trupmenų sumą.
Šiuo požiūriu išdėstymas gali atrodyti taip:
Mes stebimės savo reklamjuoste:
Skleidžiant šūvio racionaliąją funkciją elementariųjų trupmenų sumai, galima paminėti tris svarbius dalykus:
1) Jei pirmame žingsnyje (mūsų požiūriu) reklamjuostėje yra „savarankiškas“ daugiklis, tada viršuje (mūsų požiūriu) dedame nereikšmingumo koeficientą. Taikomi Nr. 1,2 tokių „vienišių“ daugiklių susidarė mažiau.
2) Jakščas prie reklaminio skydelio є daugkartinis daugiklis, tada jį reikia išdėstyti taip: 
- taip paeiliui pereikite visus „iks“ žingsnius nuo pirmo iki paskutinio. Mūsų užpakalis turi du kartotinius: dar kartą žvilgtelėkite į mano išdėliotą maketą ir pakeiskite, kad paties maketo dvokas atitinka šią taisyklę.
3) Jei reklamjuostė žino kito lygio neišplečiamąjį daugianarį (y razі), tai tvarkant skaičių knygoje būtina užrašyti tiesinę funkciją su nereikšmingais koeficientais (y razі z nereikšmingi koeficientai i ).
Tiesą sakant, tai vis dar 4-as posūkis, bet aš nustosiu kalbėti apie naują, šukės praktikoje retai matomos.
užpakalis 4
Rodyti funkciją 
žvelgiant į elementariųjų trupmenų sumą iš nežinomų koeficientų.
Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys. Išoriškai sprendimas yra panašus į pamoką.
Būkite atsargūs su algoritmu!
Jei sutvarkėte, pagal tam tikrus principus, jums reikia įdėti racionalią funkciją į maišą, tada praktiškai galite ištraukti bet kokį tokio tipo integralą, į kurį žiūrite.
užpakalis 5
Žinokite integralo nereikšmes. 
Krokas 1. Akivaizdu, kad drіb є yra teisinga:
Krok 2 Ar galite jį išdėstyti daugikliui skirtoje reklamjuostėje? Tai įmanoma, tai įmanoma. Čia yra kubelių suma 
. Mes platiname reklamjuostę į daugiklius, vikoristovuyuchime greito daugiklio formulę
Krok 3 Naudodami nereikšmingų koeficientų metodą, integrando funkciją išskaidome į elementariųjų trupmenų sumą:
Kad būtų atsižvelgta į tai, kad turtingas terminas neskirstomas į daugiklius (atvirkščiai, kad diskriminantas yra neigiamas), tada įdedame tiesinę funkciją su nežinomais koeficientais, o ne tik viena raide.
Mes nukreipiame drebą į miegantį reklaminį skydelį:
Saugome ir montuojame sistemą:
(1) Nuo pirmojo lygio jį galima palyginti ir pateikti kitame sistemos lygyje (racionaliausiu būdu).
(2) Mes sukeliame panašius dodanki iš kitų lygių.
(3) Mes pridedame terminą po termino vienas prie kito ir trečiosios lygiavertės sistemos.
Ūsai yra toliau, sistema gremėzdiška iš principo, usnі, oskіlki. 
(1) Pagrįstu būdu užrašome trupmenų sumą į žinomus koeficientus.
(2) Vykoristuemo neapibrėžto integralo tiesiškumo galia. Kas nutiko kitam integralui? Naudodami šį metodą galite sužinoti likusioje pamokos dalyje Realiųjų trupmenų integravimas .
(3) Dar kartą – pergalinga tiesiškumo galia. Prie trečiojo integralo pradedame matyti antrąjį kvadratą (nutolusią pamokos pastraipą Realiųjų trupmenų integravimas ).
(4) Imame kitą integralą, trečiajam matome tą patį kvadratą.
(5) Imame trečiąjį integralą. Paruošta.
,
,
