Posttiesinių heterogeninių lygybių variacijos metodas. Greito prevіlnyh variacijos metodas

Variacijos metodas yra gana pastovus, o Lagranžo metodas yra dar vienas būdas sukurti pirmos eilės tiesines diferencialines lygtis ir Bernulio lygtį.

Pirmosios eilės tiesinis diferencialinis lygiavimas – lygus formai y + p (x) y = q (x). Kaip dešinioji pusė turi būti lygi nuliui: y'+p(x)y=0, ce – tiesinė vienodai lygus 1 eilės tvarkai. Akivaizdu, kad lygi ne nulinei dešiniajai daliai, y'+p(x)y=q(x), nevienalytis 1 eilės tiesinis lygiavimas.

Gana konstantos kitimo metodas (Lagrange metodas) polygaє puolime:

1) Galima išspręsti vienalytę išlyginimą y+p(x)y=0: y=y*.

2) Galutiniame sprendime Z yra svarbus ne kaip konstanta, o kaip funkcija xu: C \u003d C (x). Yra žinoma, kad žodinis sprendimas (y *) „ir proto galvoje yra vaizduojamas viraz atėmimu iš y* ir (y*)“. Iš paimtos lygybės žinome funkciją (x).

3) Globaliame homogeninės lygybės sprendime pateikiamos žinios apie C(x) virusus.

Pažvelkime atidžiau į gana konstantos kitimo metodą. Vіzmemo y save zavdannya, scho y u povnyaєmo hіd dіshennya і perekonaєmosya, mokyklų mainai otmanі vіdpovіdі zbіgayutsya.

1) y'=3x-y/x

Perrašykime standartinės išvaizdos lygį (remiantis Bernulio metodu, reikia užrašyti bulos formą tik tam, schobachit, kad lygis būtų tiesinis).

y'+y/x = 3x (I). Dabar diemo už plano.

1) Jis tolygiau lygus y+y/x=0. Kaina lygi pokyčiams, kurie yra padalinti. Mes atstovaujame y'=dy/dx, atstovaujame: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Pariteto nusikaltimai dauginami iš dx ir dalijami iš xy≠0: dy/y=-dx/x. Integruojamas:

2) Visagaliame vienalytės lygybės sprendime į C atsižvelgiama ne konstanta, o tokia funkcija kaip x: C=C(x). Žvіdsi

Otrimanі virazi podstavlyaєmo protui (I):

Įžeidinėjimų įtraukimas į lygybės dalis:

čia C jau nauja konstanta.

3) Galutiniame vienalytės išlyginimo sprendime y=C/x, demi atsižvelgė į C=C(x), taigi y=C(x)/x, o ne C(x), atstovaujame viraz žinias x³+C: y=(x³ + C)/x arba y=x²+C/x. Jie paėmė tą patį vіdpovіd, like ir pіd hоvіshennya Bernoulli metodu.

Siūlymas: y=x²+C/x.

2) y'+y=cosx.

Čia lygis jau užfiksuotas standartinėje išvaizdoje, jo keisti nereikia.

1) Tolygiai kintantis tiesinis lygiavimas y'+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Integruojamas:

Norint gauti geresnę atvykimo formą, parodos dalyvis pasaulyje C priimamas kaip naujas:

Tse pereprechennya vykonali, schob geriau žinoti pokhіdnu.

2) Visagaliame tiesinės vienalytės išlyginimo sprendime C svarbus ne kaip konstanta, o kaip x funkcija: C = C(x). Skirtas skalbimui qєї

Otrimanі virazi y ir y' vaizduojami kaip protas:

Padauginkime įskaudintas pavydo dalis iš

Integruodami įžeidžiančias dalis, lygias dalių integravimo formulei, imame:

Čia tai ne funkcija, o pastovi konstanta.

3) Tolimiausiame tos pačios linijos gale

Pakeičiant rastą funkciją С(x):

Jie paėmė tą patį vіdpovіd, like ir pіd hоvіshennya Bernoulli metodu.

Variacijos metodas yra gana pastovus ir sustingęs vyšnioms.

y'x+y=-xy².

Sulygiuotas pagal standartinę išvaizdą: y+i/x=-y² (II).

1) Jis tolygiau lygus y+y/x=0. dy/dx=-y/x. Pažeidžiančias lygybės dalis padauginkite iš dx ir padalinkite iš y: dy/y=-dx/x. Dabar integruojamas:

Pateikimas atimti virazi protui (II):

Tiesiog pasakykime:

Atėmėme pinigų pokyčio išlyginimą C і x:

Čia C jau yra konstanta. Integravimo metu jie parašė zam_st (x) tiesiog Z, kad nepakeistų įrašo. Ir, pavyzdžiui, jie pasuko į C (x), kad nenuklystų C (x) nuo naujojo C.

3) Galutiniam tolygios išlygiavimo y=C(x)/x sprendimui galima rasti funkciją С(x):

Jie padarė tą pačią išvadą, kaip ir egzekucijos atveju Bernoulli metodu.

Pateikite paraišką dėl savęs patikrinimo:

1. Perrašykime standartinės išvaizdos lygius: y'-2y = x.

1) Diverganame tolygiai y'-2y = 0. y'=dy/dx, žvaigždės dy/dx=2y, lygių dalių poslinkį padauginame iš dx, dalijamės iš y ir integruojame:

Zvіdsi žinomas y:

Virazi y ir y' yra vaizduojamas mintyse (gyvenimo stiliui C pakeičia C (x), o C' - C "(x)):

Integralo vertei dešinėje dalyje naudojame integravimo pagal dalis formulę:

Dabar u, du ir v y pakeičiame formule:

Čia Z = konst.

3) Dabar jis pateikiamas to paties viršuje

Pažvelkime į tiesinį nehomogeninį pirmos eilės diferencialinį išlyginimą:
(1) .
Yra trys būdai, kaip atsieti šią lygybę:

pastovios variacijos metodas (Lagrange).

Pažiūrėkime į pirmojo freto linijinio diferencialinio išlyginimo sprendimą Lagranžo metodu.

Variacijos metodas postiynoy (Lagrange)

Akivaizdu, kad variacijos po studijų metodas yra lygus dviem etapais. Pirmajame etape mes galime lengvai pamatyti, ar jis yra lygus, ir jis yra daugiau ar mažiau lygus. Iš kitos scenos pusės pointegraciją, pirmojo sprendimo etapo eliminavimą, pakeisime į funkciją. Juk tai gėdingas savaitgalio sprendimas.

Pažiūrėkime į derinimą:
(1)

Krokas 1

Shukaєmo vienodo išlyginimo sprendimas:

Kaina lygi pokyčiams, kurie yra padalinti

Padalinkite pokytį – padauginkite iš dx, padalykite iš y:

Integruojamas:

Integralas per y lentelę:

Todi

Potencialiai:

Pakeiskite konstantą e C C ir atimkite modulio ženklą, kurį galima padauginti iš konstantos ±1, yaku yra įtraukta į C:

Krok 2 Pakeiskite postą C funkcija

Dabar pakeiskime konstantą C funkcija x:
c → u (x)
Tobto, shukatimemo savaitgalio sprendimas (1) matant:
(2)
Mes žinome, kad aš eisiu.

Pagal lankstymo funkcijų diferencijavimo taisyklę:
.
Už diferenciacijos taisyklės slypi kūryba:

.
Pristatytas savaitgalį (1) :
(1) ;

.
Du varpai skuba:
;
.
Integruojamas:
.
Pristatytas m (2) :
.
Dėl to mes įkyriai išsprendžiame pirmosios eilės tiesinę diferencialinę lygtį:
.

Pirmosios eilės linijinio diferencialinio derinimo Lagranžo metodu kūrimo užpakalis

Virishiti Rivnyannia

Sprendimas

Virishuemo vienodai lygus:

Dalinamės pakeitimais:

Padauginkime iš:

Integruojamas:

Lentelės integralai:

Potencialiai:

Pakeiskite e C į C ir pašalinkite modulio ženklus:

Židsi:

Pakeiskime konstantą C funkcija x:
c → u (x)

Mes žinome, kad eisiu:
.
Prie išėjimo pateikiamas lygus:
;
;
Abo:
;
.
Integruojamas:
;
Virishennya rivnyannia:
.

Greito prevіlnyh variacijos metodas

Pakankamo laiko kitimo metodas, kad būtų skatinamas tiesinis netolygus diferencialinis derinimas

a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = f(t)

polagaє ne prevіlnyh pasninko pakeitimas c k už gilų sprendimą

z(t) = c 1 z 1 (t) + c 2 z 2 (t) + ... + c n z n (t)

vienodas vienodas derinimas

a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = 0

papildomoms funkcijoms c k (t) , panašios į tas, kurios tenkina tiesines algebros sistemas

Sistemos žymuo (1) yra Vronskio funkcijos z 1 ,z 2 ,...,z n .

Kaip ir pirmasis, imamas nustatant pastovias integracijos vertes, tada funkcija

є išorinio nehomogeninio tiesinio diferencialinio derinimo sprendimai. Heterogeninio ekvivalento integravimas panašaus vienodo lygiavertiškumo laukinės rozvyazannya pasireiškimui, tokiu rangu, yra kvadratūros.

Pakankamų konstantų kitimo metodas, skatinantis tiesinių diferencialinių lygčių sistemos sprendimą normaliąja vektoriaus forma

prisiekti privačiu sprendimu (1) žiūrėdamas

de Z(t) - rozv'azkіv vіdpovіdnogo odnorodnogo іvnyannja, įrašų y vglyadі matricos ir vektorinės funkcijos, kuri pakeitė prevіlnyh postіynyh vektorių, pagrindas yra priskirtas spіvvіdnennyam. Shukane privatus sprendimas (su nulinėmis burbuolių vertėmis t = t 0 gali atrodyti