Yra 2 paviršiai, kurie sutampa, ir tai yra paviršius. Abipusis dviejų plokštumų išdėstymas

Šiame skyriuje yra nuolatinis ryšys tarp tiesioginės erdvės ir stereometrijos padėties. Tai reiškia, kad tiesią liniją trivialioje erdvėje matome kaip liniją tarp dviejų plokštumų.

Pagal stereometrijos aksiomas, kadangi dvi plokštumos nesusitinka ir apibrėžia vieną bendrą tašką, tai jos taip pat pažymi vieną bendrą tiesę, kurioje yra visi taškai, kurie yra bendri dviem plokštumoms. Dviejų plokštumų, kurios sutampa, vikoristinį išlyginimą galime nustatyti tiesią liniją stačiakampėje koordinačių sistemoje.

Tuo tarpu aš pažvelgsiu į daugybę pavyzdžių, daugybę grafinių iliustracijų ir karštų sprendimų, kuriems reikia nuodugniai suprasti medžiagą.

Tegul būna dvi plokštumos, kurios nesusiduria ir nesislenka. Jie reikšmingi kaip sritis ir sritis. Jį galima sutalpinti į trivialios erdvės stačiakampę koordinačių sistemą O x y z.

Kaip prisimename, plotą tiesiojoje koordinačių sistemoje nurodo Galle Rivnyannya plokštuma forma A x + B y + C z + D = 0. Svarbu, kad plokštumą α nurodytų lygis A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, o plokštuma β rodomas lygiu A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Šiuo atveju plokštumų α ir β normalieji vektoriai n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) і n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) nėra kolineariniai, nes plokštumos nėra vienalytės eina lygiagrečiai vienas su kitu. Parašykime Qiu Umov taip:

n 1 → ≠ λ n 2 → ⇔ A 1 , B 1 , C 1 ≠ λ A 2 , λ B 2 , λ C 2 , λ ∈ R

Norėdami atnaujinti atmintį apie medžiagą tema „Plokštumų lygiagretumas“, skaitykite atitinkamą mūsų svetainės skyrių.

Butų skersinio linija žymima raide a . Tobto. a = α ∩ β. Ši tiesi linija yra beprasmis taškas, kuris yra bendras abiem plokštumoms α ir β. Tai reiškia, kad visi tiesės taškai a tenkina abu ploto A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 ir A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 lygius. Tiesą sakant, smirda yra privatūs lygių sistemos sprendimai A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0.

Sistemos užkulisiniai sprendimai linijiniai lygiai A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 reiškia visų linijos taškų koordinates, už kurių yra dviejų skersinis plokštumos α ir β. Tai reiškia, kad su šia papildoma pagalba galime nustatyti tiesioginės stačiakampės koordinačių sistemos O x y z padėtį.

Dar kartą pažvelkime į aprašytą teoriją, dabar pagal konkrečią programą.

1 užpakalis

Straight O x – tai tiesus, taip ir maišoma koordinačių plokštumos O x y ir O x z . Nustatykime plotą O x y į eilutes z = 0, o plotą O x z – į eilutes y = 0 . Šį metodą plačiai aptarėme skyriuje „Požeminiai paviršiai“, tačiau esant sunkumams, prie šios medžiagos galite grįžti dar kartą. Šiuo atveju koordinačių linija O x trivialioje koordinačių sistemoje žymima dviejų lygių sistema, kurios forma yra y = 0 z = 0.

Taško, esančio tiesėje, per kurią kerta plokštumos, koordinačių radimas

Pažvelkime į vietą. Tegu trivialinei erdvei duota tiesi koordinačių sistema O x y z. Liniją, išilgai kurios susipina dvi plokštumos, nurodo lygiavimo sistema A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. Duotas taškas trivialioje erdvėje M 0 x 0, y 0, z 0.

Išsiaiškinkime, kur duotoje tiesėje yra taškas M 0 x 0 , y 0 , z 0 a .

Siekdami atsakyti į mitybos užduotį, taško M 0 koordinates šalia odos pakeičiame dviem paviršiaus lygiais. Dėl pasipiktinimo pakeitimo lygtis paverčiama teisinga lygybe A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0 ir A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D 2 = 0, tada taškas M 0 yra ant plokštumų odos ir yra nurodytoje tiesėje. Jei norite, kad viena iš lygybių A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0 ir A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D 2 = 0 atrodytų neteisinga, tada taškas M0 yra ne tiesėje.

Pažvelkime į užpakalio sprendimą

2 užpakalis

Tiesi linija erdvėje apibrėžiama dviejų persidengiančių plokštumų lygiais, tokia forma: 2 x + 3 y + 1 = 0 x - 2 y + z - 3 = 0. Tai reiškia, kad taškai M 0 (1, - 1, 0) ir N 0 (0, - 1 3, 1) yra ant plokštumų tiesės.

Sprendimas

Išsiaiškinkime tai iš taško M0. Pakeiskime šias koordinates sistemoje 2 · 1 + 3 · (-1) + 1 = 0 1 - 2 · (- 1) + 0 - 3 = 0 ⇔ 0 = 0 0 = 0 .

Dėl pakeitimo gavome tikrąsias lygybes. Tai reiškia, kad taškas M 0 yra abiejose plokštumose ir yra nubrėžtas išilgai jų skersinio.

Pakeiskime taško N 0 koordinačių plokštumos lygį (0, - 1 3, 1). Pašalinkite 2 · 0 + 3 · - 1 3 + 1 = 0 0 - 2 · - 1 3 + 1 - 3 = 0 ⇔ 0 = 0 - 1 1 3 = 0.

Kaip matote, kitas sistemos pavydas virto netinkamu pavydu. Tai reiškia, kad taškas N 0 nėra nurodytoje tiesėje.

Tema: taškas M 0 turi būti tiesioje linijoje, bet taškas N 0 – ne.

Dabar pateikiame jums algoritmą, kaip rasti nurodyto taško, esančio tiesėje, koordinates, nes tiesią erdvę erdvėje stačiakampėje koordinačių sistemoje O x y z rodo plokštumų lygiai, kurie persidengia A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0.

Sistemos jungčių skaičius nuo dviejų tiesinių lygių iki nežinomo A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 be galo. Nepriklausomai nuo šių sprendimų, užduotis gali būti išspręsta.

Nukreipkime į užpakalį.

3 užpakalis

Tegu trivialiajai erdvei suteikiama tiesė pagal dviejų susikertančių plokštumų lygius, formoje x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0. Raskite bet kurio linijos taško koordinates.

Sprendimas

Perrašykime sistemą x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 ⇔ x + 0 y + 3 z = - 7 2 x + 3 y + 3 z = -2.

Paimkime minorą iš kitos eilės nulio kaip sistemos 1 0 2 3 = 3 ≠ 0 pagrindinės matricos pagrindinį minorą. Tse reiškia z – Yra visiškai nežinomas pokytis.

Dešinėje gretų pusėje perkelsime papildymus, kurie atkeršys už nežinomą pasikeitimą:

x + 0 y + 3 z = - 7 2 x + 3 y + 3 z = - 2 ⇔ x + 0 y = - 7 - 3 z 2 x + 3 y = - 2 - 3 z

Įveskite tinkamą skaičių ir sutikite, kad z = .

Tada x + 0 y = - 7 - 3 z 2 x + 3 y = - 2 - 3 z ⇔ x + 0 y = - 7 - 3 λ 2 x + 3 y = - 2 - 3 λ.

Norėdami gauti aukščiausią lygčių sistemos lygį, naudojame Cramerio metodą:

∆ = 1 0 2 3 = 1 3 - 0 1 = 2 ∆ x = - 7 - 3 λ 0 - - 3 λ 3 = - 7 - 3 λ 3 - 0 (- 2 - 3 λ) = 21 - 9 λ ⇒ x = ∆ x ∆ = - 7 - 3 λ ∆ y = 1 - 7 - 3 λ 2 - 2 - 3 λ = 1 · - 2 - 3 λ - - 7 - 3 λ = 12 + 3 λ ⇒ y = ∆ y ∆ = 4 + λ

Žaliavos sistema x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 matime viglyad x = - 7 - 3 λ y = 4 + λ z = λ, de λ ∈ R.

Norėdami sukurti privatų lygiavimo sistemos ryšį, kad galėtume suteikti linijai priskirtino taško koordinates, turime paimti konkrečias parametro reikšmes. Jei λ = 0, tai x = - 7 - 3 0 y = 4 + 0 z = 0 ⇔ x = - 7 y = 4 z = 0.

Tai leidžia pasirinkti pasirinkto taško koordinates – 7, 4, 0.

Rastų taško koordinačių tikslumą galime patikrinti pakeisdami jas dviejų persidengiančių plokštumų išvesties lygyje - 7 + 3 0 + 7 = 0 2 (- 7) + 3 4 + 3 0 + 2 = 0 ⇔ 0 = 0 0 = 0 .

Vidpovidas: - 7 , 4 , 0

Tiesioginis vektorius yra tiesus, su kuriuo susikerta dvi plokštumos

Pažiūrėkime, kaip nustatyti tiesės tiesioginio vektoriaus koordinates, kurios yra pateiktos dviejų plokštumų, kertančių A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 ir A 2 x + lygius. B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Stačiakampėje koordinačių sistemoje 0xz tiesioginis vektorius nėra tiesi linija.

Kaip žinome, tiesė yra statmena tos krypties plokštumai, jei ji yra statmena bet kuriai tiesei, kuri yra tam tikroje plokštumoje. Remiantis tuo, kas buvo pasakyta, normalusis plokštumos vektorius yra statmenas bet kuriam nuliniam vektoriui, esančiam šalia šios plokštumos. Šie du faktai padės mums rasti tiesioginį vektorių.

Plokštumos α ir β juda išilgai tiesės a . Tiesioginis vektorius a → tiesė a ploto A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 ir normaliojo vektoriaus n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) sritis A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0.

Tiesus vektorius tiesus a yra vektorių n → 1 = (A 1, B 1, C 1) і n 2 → = A 2, B 2, C 2 vektorių sudėjimas.

a → = n → 1 × n 2 → = i → j → k → A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2

Visų tiesioginių vektorių nulinę reikšmę apibrėžiame kaip λ · a → = λ · n 1 → × n 2 → , kur λ yra parametras, galintis priimti bet kokias veiklos reikšmes, kurios skiriasi nuo nulio.

4 užpakalis

Tegul tiesė erdvėje tiesių linijų koordinačių sistemoje O x y z yra dviejų plokštumų, kurios susipina x + 2 y - 3 z - 2 = 0 x - z + 4 = 0 , lygiais. Žinome bet kurio tiesioginio linijos vektoriaus koordinates.

Sprendimas

Sritys x + 2 y - 3 z - 2 = 0 і x - z + 4 = 0 normaliųjų vektorių n 1 → = 1, 2, -3 і n 2 → = 1, 0, -1. Paimtas kaip tiesioginis tiesės vektorius, kuris yra dviejų nurodytų plokštumų susikirtimas, normaliųjų vektorių pridėjimas:

a → = n → 1 × n 2 → = i → j → k → 1 2 - 3 1 0 - 1 = i → · 2 · (-1) + j → · (- 3) · 1 + k → · 1 · 0 - - k → · 2 · 1 - j → · 1 · (- 1) - i → · (- 3) · 0 = - 2 · i → - 2 j → - 2 k →

Atsakymą parašykime koordinačių forma a → = -2, -2, -2. Timai, jei neprisimenate, kaip tai padaryti, rekomenduojame pereiti prie „Tiesios koordinačių sistemos vektorinės koordinatės“.

Tema: a → = - 2 , - 2 , - 2

Perėjimas prie parametrinio ir kanoninio lygmenų yra tiesioginis erdvėje

Tinkamoms žemoms komandoms paprasčiau naudoti parametrinę tiesę, kurios forma yra x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ arba kanoninę tiesę formos x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ erdvė. Šiose linijose a x , a y , a z yra tiesės tiesioginio vektoriaus koordinatės, x 1 , y 1 , z 1 yra bet kurio tiesės taško koordinatės, o a yra parametras, kuris įgyja papildomas efektyvias reikšmes.

Iš tiesės išlygiavimo A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 galite pereiti prie kanoninio ir parametrinio tiesės išlygiavimo linija erdvėje. Norėdami įrašyti kanonines ir parametrines tiesės linijas, mums reikia įgūdžių rasti bet kurio tiesės taško koordinates, taip pat bet kurio tiesioginio linijos vektoriaus koordinates, kurias pateikia dviejų susikertančių plokštumų linijos.

Pažvelkime į užrašą ant užpakalio.

5 užpakalis

Apibrėžkime tiesę trimatėje koordinačių sistemoje su dviejų plokštumų, kurios susikerta 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0, lygiais. Parašykime kanonines ir parametrines lygtis su tiesioginėmis reikšmėmis.

Sprendimas

Žinome tiesės tiesioginio vektoriaus koordinates, kuri yra normaliųjų vektorių n 1 → = 2, 1, - 1 plokštumos 2 x + y - z - 1 = 0 ir n 2 → = (1, 3) vektorių sudėtis. , - 2) plokštumos x + 3 y - 2 z = 0:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 2 1 - 1 1 3 - 2 = i → · 1 · (-2) + j → · (- 1) · 1 + k → · 2 · 3 - - k → · 1 · 1 - j → · 2 · (-2) - i → · (- 1) · 3 = i → + 3 · j → + 5 · k →

Tiesių a → = (1, 2, 5) tiesioginio vektoriaus koordinatės.

Kitas žingsnis yra nurodytos tiesės taško koordinačių reikšmė, kuri yra vienas iš lygiavimo sistemos sprendinių: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ 2 x + y - z = 1 x + 3 y - 2 z = 0.

Paimkime sistemos mažąją matricą kaip pirminę 2 1 1 3 = 2 · 3 - 1 · 1 = 5 , kuri yra nulio poaibis. Kokiu būdu keičiasi z є nemokamai. Perkeliame priedus iš jo į dešinę odos sluoksnio dalį ir pridedame pakankamai didelę λ reikšmę:

2 x + y - z = 1 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ 2 x + y = 1 + z x + 3 y = 2 z ⇔ 2 x + y = 1 + λ x + 3 y = 2 λ , λ ∈ R

Aukščiausiai išlygintai sistemai galima naudoti Cramerio metodą:

∆ = 2 1 1 3 = 2 3 - 1 1 = 5 ∆ x = 1 + λ 1 2 λ 3 = (1 + λ) 3 - 1 2 λ = 3 + λ ⇒ x = ∆ x ∆ = 3 + λ 5 = 3 5 + 1 5 · λ ∆ y = 2 1 + λ 1 2 λ = 2 · 2 λ - (1 + λ) · 1 = - 1 + 3 λ ⇒ y = ∆ y ∆ = - 1 + 3 λ 5 = - 1 5 + 3 5 λ

Mažinama: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ x = 3 5 + 1 5 y = - 1 5 + 3 5 z = λ

Priimame λ = 2, kad apskaičiuotume tiesės linijos taško koordinates: x 1 = 3 5 + 1 5 · 2 y 1 = - 1 5 + 3 5 · 2 z 1 = 2 ⇔ x 1 = 1 y 1 = 1 z 1 = 2. Dabar turime pakankamai duomenų tiesioginių erdvės duomenų kanoninėms ir parametrinėms lygtims užrašyti: x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 5 x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ ⇔ x = 1 + 1 · λ y = 1 + 3 · λ z = 2 + 5 · λ ⇔ x = 1 + λ y = 1 + 3 · λ z = 2 + 5 λ

Tema: x - 1 1 = y - 1 3 = z - 2 5 і x = 1 + λ y = 1 + 3 · λ z = 2 + 5 · λ

Ši paslaptis turi dar vieną būdą, kaip atskleisti.

Tam tikro taško koordinatės tiesioje linijoje apskaičiuojamos naudojant atvirą lygiavimo sistemą A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0.

Šiuo atveju sprendinį galima užrašyti parametrinių lygčių forma tiesiai erdvėje x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ.

Kanoninių ryšių šalinimas vykdomas tokia tvarka: oda atskiriama nuo santykių pašalinimo pagal parametrą λ, sulyginame teisingas santykio dalis.

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y λ = z - z 1 a z ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

Šis užduoties atlikimo būdas yra akivaizdus.

6 užpakalis

Nurodykite dviejų plokštumų, kurios susikerta 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0, tiesės padėtį. Šiai tiesei rašome parametrinį ir kanoninį lygiavimą.

Sprendimas

Sistemos kūrimas dviem lygiais ir trimis nežinomaisiais vykdomas taip pat, kaip ir anksčiau, kaip ir ankstesnėje programoje. Išvesta: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ x = 3 5 + 1 5 · λ y = - 1 5 + 3 5 · λ z = λ.

Šis parametrinis lygis yra tiesiai erdvėje.

Kanoninė lygtis nustatoma pagal esamą tvarką: x = 3 5 + 1 5 · λ y = - 1 5 + 3 5 · λ z = λ ⇔ λ = x - 3 5 1 5 λ = y + 1 5 3 5 λ = z 1 ⇔ x - 3 5 1 5 = y + 1 5 3 5 = z 1

Abiejų užpakalių skirtumai yra skirtingi, jie yra lygiaverčiai, nes nurodo tą patį trivialios erdvės tašką, taigi ir tą pačią tiesę.

Tema: x - 3 5 1 5 = y + 1 5 3 5 = z 1 i x = 3 5 + 1 5 λ y = - 1 5 + 3 5 λ z = λ

Jei tekste pažymėjote paslaugą, peržiūrėkite jį ir paspauskite Ctrl+Enter

Dvi plokštumos erdvėje gali būti lygiagrečios viena kitai arba baigti eiti kartu arba persidengiančios. Viena kitai statmenos plokštumos yra sutvirtintos plokštumų serija, kurios persidengia.

1. Lygiagrečios plokštumos. Lygiagrečios plokštumos, kaip dvi tiesės, kurios susikerta, viena plokštuma yra lygiagreti dviem susikertančioms kitos plokštumos tiesioms.

Šią reikšmę geriausiai iliustruoja plokštuma per tašką, lygiagrečią plokštumai, nurodytai dviejų tiesių ab, kurios susikerta (61 pav.).

Zavdannya. Duota: šoninės padėties plotas, nurodytas dviem tiesiomis ab, kurios susipina, ir taškas B.

Būtina nubrėžti plokštumą per tašką, lygiagrečią plokštumai ab, ir dvi tiesias, kurios susikerta c ir d.

Aišku, kad susikertant dviem tiesioms, viena plokštuma lygiagreti viena kitai susikerta tiesia, kitos plokštumos lygiagrečios viena kitai.

Norint diagramoje nubrėžti lygiagrečias linijas, reikia greitai panaudoti lygiagrečio projektavimo galią - lygiagrečių linijų projekcijas - lygiagrečias viena kitai

d//a, с//b Þ d1//a1, с1//b1; d2//a2, c2//b2; d3//a3, c3//b3.

Malyunok 61. Lygiagrečios plokštumos

2. Lygumų kirtimas, Gretimas nuolydis yra statmenas plokštumai. Dviejų plokštumų skersinio linija yra tiesi, kad tai būtų pasiekta, pažymėkite du taškus priešais abi plokštumas arba vieną tašką išilgai plokštumų skersinio linijos.

Pažiūrėkime į dviejų plokštumų, iš kurių viena išsikiša, pluošto liniją (62 pav.).

Zavdannya. Duota: šoninės padėties plokštuma pateikiama trikutanine ABC, o kita plokštuma yra horizontaliai projektuojanti a.

Būtina sukurti butų liniją.

Susijusi užduotis yra dviejuose paslėptų plokštumų taškuose, per kuriuos galima nubrėžti tiesią liniją. Trikutaniniu ABC nurodytas plotas gali būti matomas kaip tiesės (AB), (AC), (BC). Skersinio taškas yra tiesus (AB) su plokštuma a - taškas D, tiesus (AC) -F. Pjūvis rodo plokščių kryžiaus liniją. Kadangi a yra horizontaliai projektuojanti plokštuma, projekciją D1F1 seka plokštuma aP1, todėl atimamos tik P2 ir P3 projekcijos.

Malyunok 62. Tinklainė plokščio paviršiaus su horizontalia plokštuma.

Pereikime prie galutinio tikslo. Tegul erdvė turi dvi šoninės padėties plokštumas a(m,n) ir b(ABC) (63 pav.)

Malyunok 63. Zagalny lagerio butų tinklas

Pažiūrėkime į plokštumų a(m//n) ir b(ABC) skersinio tiesės seką. Analogiškai su priekinėmis užduotimis, norėdami rasti šių plokštumų susikirtimo liniją, nubraižysime papildomus brėžinius g ir d. Žinome matomas lygumų ir lygumų kryžiaus linijas. Plokštuma g apima plokštumą a su tiese (12), o plokštuma b – su tiese (34). Taškas Do yra šių tiesių, vienu metu perdengiančių tris plokštumas a, b ir g, skersinio taškas, kuris yra toks a ir b plokštumų skersinio linijos taškas, kuris sutampa su linija. Plokštuma d supina plokštumas a ir b už tiesių (56) ir (7C) akivaizdžiai, jų tinklelio taškas M vienu metu perkeliamas trimis plokštumomis a, b, d ir seka plokštumų pynimo tiesią a ir b. Tokiu būdu buvo rasti du taškai, esantys ant plokštumų a ir b skersinio – tiesės (KM) linijos.

Tam tikrą supaprastinimą naudojant kasdienę plokštumų skerspjūvio liniją galima pasiekti, jei per nurodytas tiesias plokštumas nubrėžiamos papildomos plokštumos.

Abipusiai statmenai plokštumai. Iš stereometrijos aišku, kad dvi plokštumos yra viena kitai statmenos, nes viena iš jų eina per statmeną kitai. Per tašką A negalima nubrėžti statmenų tam tikro ploto a(f,h). Šios plokštumos sukuria erdvėje krūvą plokštumų, kurios visos yra statmenos, nusileidžiančios iš taško A į plokštumą a. Norint iš taško A nubrėžti plokštumą, statmeną duotų dviejų tiesių hf, kurios susikerta plokštumai, iš taško A reikia nubrėžti tiesę n, statmeną plokštumai hf (horizontalioji projekcija n yra statmena horizontaliai projekcijai horizontalioji h, frontalioji projekcija n statmena priekiui Tai frontalioji projekcija f). Jei plokštuma, einanti per tiesę n, yra statmena plokštumai hf, tai norint rasti plokštumą per taškus A, nubrėžiama pakankama tiesė m. Plotas nurodomas dviem tiesėmis mn, kurios persipina, kai yra statmenos plotui hf (64 pav.).

Malyunok 64. Abipusiai statmenos plokštumos

Viznachennya. Tiesi linija vadinama lygiagrečia plokštuma, nes už jos nėra bendro susiliejimo taško.

Abipusis tiesių ir plokštumų reguliavimas

Štai čia

Dviejų linijų lygiagretumas

Jei plokštuma eina per tiesę, lygiagrečią kitai plokštumai, ir kerta tą plokštumą, tada jų skersinės linijos linija yra lygiagreti šioms tiesioms linijoms.

Baigta. Tegul plokštuma eina per tiesę a, lygiagrečią plokštumai, ir tiesę b, šių plokštumų skersinio liniją. Pažiūrėkime, kad a ir b yra lygiagrečiai.

Tiesa, smarvė slypi prie vieno aikštės. Be to, tiesi linija b yra šalia plokštumos, o tiesė a nesutampa su šia plokštuma. Na, tiesė i nesutampa su tiese b. Tokiu būdu tiesi a ir b guli toje pačioje plokštumoje ir nesusitrina. Oi, smarvė lygiagreti.

Tiesių ir plokštumų lygiagretumo ženklas Jei jis yra tiesus, bet nėra plokštumoje, jis yra lygiagretus kiekvienai tiesei, kuri yra šioje plokštumoje, tada ji yra lygiagreti pačiai plokštumai.

Baigta. Leisk man eiti tiesiai negulėti šalia plokštumos β ir lygiagrečiai tiesei b , kas yra netoli šios lygumos. Pažiūrėkime, kas teisinga a lygiagreti plokštumai β.

Nepriimtina, kad tiesė A kerta plokštumą taške C.

Pažiūrėkime į plokštumą α, kuri eina per tieses a ir b (a || b, už praustuvo). Taškas C yra kaip plokštuma, taigi ir plokštuma, tada. sulygiuokite linijas su juostele – tiesios b. Na, jie keičiasi tiesiai a ir b, todėl jums tai labai aišku. Otzhe, a || β.

Teisingai 1

Ar tiesa, kad yra dvi tiesės, lygiagrečios toms pačioms plokštumoms?

Versija: Nr.

Teisingai 2

Ar teisingiau sakyti: „Tiesiai, lygiagrečiai plokštumai, lygiagrečiai bet kuriai tiesei, kuri yra šalia šios plokštumos“?

Versija: Nr.

Teisingai 3

Viena iš dviejų lygiagrečių tiesių yra lygiagreti plokštumai. Kas yra teisinga kieta, nes ji yra lygiagreti šiai plokštumai?

Versija: Nr.

Teisingai 4

Duotos dvi lygiagrečios tiesės. Per jų odą brėžiama plokštuma. Šie du paviršiai pasislenka. Kaip ši linija buvo atnaujinta, kad atitiktų tiesioginius duomenis?

Versija: lygiagreti.

Teisingai 5

Yra du kvadratai, kurie juda. Kas yra plokštuma, kuri susipina dvi duotas plokštumas išilgai lygiagrečių linijų?

Verdiktas: Taip.

Teisingai 6

Įprasto šešių dalių ABCDEF AF pusė yra plokštumoje α, nes ji nesikiša su šešių dalių plokštuma. Kaip nubrėžiamos tiesios linijos, kad kitos šio šešių sluoksnių kūno pusės būtų išlygintos?

Tipas: AB, BC, DE, EF tinklainės paviršius; CD lygiagretus plokštumai.

1) Yra tiesi linija ir dvi plokštumos, kurios persidengia. Apibūdinkite visus galimus šio abipusio išsiplėtimo tipus.

2) Duotos dvi plokštumos, kurios juda. Kas yra plokštuma, kuri kerta dvi plokštumas išilgai lygiagrečių linijų?

2. Duotos dvi tiesės, susikertančios taške C. Kodėl su jomis gulėti tuo pačiu metu toje pačioje plokštumoje, ar tai būtų trečioji tiesė, kuri yra šių tiesių odos taškas?

4. Tarp dviejų lygiagrečių plokštumų padėkite 8 cm atstumą Tiesus pjūvis, maždaug 17 cm atstumu vienas nuo kito, tęsiasi tarp jų taip, kad jo galas būtų ant plokštumų. Raskite šio pjūvio projekciją ant odos nuo paviršiaus.

5. Užbaikite frazę, kad ji išeitų teisingai:

d) Nežinau

6. Tiesės a ir b yra statmenos. Taškai A ir B yra tiesėje a, taškai C ir D yra tiesėje b. Ar AC ir BD yra toje pačioje plokštumoje?

7. Kubo ABCDA1B1C1D1 paviršių įstrižainės yra AC ir B1D1. Kaip vyksta ši abipusė plėtra?

8. Kubo ABCDA1B1C1D1 kraštas yra senesnis nei m. Raskite liniją tarp tiesių AB ir CC1.

A) 2 m B) 1/2 m C) m D) Nežinau

9. Kitaip tariant, teisingiau sakyti:

A) taigi B) nei C) nesvarbu D) Nežinau

10. Kubui ABCDA1B1C1D1 raskite pjūvį tarp plokštumų BCD ir ВСС1В1.

A) 90 ° B) 45 ° C) 0 ° D) 60 °

11. Kas yra prizmė, kurios tik viena kraštinė statmena pagrindui?

A) taigi B) nei C) nežinau

12. Kaip stačiakampio gretasienio įstrižainė gali būti mažesnė už šoninį briauną?

A) taigi B) nei C) nežinau

13. Koks yra kubo, kurio briauna yra 10, statinės paviršiaus ekvivalentas?

A) 40 B) 400 C) 100 D) 200

14. Kodėl bendras kubo paviršiaus plotas yra toks pat, kaip jo įstrižainė lygi d?

A) 2d2 B) 6d2 B) 3d2 D) 4d2

15. Kiek simetrijos plokštumų turi taisyklinga piramidė?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6

16. Koks yra bet kurios taisyklingos piramidės ašinis pjūvis?

A) lygiapusis tricubitus

B) tiesus pjoviklis

B) trapecija

D) lygiakraštis trikampis

prašau padėk, atlik testą

1. Kiek tiesių gali susidaryti du skirtingi paviršiai nesusidūrę?
A) 1 B) 2 C) beasmenis D) ištroškęs E) Nežinau
2. Duotos dvi tiesės, susikertančios taške C. Ar jos turi būti tuo pačiu metu toje pačioje plokštumoje, ar tai būtų trečioji tiesė, kuri yra odos taškas už šių tiesių?
A) nesvarbu B) nesvarbu C) atsigulk, nesvarbu D) Nežinau
3. Koks yra teisingas patvirtinimas:
Dvi plokštumos yra lygiagrečios, nes lygiagrečios tai pačiai ir tai pačiai tiesei.
A) taigi B) nei C) nežinau D) nepamiršk
4. Atsistokite tarp dviejų lygiagrečių plokštumų 8 cm. Tiesus pjūvis, maždaug 17 cm atstumu, perkelkite tarp jų taip, kad abu galai būtų ant plokščių. Raskite šio pjūvio projekciją ant odos nuo paviršiaus.
A) 15 cm B) 9 cm C) 25 cm D) Nežinau
5. Užbaikite frazę, kad sakinys būtų teisingas:
Jei yra tiesi linija, kuri yra vienoje iš dviejų statmenų plokštumų, statmenų skersinei linijai, tada ten ...
A) lygiagrečiai tai pačiai plokštumai
B) juda per kitą plokštumą
B) statmenai kitai plokštumai
d) Nežinau
6. Tiesės a ir b yra statmenos. Taškai A ir B yra tiesėje a, taškai C ir D yra tiesėje b. Ar AC ir BD yra toje pačioje plokštumoje?
A) taigi B) nei C) nesvarbu D) Nežinau
7. Kubo ABCDA1B1C1D1 paviršių įstrižainės yra AC ir B1D1. Kaip vyksta ši abipusė plėtra?
A) poslinkis B) susikerta C) lygiagretus D) Nežinau
8. Kubo ABCDA1B1C1D1 kraštas yra senesnis už m. Raskite liniją tarp tiesių AB ir CC1.
A) 2 m B) B) m D) Nežinau
9. Svarbu tai, kad tai yra teisingas patvirtinimas:
Kadangi dvi tiesios linijos sukuria vienodus nuolydžius su ta pačia plokštuma, jos visos yra lygiagrečios.
A) taigi B) nei C) nesvarbu D) Nežinau
10. Kubui ABCDA1B1C1D1 raskite kelią tarp plokštumų BCD ir ВСС1В1.
A) 90 B) 45 C) 0 D) 60
11. Kas yra prizmė, kuri turi daugiau nei vieną kraštinę, statmeną pagrindui?
A) taigi B) nei C) nežinau
12. Kaip stačiakampio gretasienio įstrižainė gali būti mažesnė už šoninį briauną?
A) taigi B) nei C) nežinau
13. Koks yra kubo, kurio briauna 10, šoninio paviršiaus plotas?
A) 40 B) 400 C) 100 D) 200
14. Kodėl kubo bendras paviršiaus plotas, nes jo įstrižainė lygi d?
A) 2d2 B) 6d2 B) 3d2 D) 4d2
15. Kiek simetrijos plokštumų turi taisyklingoji piramidė?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6
16. Koks yra bet kurios taisyklingos piramidės ašinis pjūvis?
a) lygiakraštis trikampis
B) tiesus pjoviklis
B) trapecija
D) lygiakraštis trikampis

Testas tema „Abipusis tiesių ir plokštumų plėtimasis. Abipusis dviejų plokštumų išdėstymas"

Pasirinkite vieną teisingą parinktį iš šių:

Dvi tiesios linijos erdvėje vadinamos taip, kad jos susikerta:

A – smarvė neerzina miegamųjų vietų

B – per juos negalima nubrėžti plokštumos

C - smarvės guli vienoje plokštumoje ir nesislenka

Erdvė turi tiesią liniją ir netaisyklingą tašką. Kiek tiesių turi praeiti per tašką, nekertant tiesės?

A – viena tiesi linija

B – dvi skirtingos kryptys

S – beasmenis tiesus

Tiesiai a susikerta su tiesia linija b , ir tiesiai b susikerta su tiesia linija c . Kokie yra tiesioginiai pėdsakai? a і c Ateikite drauge: