Metode variasi yang cukup konstan, atau metode Lagrange, adalah cara lain untuk mengungkap persamaan diferensial linier orde pertama dan persamaan Bernoulli.
Persamaan diferensial linier orde pertama sama dengan bentuk y + p (x) y = q (x). Karena ruas kanannya nol: y'+p(x)y=0, ce linier pada saat yang sama Rivalitas urutan pertama. Tampaknya, persamaan tersebut mempunyai ruas kanan bukan nol, y'+p(x)y=q(x), lebih dari sekali pemerataan linier orde 1.
Metode variasi yang cukup konstan (metode Lagrange) terletak pada serangan:
1) Sepertinya solusi tersembunyi untuk persamaan homogen y+p(x)y=0: y=y*.
2) Dalam solusi halal, Z penting bukan sebagai konstanta, tetapi sebagai fungsi dalam bentuk x: C = C (x). Kita mengetahui pendekatan solusi zagal (y*)' dan dalam pikiran tongkol kita memperkenalkan ekspresi untuk y* dan (y*)'. Dengan menghilangkan persamaan tersebut, kita mencari fungsi (x).
3) Dalam solusi rahasia persamaan homogen, penggantian virus C(x) diperkenalkan.
Mari kita lihat metode variasi yang cukup konstan. Mari kita ambil tugas yang sama yang sama dengan kemajuan solusi dan sedang diubah, sehingga kesimpulan dapat dihindari.
1) y'=3x-y/x
Mari kita tulis ulang persamaan tersebut ke dalam bentuk standar (selain metode Bernoulli, yang memerlukan bentuk notasi untuk memastikan persamaan tersebut linier).
y'+y/x=3x (Saya). Sekarang saatnya membuat rencana.
1) Kemungkinan besar persamaannya adalah y+y/x=0. Upacara sama dengan mereka yang terpisah. Diwakili oleh y'=dy/dx, diwakili oleh: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Kedua bagian tersebut dikalikan dengan dx dan dibagi dengan xy≠0: dy/y=-dx/x. Terintegrasi:
2) Dalam penyelesaian akhir persamaan homogen, C penting bukan sebagai konstanta, tetapi sebagai fungsi dari x: C=C(x). Zvidsi
Otrimani vyrazy disajikan untuk pikiran (I):
Kami mengintegrasikan bagian persamaan yang menyinggung:
di sini C sudah merupakan konstanta baru.
3) Dalam keputusan akhir pada level yang sama, y=C/x, di mana kita memperhitungkan C=C(x), lalu y=C(x)/x, alih-alih C(x) kita merepresentasikan ekspresi x³ +C: y=(x³ + C)/x atau y=x²+C/x. Bukti yang sama diperoleh seperti sebelumnya dengan menggunakan metode Bernoulli.
Versi: y=x²+C/x.
2) y'+y=cosx.
Di sini persamaan sudah ditulis dalam tampilan standar, tidak perlu dibuat ulang.
1) Kemungkinan besar garis lurusnya adalah y'+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Terintegrasi:
Untuk membuat formulir entri yang lebih manual, peserta pameran di dunia akan menerima ini sebagai yang baru:
Ini telah dibuat ulang untuk memudahkan menemukan cara untuk pergi.
2) Dalam penyelesaian awal persamaan linier homogen, penting untuk menggunakan C bukan sebagai konstanta, tetapi sebagai fungsi dari x: C = C(x). Untuk alasan ini
Kami menghapus ekspresi y dan y' untuk pikiran:
Mari kita gandakan bagian-bagian yang menyinggung dalam hubungan
Kami mengintegrasikan bagian-bagian yang melanggar, mengikuti rumus integrasi per bagian, kami menyimpulkan:
Di sini bukan lagi fungsi, melainkan konstanta primer.
3) Solusi rahasia mempunyai hubungan yang seragam
Kami mengganti fungsi yang ditemukan C(x):
Bukti yang sama diperoleh seperti sebelumnya dengan menggunakan metode Bernoulli.
Metode variasi cukup stabil dan dapat ditingkatkan.
y'x+y=-xy².
Kita bawa persamaan tersebut ke bentuk standar: y+i/x=-y² (II).
1) Kemungkinan besar persamaannya adalah y+y/x=0. dy/dx=-y/x. Kita mengalikan bagian yang sama dengan dx dan membaginya dengan y: dy/y=-dx/x. Sekarang dapat diintegrasikan:
Mari kita bayangkan ekspresi tersebut dihilangkan (II):
Mari bertanya:
Kami menghilangkan persamaan dengan variabel schodos dari dan x:
Di sini C sudah menjadi konstanta primer. Dalam proses integrasi, mereka menulis pengganti (x) hanya Z, agar tidak menimpa record. Dan misalnya, mereka beralih ke C(x), agar tidak membingungkan C(x) dengan C yang baru.
3) Dalam penyelesaian akhir persamaan homogen y=C(x)/x, kita nyatakan fungsi yang ditemukan C(x):
Bukti yang sama diperoleh dengan menggunakan metode Bernoulli tingkat lanjut.
Buttstock untuk pemeriksaan mandiri:
1. Mari kita tulis ulang persamaan tersebut dalam bentuk standar: y'-2y = x.
1) Persamaan yang paling mungkin adalah y'-2y = 0. y'=dy/dx, dari dy/dx=2y, mengalikan bagian yang sama dengan dx, membaginya dengan y dan mengintegrasikan:
Kami tahu kamu:
Ekspresi untuk y dan y' disubstitusikan dalam pikiran (untuk konsistensi viabilitas substitusi C C(x) dan substitusi C' C"(x)):
Untuk mencari integral ruas kanan, kita menggunakan rumus integrasi per bagian:
Sekarang kita substitusikan u, du dan v y dengan rumus:
Di sini Z = konstanta.
3) Sekarang kita substitusikan titik puncak homogen
Mari kita lihat persamaan diferensial linier heterogen orde pertama:
(1)
.
Ada tiga cara untuk melepaskan kecemburuan ini:
Mari kita lihat solusi penyelarasan diferensial linier fret pertama menggunakan metode Lagrange.
Metode variasi konstan kemungkinan besar dilakukan dalam dua tahap. Pada tahap pertama, kita akan melihat keluarannya sama dan kemungkinan besar sama. Di ujung lain tahap ini, kami mengganti integrasi stabil, dari tahap keputusan pertama, dengan sebuah fungsi. Setelah ini, sepertinya ada keputusan rahasia untuk keluar terakhir.
Mari kita lihat kecemburuannya:
(1)
Kita dapat melihat solusi untuk pertanyaan yang sama:
Upacara dan pergantian itu terpisah
Bagilah variabel - kalikan dengan dx, bagi dengan y:
Terintegrasi:
Integral pada tabel y:
Todi
Dipotensiasi:
Gantikan konstanta e C dengan C dan ambil tanda modulusnya, lalu dikalikan dengan konstanta tersebut ±1, yang termasuk dalam C:
Sekarang mari kita ganti konstanta C dengan fungsi x:
C → kamu (X)
Jadi, kami sedang mencari keputusan untuk membuat janji akhir pekan (1)
sekilas:
(2)
Kami tahu saya akan pergi.
Mengikuti aturan diferensiasi fungsi lipat:
.
Mengikuti aturan diferensiasi kreativitas:
.
Disajikan pada akhir pekan (1)
:
(1)
;
.
Dua anggota bertemu dengan cepat:
;
.
Terintegrasi:
.
Disajikan di (2)
:
.
Hasilnya, terdapat solusi menarik untuk persamaan diferensial linier orde pertama:
.
Tampaknya sama:
Kami berbagi hal berikut:
Kalikan dengan:
Terintegrasi:
Integral tabel:
Dipotensiasi:
Gantikan konstanta e C dengan C dan tambahkan tanda modulusnya:
Bintang:
Gantikan konstanta C dengan fungsi x:
C → kamu (X)
Kami tahu, ayo pergi:
.
Disajikan di tingkat keluar:
;
;
tentang:
;
.
Terintegrasi:
;
Virishennaya:
.
Metode variasi konstanta jangka panjang
A N (T)z (N) (T) + A N − 1 (T)z (N − 1) (T) + ... + A 1 (T)z"(T) + A 0 (T)z(T) = F(T)
sedang dalam proses mengganti yang lebih permanen C k sudah memutuskan
z(T) = C 1 z 1 (T) + C 2 z 2 (T) + ... + C N z N (T)
tingkat homogen yang seragam
A N (T)z (N) (T) + A N − 1 (T)z (N − 1) (T) + ... + A 1 (T)z"(T) + A 0 (T)z(T) = 0
pada fungsi tambahan C k (T) , yang memenuhi sistem aljabar linier
Fungsi utama sistem (1) adalah fungsi Wronskian z 1 ,z 2 ,...,z N , Yang akan memastikan perbedaan yang jelas antara keduanya.
Karena ini adalah yang utama, diambil ketika menetapkan nilai integrasi konstan, maka fungsinya
solusi untuk pemerataan diferensial linier non-homogen keluaran. Integrasi hubungan heterogen untuk bukti hubungan tersembunyi dengan hubungan homogen serupa direduksi menjadi kuadratur.
terletak atas permintaan keputusan pribadi (1) pada pandangan
de Z(T) - basis hubungan persamaan homogen tertentu, entri dalam bentuk matriks, dan fungsi vektor, yang menggantikan vektor dengan yang lebih konstan, ditugaskan ke hubungan tersebut. Keputusan pribadi Shukan (dengan nilai tongkol nol di T = T 0 Mei dilihat
Untuk sistem dengan koefisien konstan, virus yang tersisa akan mengucapkan selamat tinggal:
Matriks Z(T)Z− 1 (τ) ditelepon Matriks Cauchy operator L = A(T) .
Yayasan Wikimedia. 2010.
