Qui presentiamo il resoconto di tre applicazioni pratiche dell'integrazione di frazioni razionali avanzanti:
,
,
.
Calcolare l'integrale:
.
Qui, sotto il segno dell'integrale, c'è una funzione razionale; Passi del ricco membro dello standard ( 3 ) è minore del passo del termine ricco del numerale ( 4 ). È necessario che quella mano veda tutta la parte della frazione.
1.
Vediamo una frazione intera di una frazione. Dilimo x 4
su x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:
Zvіdsi
.
2.
Disponiamo il banner della frazione in moltiplicatori. Per cui è necessario espandere l'equalizzazione cubica:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6
.
Immagina x = 1
:
.
1
. Dilimo x - 1
:
Zvіdsi
.
Piazza Virishuemo uguale.
.
Linea di radice:,.
Todi
.
3.
Spieghiamolo in termini semplici.
.
Padre, sapevamo:
.
Integrabile.
Calcolare l'integrale:
.
Qui, al numeratore, la frazione è un termine ricco del passo zero ( 1 = x0). Il bannerman ha un ricco membro del terzo stadio. Oskilk 0 < 3 , allora drіb è corretto. Scomponiamo її sulle frazioni più semplici.
1.
Disponiamo il banner della frazione in moltiplicatori. Per chi è necessario virishiti di terzo grado:
.
È accettabile che ci possa essere una sola radice. Todі in є numero dіlnik 3
(Membro senza x). Quindi l'intera radice può essere uno dei numeri:
1, 3, -1, -3
.
Immagina x = 1
:
.
Padre, conoscevamo una radice x = 1
. Dilimo x 3+2x-3 su x- 1
:
Otzhe,
.
Allineamento quadrato Virishuemo:
X 2+x+3=0.
Discriminante noto: D = 1 2 - 4 3 = -11. Oskilk D< 0
, allora non ci sono radici reali. In questa classifica, abbiamo rimosso il layout del banner in moltiplicatori:
.
2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1)
.
Immagina x = 1
. Todi x - 1 = 0
,
.
Immaginiamoci dentro (2.1)
x= 0
:
1 = 3 LA - DO;
.
Uguale a (2.1)
coefficienti in x 2
:
;
0=A+B;
.
.
3.
Integrabile.
(2.2)
.
Per il calcolo di un altro integrale, è visibile nel libro dei numeri che lo stendardo è sparito e lo stendardo è stato portato alla somma dei quadrati.
;
;
.
calcolabile I 2
.
.
Oskilki Rivnyannia x 2+x+3=0 non hanno radici reali, allora x 2 + x + 3 > 0. Pertanto, il segno del modulo può essere omesso.
Fornito in (2.2)
:
.
Calcolare l'integrale:
.
Qui, sotto il segno dell'integrale, ci sono molti termini ricchi. Pertanto, la virase integrata è una funzione razionale. Passi di un polinomio nel libro dei numeri 3 . I passaggi del polinomio del banner della frazione sono più costosi 4 . Oskilk 3 < 4 , allora drіb è corretto. Quel її può essere disposto nelle frazioni più semplici. Ale per il quale è necessario stendere uno striscione sui moltiplicatori.
1.
Disponiamo il banner della frazione in moltiplicatori. Per chi è necessario virishiti uguale al quarto gradino:
.
È accettabile che ci possa essere una sola radice. Todі in є numero dіlnik 2
(Membro senza x). Quindi l'intera radice può essere uno dei numeri:
1, 2, -1, -2
.
Immagina x = -1
:
.
Padre, conoscevamo una radice x = -1
. Dilimo x - (-1) = x + 1:
Otzhe,
.
Ora è necessario virishiti equalizzare il terzo passo:
.
Come lasciar andare, cosa è uguale alla radice della radice, al numero del dilnik 2
(Membro senza x). Quindi l'intera radice può essere uno dei numeri:
1, 2, -1, -2
.
Immagina x = -1
:
.
Padre, conoscevamo un'altra radice x = -1
. È possibile b, come i nella pendenza anteriore, aggiungere un termine ricco a, ma possiamo raggruppare i termini:
.
Oskilki Rivnyannia x 2 + 2 = 0
non hanno radici reali, quindi abbiamo tolto il layout del banner in moltiplicatori:
.
2.
Spieghiamolo in termini semplici. Disposizione Shukaєmo alla vista:
.
Zvіlnyaєmosya con frazione znamennik, moltiplicata per (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1)
.
Immagina x = -1
. Todix+ 1 = 0
,
.
Prodifferenzialmente (3.1)
:
;
.
Immagina x = -1
è pazzesco che x + 1 = 0
:
;
;
.
Immaginiamoci dentro (3.1)
x= 0
:
0 = 2A + 2B + D;
.
Uguale a (3.1)
coefficienti in x 3
:
;
1=Si+Do;
.
Padre, conoscevamo il layout delle frazioni più semplici:
.
3.
Integrabile.
.
“Un matematico è proprio come un artista, canta, crea vizorunks. E proprio così, i vizierunki sono più grandi dello stile, meno della puzza del magazzino delle idee... l'idea è proprio così, come i colori, ma le parole sono colpevoli, una a una. La bellezza è il primo aiuto: il mondo non ha spazio per la brutta matematica».
G. H. Hardi
Nella prima divisione era previsto che fosse necessario capire prima per ottenere funzioni semplici, poiché era impossibile apprendere attraverso funzioni elementari. Al collegamento con cim, queste classi di funzioni sono di grande importanza pratica, di cui si può dire con certezza che le loro prime funzioni elementari. A tale classe di funzioni può essere visto funzioni razionali, che è un'espressione di due termini ricchi algebrici Prima di integrare le frazioni razionali, svolgere un compito ricco. Pertanto, è importante considerare l'integrazione di tali funzioni.
Frazione razionale(Altrimenti funzione spara-razionale) è chiamato l'estensione di due termini ricchi algebrici:
de i - segmenti ricchi.
Indovina un po membro ricco (polinomio, tutta la funzione razionale) N-esimo stadioè chiamata la funzione della mente
de 
- numeri decimali. Per esempio,
- un ricco membro del primo stadio;
- termine ricco di quarto grado, ecc.
Viene chiamato drіb razionale (2.1.1). corretto come un gradino più basso di un gradino, tobto. N<M, in un modo diverso viene chiamato drіb sbagliato.
Se c'è una frazione sbagliata, puoi darla alla vista della somma di un membro ricco (parte intera) e della frazione corretta (parte frazionaria). La visualizzazione dell'insieme e delle parti inquadrate di un'inquadratura irregolare può essere eseguita secondo la regola sottostante le parti ricche “kut”.
Esempio 2.1.1. Vedi il numero e la parte sparata delle frazioni razionali irregolari che avanzano:
UN) 
, B) 
.
Soluzione . a) Algoritmo Vikoristovuyuchi rozpodіlu "kutochok", otrimuєmo
In questo modo prendiamo
.
b) Anche qui l'algoritmo vikoristovuєmo è suddiviso in un "kutochok":
Di conseguenza, prendiamo
.
Portiamo le valigie. I non valori dell'integrale sotto forma di frazione razionale nella caduta comune possono essere mostrati dalla somma degli integrali sotto forma di termine ricco e sotto forma di frazione razionale propria. Conoscere i tipi primari di polinomi non diventa difficile. A questo, mi hanno dato le più importanti frazioni razionali corrette.
Tra le frazioni razionali corrette, vedono chotiri tipi, yakі allevare frazioni razionali più semplici (elementari):
|
3) |
4) |
de - numero di piastrella, 
, Poi. trinomio quadrato 
Non ho radici vere.
L'integrazione delle frazioni più semplici del 1o e 2o tipo non diventa grandi difficoltà:
, (2.1.3)
. (2.1.4)
Possiamo ora osservare l'integrazione delle frazioni più semplici del 3° tipo, e le frazioni del 4° tipo non possono essere viste.
Diamo un'occhiata all'integrazione
.
L'intero integrale viene conteggiato con il percorso di vedere il quadrato pieno nello stendardo. Di conseguenza, l'integrale tabulare della forma offensiva
O 
.
Magazzino 2.1.2. Conoscere gli integrali:
UN) 
, B) 
.
Soluzione . a) È visibile dal trinomio quadrato che il quadrato è:
Zvіdsi lo sa
b) Vedendo dal quadrato trinomio il nuovo quadrato, prendiamo:
In modo tale,
.
Conoscere l'integrale
si vede nel numeratore la denominazione del vessillo e la diffusione dell'integrale alla somma di due integrali: il primo è sostanziato 
alzare lo sguardo per guardare
,
e l'altro - fino a una visione a occhi spalancati.
Esempio 2.1.3. Conoscere gli integrali:
.
Soluzione
. Lo rispettiamo 
. Vediamo nel libro dei numeri lo stendardo dello stendardo:
Il primo integrale viene calcolato dopo un'ulteriore sostituzione 
:
Un altro integrale può vedere la stessa piazza al banner
Rimanendo, prendi
Sii un drib razionale corretto 
può essere mostrato con un singolo rango guardando la somma delle frazioni più semplici. Per chi il banner dovrebbe essere disposto in multipli. Dal punto di vista dell'algebra, è chiaro che la pelle è un termine ricco di coefficienti effettivi
Materiale, contributi a questi argomenti, spirali sui vіdomosti, archiviazione negli argomenti "Frazioni razionali. Disposizione di frazioni razionali su frazioni elementari (semplici)". Anche il raju vorrebbe dare una rapida occhiata a questo argomento davanti a lui, come se stesse leggendo questo materiale. Inoltre, avremo bisogno di una tabella di integrali insignificanti.
Immagino una manciata di termini. Ne ho parlato in un argomento separato, quindi qui mescolerò formule brevi.
L'estensione di due termini ricchi $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ è detta funzione razionale o frazione razionale. Si chiama drіb razionale corretto Yaxcho$n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется sbagliato.
Le frazioni razionali elementari (più semplici) sono chiamate frazioni razionali di diversi tipi:
Nota (bazhan per una maggiore comprensione del testo): mostra
Nuovi bisogni della mente $p^2-4q< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.
Ad esempio, per l'espressione $x^2+5x+10$ è possibile prendere: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Oskіlki $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.
Prima del discorso, per cієї riverifica, non è obov'yazykovo, quindi il coefficiente prima di $x^2$ è 1. Ad esempio, per $5x^2+7x-3=0$ è necessario: $D= 7^2-4\cdot 5 \cdot (-3) = $109. Se $D > 0$, è possibile moltiplicare $5x^2+7x-3$.
Applica frazioni razionali (corrette e non corrette) e puoi anche sapere come applicare una frazione razionale su frazioni elementari. Qui ci rimane meno cibo per la loro integrazione. Cominciamo con l'integrazione delle frazioni elementari. Inoltre, non è facile integrare le pelli di diversi tipi delle più importanti frazioni elementari, formule vittoriose, mostrate di seguito. Immagino che $n=2,3,4,ldots$ venga trasferito al tipo (2) e (4) integrando le frazioni. Le formule (3) e (4) significano $p^2-4q< 0$.
\begin(equation) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(equation) \begin(equation) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(equation) \begin(equation) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(equazione)
Per $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ sostituisci $t=x+\frac(p)(2)$, dopo la sottrazione l'intervallo è diviso in due. Il primo viene conteggiato dopo il segno differenziale n_d aggiuntivo introdotto, e l'altro appare come $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. L'obiettivo integrale è assumere l'aiuto di spiving ricorrenti
\begin(equazione) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n, \; n\in N \end(equazione)
Il calcolo di tale integrale viene analizzato sul calcio n. 7 (div. terza).
Esiste un algoritmo superiore per l'integrazione di frazioni razionali che non possono essere trasversalmente buone: il vino universale. Tobto. con l'aiuto di questo algoritmo è possibile integrare essere-yaku dribbling razionale. Per lo stesso motivo, tutte le sostituzioni per l'integrale indefinito (sostituzioni di Eulero, di Chebishev, sostituzione trigonometrica universale) possono essere piene di un tale rozrachunk, così che dopo aver sostituito la goccia razionale. E prima già algoritmo zasosuvat. Algoritmo di Bezperedn є zastosuvannya tsgogo rasberem su mozziconi, in anticipo zrobivsh piccolo primіku.
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$
Non è facile prendere l'integrale dal principio senza una formula meccanica. Se dai la colpa alla costante $7$ per il segno dell'integrale e indovini che $dx=d(x+9)$, allora puoi prendere:
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$
Per informazioni dettagliate, consiglio di guardare l'argomento. Lì viene spiegato come tali integrali vengono violati. Fino al punto di parlare, la formula è riproposta dalle stesse trasformazioni, che sono state fermate a questo punto nell'ora della cerimonia "manualmente".
2) Inizierò in due modi: fermare la formula pronta o farne a meno. Come fermare la formula, quindi controlla quale coefficiente prima di $x$ (numero 4) può essere ripulito. Per questo qiu, il quarto è semplicemente colpevole dei templi:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\sinistra(x+\frac(19)(4)\destra)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\sinistra(x+\frac(19)(4)\destra)^8). $$
Ora è il momento di compilare la formula:
$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\sinistra(x+\frac(19)(4) \destra)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$
Puoi andare in giro e formule zastosuvannya. І navit senza colpa dei $4$ costanti per le braccia. Se non ti dispiace che $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, allora puoi prendere:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$
Spiegazioni dettagliate sul significato di integrali simili sono fornite nell'argomento "Integrazione con un'impostazione (introduzione di un segno di un differenziale)".
3) Dobbiamo integrare $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Questo drib prende la struttura $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, de $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Tuttavia, per perekonatisya, sho dіysno elementare drіb del terzo tipo, è necessario revіrt vikonannya um $ p ^ 2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Virishimo questo culo, ma senza usare la formula già pronta. Proviamo a vedere l'alfiere nel libro dei numeri. Cosa significa? Sappiamo che $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Dobbiamo includere $2x+10$ nel libro numerico stesso. Per ora, il libro numerico vale solo $4x+7$, ma non per molto Zastosuєmo al numero una tale trasformazione:
$$ 4x+7=2cpunto 2x+7=2cpunto (2x+10-10)+7=2cpunto(2x+10)-2cpunto 10+7=2cpunto(2x+10) -13. $$
Ora il numeratore ha l'importo necessario $2x+10$. E il nostro integrale può essere riscritto in questo modo:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2xcdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$
Rosіb'єmo pіdіntegralny drіb per due. Ebbene, a quanto pare, l'integrale stesso è "separato":
$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10)))(x^ 2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \destra)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$
Parliamo del primo integrale, tobto. circa $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Oskіlki $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, quindi nel libro numerico della frazione integranda, il differenziale del denominatore viene espanso. + 10)dx$ può essere scritto $d(x^2+10x+34)$.
Ora diciamo un paio di parole su un altro integrale. Puoi vedere il nuovo quadrato nel banner: $ x 2 + 10 x + 34 = (x + 5) 2 + 9 $. Inoltre, $dx=d(x+5)$ è sbagliato. Ora, la somma degli integrali, che abbiamo tolto in precedenza, può essere riscritta in un altro modo:
$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13cpunto\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9) . $$
Se sostituisco $u=x^2+10x+34$ nel primo integrale, in futuro guarderò $\int\frac(du)(u)$ e prenderò semplicemente un'altra formula z . Per quanto riguarda l'altro integrale, allora per quello nuovo la sostituzione $u=x+5$ viene cambiata, se vedo $\int\frac(du)(u^2+9)$ in futuro. Quest'acqua pura è undici formule da tabelle di integrali insignificanti. Otzhe, passando alla somma degli integrali, matimemo:
$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2cdotln(x^2+10x+34)-frac(13)(3)arctgfrac(x+5)(3)+C. $$
Abbiamo portato via la prova stessa che, anche quando le formule sono bloccate, non è sorprendente, beh. Vzagalі, la formula è portata allo stesso modo, yakі mi vikoristovuvali per il valore dell'integrale. Rispetto che un lettore rispettato possa incolpare un alimento qui, formulerò yogo per questo:
Ristorazione №1
Per aggiungere l'integrale $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$ a un'altra formula dalle tabelle degli integrali non banali, dovremmo prendere quanto segue:
$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$
Perché la soluzione ha un modulo giornaliero?
Avviso di richiesta n. 1
La nutrizione è una legge regolare. Il modulo è minore di quello che è uguale a $x^2+10x+34$ per ogni $x\in R$ maggiore di zero. Tsezovsіm mostra goffamente kіlkom con percorsi. Ad esempio, $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ e $(x+5)^2 ≥ 0$, quindi $(x+5)^2+9 > 0$ . Puoi giudicare diversamente, senza perdere di vista l'intera piazza. Frammenti $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ per qualunque $x\in R$ (che è il motivo per cui questa lancetta logica richiama, il metodo grafico per disporre le irregolarità quadrate ti sorprenderà). Nel caso della skin, $x^2+10x+34 > 0$, quindi $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, quindi. La sostituzione del modulo può essere sostituita da archi variabili.
Il calcio dei baffi n. 1 è stato omesso;
Videopovid:
Culo #2
Trova l'integrale $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.
A prima vista, l'integranda $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ è già simile alla drib elementare del terzo tipo, cioè. a $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Si scopre che l'unica differenza è il coefficiente di $3$ prima di $x^2$, ma il coefficiente e ripulisce il cattivo (per gli archi). Tuttavia, la somiglianza esiste. Per la frazione $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ obov'zkovoy є Umov $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.
Abbiamo un coefficiente davanti a $x^2$ non è più uguale a uno, quindi controlla con la mia mente $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, quindi $3x^2-5x-2$ può essere moltiplicato per $3x^2-5x-2$. E significa che $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ non è una frazione elementare del terzo tipo, e si ferma all'integrale $\int\frac(7x+12)(3x La formula ^2- 5x-2)dx$ non è possibile.
Ebbene, se i compiti delle frazioni razionali non sono elementari, allora è necessario dare una somma di frazioni elementari, e poi integrarle. Sembra più corto, più lento. Viene scritto come stendere una goccia razionale su un rapporto elementare. Diamo un'occhiata al fatto che il banner è disposto sui moltiplicatori:
$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-sqrt(49))(2cdot 3)=frac(5-7)(6)=frac(-2)(6)=-frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \\end(aligned)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3cpuntosinistra(x+frac(1)(3)destra)(x-2). $$
Il drіb subinterno può essere rappresentato nel modo seguente:
$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\sinistra(x+\frac(1)(3)\destra)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\sinistra(x+\frac(1)(3)\destra)(x-2)). $$
Ora possiamo espandere $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ in elementare:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\sinistra(x+\frac(1)(3)\destra)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\sinistra(x+\frac(1)(3)\destra))(\sinistra(x+ ) \frac(1)(3)\destra)(x-2));\\\frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\sinistra(x+\frac(1) ( 3)\destra). $$
Per conoscere i coefficienti $A$ e $B$, ci sono due modi standard: il metodo dei coefficienti non significativi e il metodo della sostituzione dei valori privati. Creiamo un metodo per sostituire i valori privati, sostituendo $x=2$, e poi $x=-\frac(1)(3)$:
$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\sinistra(x+\frac(1)(3)\destra).\x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\sinistra(2+\frac(1)(3)\destra); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\sinistra(-\frac(1)(3)-2\right)+B\sinistra (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$
Oskіlki koefіtsіenti ha trovato, lasciato fuori dalla scrittura del layout pronto:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\sinistra(x+\frac(1)(3)\destra)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+frac(1)(3))+frac(frac(26)(7))(x-2). $$
In linea di principio, puoi tralasciare un disco del genere, ma cambierò nell'anima un'opzione chiara:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\sinistra(x+\frac(1)(3)\destra)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdotfrac(1)(x+frac(1)(3))+frac(26)(7)cdotfrac(1)(x-2). $$
Passando all'integrale esterno, possiamo immaginare fino a un nuovo layout otrimano. Potim rozіb'єmo іtegral per due, e fino alla formula della pelle zastosuєmo. Costantemente, sarò colpevole per il segno dell'integrale:
$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\sinistra|x+\frac(1)(3)\destra|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$
Videopovid: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| + frac (26) (7) cdot ln | x-2 | +C$.
Culo #3
Trova l'integrale $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.
Dobbiamo integrare $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Il numero uno ha un polinomio di un altro livello e quello standard ha un polinomio del terzo livello. I frammenti dei passi di un polinomio per un numeralista sono inferiori ai passi di un polinomio per un alfiere, tobto. $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:
$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-frac(1)(x-9). $$
Ci rimarranno meno compiti per risolvere l'integrale per tre e per soffocare la formula sulla pelle. Costantemente, sarò colpevole per il segno dell'integrale:
$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \ int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9 |+c. $$
Videopovid: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.
Prodovzhennya analisi delle domande per quelle roztashovane in un'altra parte.
Continuiamo a lavorare sull'integrazione delle frazioni. Gli integrali di alcuni tipi di frazioni sono già stati esaminati nelle lezioni e questa lezione nel senso del canto può essere continuata. Per una corretta comprensione del materiale sono necessarie le competenze di base dell'integrazione, in modo che tu abbia già iniziato a sviluppare integrazioni, quindi con una teiera, quindi è necessario avviare queste statistiche integratore Applicare la soluzione .
Non è sorprendente, allo stesso tempo siamo impegnati non tanto con l'importanza delle integrazioni, come ... con i sistemi fiumi lineari. In zvyazku z cym con nonchalance Ti consiglio di imparare la lezione E per te stesso - è necessario essere gentilmente orientati nei metodi di installazione (il metodo "scuola" e il metodo di piegatura membro per membro (revisione) del sistema).
Cos'è una funzione frazionaria-razionale? In parole semplici, funzione razionale del colpo - ce drіb, al numeratore e al bannerman, cambiano termini ricchi e creano polinomi. Con quali frazioni є contorte, inferiori tі, su yakі è stato detto nell'articolo Integrazione di frazioni reali .
Inoltre, un esempio e un tipico algoritmo per derivare un integrale come funzione frazionaria-razionale.
culo 1
Krok 1. Prima di tutto, dobbiamo lavorare con l'integrale sotto forma di una funzione razionale-frazionaria - ce z'yasovuєmo cibo per i piedi: chi є drіb corretto? Questo krok è vittorioso e subito spiegherò come:
Sul retro ammiriamo il libro dei numeri e z'yasovuemo passo anziano membro ricco: 
Il gradino più anziano del libro numerico è più vecchio di due.
Ora meravigliandosi dello striscione che z'yasovuёmo passo anziano bandiera. Chiedendo un modo: rozkriti si inchina e porta dodanki simili, ma puoi farlo più semplice, pelle duzhtsі conosce il passo più anziano 
e si moltiplicano i pensieri: - in questo rango, il gradino più anziano dell'alfiere è tre. È abbastanza ovvio che se apri davvero le braccia, allora non facciamo un passo più di tre.
Visnovok: Passo principale del numero RIGOROSAMENTE inferiore al livello senior del banner, più tardi, più corretto.
Yakby in questo culo nel libro dei numeri conteneva un ricco termine 3, 4, 5 e così via. passo, poi drib buv bi sbagliato.
Ora possiamo vedere meno delle corrette funzioni razionali del tiro. Vipadok, se il passo del numero è maggiore o più costoso del passo del banner, possiamo analizzarlo come una lezione.
Krok 2 Diffondiamo il banner in moltiplicatori. Ci meravigliamo del nostro banner: 
Apparentemente i moltiplicatori sono già tanti, ma noi non siamo da meno, ci chiediamo: perché non potete diffonderlo? L'oggetto della tortura, senza croce, è un trinomio quadratico. Allineamento quadrato Virishuemo: 
Il discriminante maggiore di zero, poi, è il trinomio effettivamente suddiviso in moltiplicatori:
Regola empirica: TUTTO ciò che può essere moltiplicato dall'alfiere può essere moltiplicato
Iniziamo a redigere una decisione:
Krok 3 Utilizzando il metodo dei coefficienti non significativi, decomponiamo la funzione integranda nella somma di frazioni semplici (elementari). Ninі sarà più saggio.
Osservando la nostra funzione integranda: 
E, sai, sembra un pensiero intuitivo che sarebbe sbagliato trasformare la nostra grande goccia in piccoli spratti. Ad esempio, l'asse è: 
Dai la colpa al cibo, ma cosa puoi fare? Zіtkhnemo z polegshennyam, vіdpovіdna teorema dell'analisi matematica stverdzhuє - POSSIBILE. Tale layout è chiaro e unico.
Solo uno zakovika, coefficienti mi Booway Non so quale fosse il nome del metodo dei coefficienti non importanti.
Come hai intuito, vieni sul corpo quindi, non gridare! sarà diretto a coloro che sono schob їх їх DIZNATISYA - z'yasuvati, perché sei uguale.
Sii rispettoso, ti spiegherò una volta!
Otzhe, iniziamo a ballare come: 
Nella parte sinistra, puntiamo il viraz allo stendardo dormiente:
Ora stiamo scappando sani e salvi dagli alfieri (perché la puzza è la stessa):
Nella parte sinistra della curva gli archi sono aperti, non ci sono coefficienti per i quali non è ancora chiaro:
Allo stesso tempo, ripetiamo la regola della scuola per la moltiplicazione dei termini ricchi. Alla mia ora di insegnante, ho imparato a seguire la regola con le facce di pietra: Per moltiplicarsi membro ricco SU membro riccoè necessario moltiplicare il membro pelle di un membro ricco per il membro pelle di un altro membro ricco.
Dal punto di vista di una spiegazione sensata, è meglio portare i coefficienti negli archi (voglio soprattutto non mi preoccupo del metodo per risparmiare un'ora):
Creiamo un sistema di linee lineari.
Torna all'inizio dei passaggi senior:
І annotare i coefficienti rilevanti per il primo sistema uguale:
Si prega di ricordare la sfumatura offensiva. Cosa sarebbe b, yakby nella parte destra del fuoco non bulo? Diciamo, sarebbe bello solo senza un quadrato? E qui il sistema paritario dovrebbe mettere uno zero a destra: . Perché zero? E a quello nella parte destra, puoi sempre assegnare il quadrato con zero: se nella parte destra del giorno, se cambi o (i) il termine variabile, allora nella parte destra del secondo è uguale al sistema , mettiamo zero.
Registriamo i diversi coefficienti di un altro sistema: 
Io, zreshtoyu, acqua minerale, raccolgo arti liberi.
Eh, ... sto andando a fuoco. Jarti esci: la matematica è una scienza seria. Nel nostro gruppo di istituto, nessuno ha riso quando l'assistente professore ha detto che stava lanciando membri in giro linea numerica e scegli il tuo meglio. Nalashtovuєmos in modo serio. Volendo, chi ha vissuto fino alla fine della lezione, riderà comunque tranquillamente.
Sistema pronto:
Ripariamo il sistema: 
(1) Dal primo livello, può essere mostrato e rappresentato dal 2° e 3° livello del sistema. Puoi davvero parlare (o in una lettera diversa) dal secondo fiume, ma in questo caso puoi vederlo tu stesso dal 1 ° fiume, i frammenti sono lì coefficienti minimi.
(2) Diamo dodanki simili al 2° e 3° uguale.
3
(4) Sostituto di un amico (o terzo) uguale, si sa
(5) Invia e primo uguale, otrimuyuchi.
Yakshcho vynikli ha difficoltà con i metodi di sviluppo del sistema Come sciogliere il sistema di linee lineari?
Dopo aver perfezionato il sistema, avviare un'approfondita nuova verifica - presentare i valori noti alla pelle equalizzazione del sistema, di conseguenza, tutto può sistemarsi.
Mayzha è arrivata. I coefficienti sono noti, inoltre: 
Un compito ben progettato può assomigliare a questo:
Yak bachite, il problema principale del compito era mettere insieme (correttamente!) e piegare (correttamente!) il sistema di allineamenti lineari. E nella fase finale, tutto non è così liscio: il potere vittorioso della linearità dell'integrale indefinito è integrabile. Mi dispiace che sotto la pelle delle tre integrazioni abbiamo una funzione comprimibile "libera", sulle peculiarità dell'integrazione sto crescendo Il metodo per sostituire la modifica in un integrale indefinito .
Revisione: Differenziazione:
Abbiamo rimosso la funzione pidintegrale, ma l'integrale è stato trovato correttamente.
Nel corso della nuova verifica, ho avuto la possibilità di riattaccare a uno striscione dormiente, ma non è andata male. Il metodo dei coefficienti non significativi e portarlo in fondo al banner è reciprocamente vantaggioso.
culo 2
Conoscere i non valori dell'integrale. 
Passiamo alla frazione dal primo mozzicone: 
. Non importa ricordare che tutti i moltiplicatori di RIZNI sono nel banner. Incolpare la nutrizione, ma quale lavoro, come un tributo, ad esempio, un tale drib: 
? Qui al banner abbiamo un passo, altrimenti, matematicamente multipli. Inoltre, esiste un trinomio quadratico che non può essere moltiplicato 
negativo, non possiamo dividerlo in moltiplicatori di trinomi). Quale lavoro? Il layout della somma delle frazioni elementari sembra un kshtalt 
con coefficienti sconosciuti in montagna, come se diversamente?
culo 3
Mostra la funzione 
Krok 1. Verifica di avere la drib giusta
Il passo più anziano della composizione del numero: 2
Il gradino più anziano del banner: 8
Otzhe, drіb є corretto.
Krok 2 Puoi presentarlo al bannerman per i moltiplicatori? È ovvio che non tutto è già pronto. Il trinomio quadrato non si espande nel mondo per altri motivi. Bene. I robot sono meno.
Krok 3 Diamo una funzione razionale per esaminare la somma delle frazioni elementari.
In questa vista, la disposizione potrebbe essere simile a questa:
Ci meravigliamo del nostro banner:
Quando si distribuisce la funzione shot-rational sulla somma delle frazioni elementari, si possono menzionare tre punti importanti:
1) Se c'è un moltiplicatore "autocostruito" nel banner al primo passaggio (dal nostro punto di vista), allora mettiamo il coefficiente di non irrilevanza in alto (dal nostro punto di vista). Il n. 1,2 applicato è stato formato meno di tali moltiplicatori "solitari".
2) Yakshcho al bannerman є multiplo moltiplicatore, allora è necessario organizzarlo in questo modo: 
- quindi esegui in sequenza tutti i passaggi degli "iks" dal primo all'ultimo passaggio. Il nostro culo ha due multipli: dai un'altra occhiata al layout che ho tracciato e cambia, che la puzza del layout stesso segua questa regola.
3) Se il banner conosce un polinomio non espandibile di un altro livello (y razі), allora quando si dispone nel libro dei numeri, è necessario annotare una funzione lineare con coefficienti non significativi (y razі z coefficienti non significativi i ).
In realtà è ancora il 4° turno, ma smetto di parlare del nuovo, le schegge in pratica si vedono raramente.
culo 4
Mostra la funzione 
alla vista della somma delle frazioni elementari dai coefficienti ignoti.
Questo è un esempio di una soluzione indipendente. Esteriormente, la soluzione è che è simile alla lezione.
Attenzione all'algoritmo!
Se hai risolto, secondo alcuni principi, devi mettere una funzione razionale sparata in una borsa, allora puoi praticamente estrarre qualsiasi tipo di integrale del tipo che stai guardando.
culo 5
Conoscere i non valori dell'integrale. 
Krok 1.È ovvio che drіb є è corretto:
Krok 2 Puoi presentarlo al bannerman per i moltiplicatori? È possibile, è possibile. Ecco la somma dei cubi 
. Diffondiamo il banner in moltiplicatori, vikoristovuyuchi la formula del moltiplicatore veloce
Krok 3 Utilizzando il metodo dei coefficienti non significativi, decomponiamo la funzione integranda nella somma delle frazioni elementari:
Per tener conto che il termine ricco non è divisibile in moltiplicatori (al contrario, che il discriminante è negativo), allora mettiamo una funzione lineare con coefficienti sconosciuti, e non solo una lettera.
Dirigiamo il drіb allo stendardo dormiente:
Memorizziamo e installiamo il sistema:
(1) Dal primo livello, può essere confrontato e presentato su un altro livello del sistema (il modo più razionale).
(2) Induciamo un dodanki simile da un altro uguale.
(3) Aggiungiamo termine per termine l'un l'altro e il terzo sistema uguale.
I baffi sono più lontani, il sistema è goffo in linea di principio, usnі, oskіlki. 
(1) Scriviamo la somma delle frazioni in modo ragionevole ai coefficienti noti.
(2) Potenza di Vykoristuemo della linearità dell'integrale indefinito. Che fine ha fatto l'altro integrale? Con questo metodo, puoi scoprirlo nel resto della lezione Integrazione di frazioni reali .
(3) Ancora una volta, la potenza vittoriosa della linearità. Al terzo integrale si comincia a vedere il secondo quadrato (paragrafo remoto della lezione Integrazione di frazioni reali ).
(4) Prendiamo un altro integrale, per il terzo vediamo lo stesso quadrato.
(5) Prendiamo il terzo integrale. Pronto.
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