روش تغییر برابری های ناهمگن پس خطی. روش تنوع prevіlnyh سریع

روش تغییرات نسبتاً ثابت است و روش لاگرانژ روش دیگری برای ایجاد معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول و معادله برنولی است.

تراز دیفرانسیل خطی مرتبه اول - برابر با شکل y + p (x) y = q (x). چگونه سمت راست باید صفر باشد: y'+p(x)y=0، ce - خطی یکنواختبرابر با مرتبه 1 بدیهی است که برابر با قسمت راست غیر صفر، y'+p(x)y=q(x)، ناهمگونتراز خطی مرتبه 1.

روش تغییر نسبتاً ثابت (روش لاگرانژ) چندبازی در حمله:

1) می توان تساوی همگن y+p(x)y=0 را حل کرد: y=y*.

2) در راه حل نهایی، Z نه به عنوان یک ثابت، بلکه به عنوان یک تابع در xu مهم است: C \u003d C (x). معلوم است که راه حل لفظی (y *) «و در ذهن ذهن با تفریق ویراز برای y* و (y*) نشان داده می شود. از برابری گرفته شده، تابع (x) را می دانیم.

3) در یک راه حل جهانی از یک برابری همگن، دانش C (x) ویروس ها ارائه شده است.

بیایید نگاهی دقیق تر به روش تغییر نسبتاً ثابت بیندازیم. Vіzmemo y خود zavdannya، scho y u povnyaєmo hіd dіshennya і perekonaєmosya، scho otmanі vіdpovіdі zbіgayutsya.

1) y'=3x-y/x

بیایید سطح نگاه استاندارد را بازنویسی کنیم (بر اساس روش برنولی، فقط برای آن باید شکل بولا را بنویسیم، schobachit، که سطح خطی است).

y'+y/x=3x (I). اکنون دیمو پشت طرح.

1) به طور یکنواخت تر برابر y+y/x=0 است. قیمت برابر با تغییرات تقسیم شده است. ما y'=dy/dx را نشان می دهیم، نشان می دهیم: dy/dx+y/x=0، dy/dx=-y/x. جرایم برابری در dx ضرب و بر xy≠0 بخش پذیر است: dy/y=-dx/x. قابل ادغام:

2) در حل همه کاره برابری همگن، C نه با یک ثابت، بلکه توسط تابعی مانند x در نظر گرفته می شود: C=C(x). Zvіdsi

Otrimanі virazi podstavlyaєmo برای ذهن (I):

ادغام توهین به بخش هایی از برابری:

در اینجا C از قبل یک ثابت جدید است.

3) در حل نهایی تراز همگن y=C/x، demi C=C(x) را در نظر گرفت، بنابراین y=C(x)/x، به جای C(x)، دانش ویراز را نشان می دهیم. x³+C: y=(x³ + C)/x یا y=x²+C/x. آنها همان vіdpovіd، like و pіd hоvіshennya را با روش برنولی گرفتند.

پیشنهاد: y=x²+C/x.

2) y'+y=cosx.

در اینجا سطح قبلاً در ظاهر استاندارد ثبت شده است، نیازی به تغییر آن نیست.

1) تغییر تراز خطی یکنواخت y'+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. قابل ادغام:

برای داشتن شکل بهتری از ورود، غرفه‌دار در جهان C به عنوان جدید پذیرفته می‌شود:

Tse pereprechennya vykonali، schob بهتر می دانم pokhіdnu.

2) در راه حل همه کاره تراز همگن خطی، C نه به عنوان یک ثابت، بلکه به عنوان تابعی از x مهم است: C = C(x). برای شستشوی qєї

Otrimanі virazi y و y به عنوان ذهن نشان داده می شود:

بیایید قسمت های آسیب دیده حسادت را در ضرب کنیم

با ادغام قطعات توهین آمیز برابر با فرمول یکپارچه سازی قطعات، می گیریم:

در اینجا یک تابع نیست، بلکه یک ثابت ثابت است.

3) در انتهای همان خط

جایگزینی تابع یافت شده С(x):

آنها همان vіdpovіd، like و pіd hоvіshennya را با روش برنولی گرفتند.

روش تنوع برای گیلاس نسبتاً ثابت و راکد است.

y'x+y=-xy².

مطابق با ظاهر استاندارد: y+i/x=-y² (II).

1) به طور یکنواخت تر برابر y+y/x=0 است. dy/dx=-y/x. قسمت های متخلف مساوی را در dx ضرب و بر y تقسیم کنید: dy/y=-dx/x. اکنون قابل ادغام:

تسلیم برای برداشتن ویرازی برای ذهن (II):

فقط بگوییم:

تساوی تغییر پول C і x را برداشتیم:

در اینجا C از قبل یک ثابت است. در فرآیند ادغام، آنها zam_st (x) را به سادگی Z نوشتند تا رکورد را تغییر ندهند. و برای مثال به C (x) روی آوردند تا C (x) را از C جدید دور نکنند.

3) برای حل نهایی تراز یکنواخت y=C(x)/x، تابع С(x) را می توان یافت:

آنها همان نتیجه ای را که در مورد اعدام با روش برنولی وجود داشت، از بین بردند.

درخواست برای تأیید شخصی:

1. بیایید برابرهای ظاهر استاندارد را بازنویسی کنیم: y'-2y = x.

1) به طور یکنواخت y'-2y = 0 واگرایی می کنیم. y'=dy/dx، ستارگان dy/dx=2y، افست قسمت های مساوی را در dx ضرب می کنیم که بر y بخش پذیر و قابل انتگرال است:

Zvіdsi شناخته شده y:

Virazi برای y و y در ذهن نشان داده می شود (برای سبک زندگی، C جایگزین C (x) و C' جایگزین C (x) می شود):

برای مقدار انتگرال در قسمت سمت راست، از فرمول ادغام با قطعات استفاده می کنیم:

حالا u، du و v y را با فرمول جایگزین می کنیم:

در اینجا Z = const.

3) اکنون در بالای همان ارائه شده است

بیایید نگاهی به تساوی دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه اول بیندازیم:
(1) .
سه راه برای باز کردن این مساوی وجود دارد:

روش تغییرات ثابت (لاگرانژ).

بیایید به حل هم ترازی دیفرانسیل خطی فرت اول با روش لاگرانژ نگاه کنیم.

روش تغییر postiynoy (لاگرانژ)

روش تغییرات پس از مطالعه به وضوح در دو مرحله برابر است. در مرحله اول، به راحتی می توانیم ببینیم که آیا مساوی است یا کمتر یا بیشتر. از طرف دیگر مرحله، پس از ادغام، حذف مرحله اول راه حل، را در تابع جایگزین می کنیم. به هر حال، این یک تصمیم شرم آور آخر هفته است.

بیایید به تراز نگاه کنیم:
(1)

کروک 1

راه حل شوکاشمو تراز یکنواخت:

قیمت برابر با تغییرات تقسیم شده است

تقسیم تغییر - ضرب در dx، تقسیم بر y:

قابل ادغام:

انتگرال بر روی جدول y:

تودی

به طور بالقوه:

ثابت e C را با C جایگزین کنید و علامت مدول را که می توان در ثابت ضرب کرد حذف کنید ± 1، yaku شامل C است:

Krok 2 پست C را با تابع جایگزین کنید

حالا ثابت C را با تابع x جایگزین می کنیم:
c → u (ایکس)
توبتو، شوکاتیمو تصمیم آخر هفته (1) در دید:
(2)
ما می دانیم که من می روم.

طبق قانون تمایز توابع تاشو:
.
پشت قاعده تمایز، خلقت است:

.
در آخر هفته ارائه شد (1) :
(1) ;

.
دو دیک عجله دارند:
;
.
قابل ادغام:
.
ارائه شده در (2) :
.
در نتیجه، معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول را با وسواس حل می کنیم:
.

لب به لب توسعه یک هم ترازی دیفرانسیل خطی مرتبه اول با روش لاگرانژ

ویریشیتی ریونیانیا

راه حل

Virishuemo به طور یکنواخت برابر است:

تغییرات را به اشتراک می گذاریم:

بیایید ضرب کنیم:

قابل ادغام:

انتگرال های جدول:

به طور بالقوه:

e C را با C جایگزین کنید و علائم ماژول را حذف کنید:

Zvіdsi:

اجازه دهید ثابت C را با تابع x جایگزین کنیم:
c → u (ایکس)

می دانیم که می روم:
.
ارائه شده در خروجی برابر است:
;
;
آبو:
;
.
قابل ادغام:
;
Virishennya rivnyannia:
.

روش تنوع prevіlnyh سریع

روش تغییر زمان کافی برای القای ایجاد یک هم ترازی دیفرانسیل خطی غیر یکنواخت

آ n (تی)z (n) (تی) + آ n − 1 (تی)z (n − 1) (تی) + ... + آ 1 (تی)z"(تی) + آ 0 (تی)z(تی) = f(تی)

polagaє در جایگزینی روزه prevіlnyh ج کبرای یک راه حل عمیق

z(تی) = ج 1 z 1 (تی) + ج 2 z 2 (تی) + ... + ج n z n (تی)

تراز یکنواخت یکنواخت

آ n (تی)z (n) (تی) + آ n − 1 (تی)z (n − 1) (تی) + ... + آ 1 (تی)z"(تی) + آ 0 (تی)z(تی) = 0

برای توابع اضافی ج ک (تی) ، مشابه آنهایی که سیستم های خطی جبر را برآورده می کنند

تعیین کننده سیستم (1) توابع Wronskian است z 1 ,z 2 ,...,z n .

همانطور که برای اولین بار است، هنگام تثبیت مقادیر ثابت ادغام، سپس تابع گرفته می شود

راه حل های هم ترازی دیفرانسیل خطی غیر همگن به بیرون. ادغام یک هم ارزی ناهمگن برای تجلی یک روزویازانیا وحشی از یک هم ارزی مشابه، در چنین رتبه ای، به ربع ها ساخته می شود.

روش تغییر ثابت های کافی برای تحریک حل سیستم معادلات دیفرانسیل خطی به صورت بردار نرمال

قسم به یک تصمیم خصوصی (1) با نگاه کردن

de ز(تی) - اساس rozv'azkіv vіdpovіdnogo odnorodnogo іvnyannja، ماتریس y vglyadі و تابع برداری که جایگزین بردار prevіlnyh postіynyh شده است، به spіvvіdnennyam اختصاص داده شده است. راه حل خصوصی شوکان (با مقادیر لپه صفر در تی = تی 0 ممکن است به نظر برسد