Е, услуги за матрица на решения онлайн:

Услугата матричен робот ви позволява да преглеждате елементарни матрични трансформации.
Ако имате дизайн с по-сложна трансформация, тогава тази услуга ще се използва като дизайнер.

дупето. Като се има предвид матрицата Аі б, трябва да знам ° С = А -1 * б + б T,

1. Трябва да разберете веднага гейт матрицаA1 = А-1, като използвате услугата за намиране на матрицата на портата;
2. След като намерихме матрицата A1виконаемо матрица за умножениеA2 = A1 * б, чрез ускоряване на услугата за умножаваща матрица;
3. Vikonajemo транспониране на матрицаA3 = б T (услуга за намиране на транспонирана матрица);
4. Оставам – знаем матрицата на сумите З = A2 + A3(Услуга от изчислителната матрица) - и премахваме отговора на отчетните решения!;

Tvir матрица

Тази онлайн услуга два кроки:

• Въведете първата матрица за умножение А
• Въведете друга множителна матрица или вектор-stovpets б

Умножение на матрица по вектор

Умножението на матрица по вектор може да се намери чрез бързо използване на услугата Възпроизвеждаща матрица
(На първия множител ще бъде дадена матрица, а на другия умножител ще бъде комбинацията, която се състои от елементите на вектора)

Тази онлайн услуга два кроки:

• Въведете матрица А, за което е необходимо да се знае въртящата матрица
• Вземете обратна връзка от докладваните решения, за да намерите гейт матрицата

Лидер на матрицата

Тази онлайн услуга един крок:

• Въведете матрица Аза което е необходимо да се знае знака на матрицата

Транспониране на матрица

Тук можете да приложите алгоритъма за транспониране на матрицата и да научите как сами да създавате такива проблеми.
Тази онлайн услуга един крок:

• Въведете матрица А, yaku изискват transponuvati

Ранг на матрицата

Тази онлайн услуга един крок:

• Въведете матрица А, за което е необходимо да придобиете ранг

Стойности на мощността на матрицата и векторите на мощността на матрицата

Тази онлайн услуга един крок:

• Въведете матрица А, за които е необходимо да се знаят векторите на мощността и стойностите на мощността (числа на мощността)

Надграждане на матрицата до стъпка

Тази онлайн услуга два кроки:

• Въведете матрица А, както го поставихте на сцената
• Въведете цяло число р- стъпка

Линейна алгебра 1

Матрица 1

Операции с матрици 2

Вторична матрица 6

Матрица на шлюза 13

Ранг на матрицата 16

Линейна независимост 21

системи линейни нива 24

Методи за отделяне на системи с линейно ниво 27

Метод на матрицата за връщане 27

Метод за допълване на системи от линейни редове, използващи квадратна матрица, използвайки формулите на Крамер 29

Метод на Гаус (метод за последователно изключване на променливи) 31

Матрица на линейната алгебра

Матрицаразмери xn - това е ясна таблица с числа за поместване на ред инсталации. Числата, които образуват матрицата, се наричат ​​матрични елементи.

Обичайно е матриците да се обозначават с големи латински букви, а елементите със същите или дори по-малки букви с усъвършенствано индексиране.

Например, нека разгледаме матрица A с размери 2 x 3:

Тази матрица има два реда (m=2) и три колони (n=3), тогава. Състои се от шест елемента a ij, de - номер на ред, j - номер на колона. В този случай стойностите се увеличават от 1 на 2 и от едно на три (записани
). И себе си, 11 = 3; 12 = 0; 13 = -1; 21 = 0; 22 = 1,5; 23 = 5.

Извикват се матрици A и B с еднакъв размер (mxn). равенАко миризмата постепенно изчезне, тогава... a ij = b ij за
, тогава. за be-yak (можете да напишете i, j).

Матрица-ред- това е матрица, която се състои от един ред и матрица-stovpets- Това е матрица, която се състои от един елемент.

Например,
- матрица-ред, и
.

Квадратна матрица n-ти ред - това е матрица, до редове, равни на броя на колоните и равни на n.

Например,
- Квадратна матрица от различен ред.

Диагоналматричните елементи са вериги от елементи, чийто номер на ред е равен на номера на колоната (a ij, i = j). Тези елементи създават диагонал на главатаматрици. На предния приклад диагоналът на главата се регулира от елементите a 11 = 3 и a 22 = 5.

Диагонална матрица- Това е квадратна матрица, в която всички недиагонални елементи са равни на нула. Например,
- Диагонална матрица от трети ред. Когато всички диагонални елементи са равни на единица, тогава се извиква матрицата единичен(Зазвичай се обозначава с буквата Е). Например,
- Самостоятелна матрица от трети ред.

Матрицата се нарича нулевтъй като всички тези елементи са равни на нула.

Квадратната матрица се нарича трикожнотъй като всички елементи по-ниски (или по-високи) от диагонала на главата достигат нула. Например,
- Трикутна матрица от трети ред.

Операции с матрици

Върху матрици могат да се извършват следните операции:

1. Умножение на матрица по число. Добавянето на матрица A към число се нарича матрица B = A, чиито елементи са b ij = a ij за каквото и да е.

Например, предполагам
, Че
.

2. Добавена матрица. Сумата от две матрици A и еднакъв размер m x n се нарича матрица C = A + B, чиито елементи са ij = a ij + b ij за i, j.

Например, предполагам
Че

.

Важно е, че чрез форвардни операции е възможно да се определи видима матрицаобаче нов размер: разлика A-B= A + (-1) * St.

3. Възпроизвеждаща матрица. Добавянето на матрица A с размер mxn към матрица с размер nxp се нарича такава матрица C, чийто скин елемент е свързан с общото количество креативност елементи i-тиТогава редовете на матрицата A са подчинените елементи на колоната на матрицата.
.

Например, предполагам

, тогава размерът на създадената матрица ще бъде 2 x 3 и ще изглежда така:

В този случай матрицата A се нарича тясна матрица.

Въз основа на операцията за умножение за квадратни матрици, операцията сграда при стъпалата. Положителна стъпка A m (m > 1) на квадратна матрица A се нарича матрица, равна на A, тогава.

Трябва да се отбележи, че добавената и умножена матрица не е предназначена за произволни две матрици, а само за тези, които удовлетворяват до техния размер. За да намерите разликата, матрицата и нейният размер трябва да останат същите. За да се намери матрица, броят на редовете на първата може да бъде равен на броя на редовете на другата (такива матрици се наричат usgodzhenimi).

Нека разгледаме силата на операциите, подобно на силата на операциите с числа.

1) Комутативен (изместващ) закон на сгъване:

A + B = B + A

2) Асоциативен (успешен) закон на сгъване:

(A + B) + C = A + (B + C)

3) Разпределителен (разпределителен) закон за умножение преди добавяне:

(A + B) = A +B

A(B+C) = AB+AC

(A + B) C = AC + BC

5) Асоциативен (успешен) закон за умножение:

(AB) = (A)B = A(B)

A(BC) = (AB)C

Важно е да се отбележи, че тогава законът за умножение на изместване за матрицата НЕ се изкривява. AB BA. Освен това от основата AB не е задължително да произтича от основата BA (матриците може да не са подходящи и техните допълнения не са посочени, тъй като приложената част има множествена матрица). Ако създадете негодувание, това ще предизвика касапница.

В допълнение, комутативният закон гласи, че добавянето на всяка квадратна матрица A към единична матрица от същия ред и това добавяне е равно на A (умножаването по единична матрица тук е подобно на умножаването по едно, когато се умножават числа):

AE = EA = A

Вярно,

Нека добавим още един аспект на умножителната матрица към умножението на числа. Допълнително число може да бъде равно на нула или повече, ако искате едно от тях да е равно на нула. За матриците е невъзможно да се каже нещо. Към нулевите матрици могат да се добавят допълнителни ненулеви матрици. Например,

Нека продължим с разглеждането на операциите върху матрици.

4. Транспониране на матрицае операция на преход от матрица A с размер mxn към матрица A T с размер nxm, в която редовете и колоните се разменят:

%.

Силата на операцията за транспониране:

1) От стойността на следата, когато матрицата се транспонира с две, се обръщаме към изходната матрица: (AT) T = A.

2) Постоянният множител може да бъде поставен зад знака за транспозиция: (A) ​​​​T =A T .

3) Транспониране на разпределително умножената и добавена матрица: (AB) T =B T A T i (A+B) T =B T +AT .

>> Матрица

4.1.Матрица. Операции с матрици

Правоъгълна матрица с размер mxn е колекция от mxn числа, подредени в правоъгълна таблица, за да побере редове от m и n реда. Ние ще го запишем според вашето виждане

или съкратено да изглежда като A = (a i j) (i = ; j = ), числата a i j се наричат ​​нейни елементи; Първият индекс показва номера на реда, а другият – номера на колоната. A = (a i j) и B = (b i j) с еднакъв размер се наричат ​​равни, тъй като техните елементи са равни по двойки и стоят на едни и същи места, тогава A = B, защото a i j = b i j.

Матрица, която се състои от един ред или една колона, се нарича вектор на ред или колона. Векторите на стека и векторите на редовете се наричат ​​просто вектори.

Матрица, съставена от едно число, се отразява от друго число. В размер mxn всички елементи, които са по-големи от нула, се наричат ​​нула и се обозначават с 0. Елементите с еднакви индекси се наричат ​​елементи на диагонала на главата. Ако броят на редовете е равен на броя на разделянията, тогава m = n, тогава матрицата се нарича квадрат от порядък n. Квадратни матрици, които имат нула елементи и нямат елементи от диагонала на главата, се наричат ​​диагонални и се записват по следния начин:

.

Ако всички елементи на a i i имат диагонали, равни на 1, тогава той се нарича единичен и се обозначава с буквата E:

.

Квадратната матрица се нарича трикатна, защото всички елементи, които са по-високи (или по-ниски) от диагонала на главата, са равни на нула. Транспонирането се нарича обръщане, при което редове и колони се заместват с техните номера. Транспонирането се обозначава с иконата T в горната част.

Ако в (4.1) пренаредим редовете с колони, тогава премахваме

,

Тъй като A. Zokrem се транспонира точно, когато се транспонира вектор-серията, резултатът е вектор-ред и то същото.

Добавката A число b е матрица, чиито елементи идват от съответните елементи A и умножава числото b: b A = (b a i j).

Сумата A = (a i j) и B = (b i j) от един размер се нарича C = (c i j) от същия размер, чиито елементи са обозначени с формулата c i j = a i j + b i j.

Добавянето на AB се определя от броя на редовете A, равен на броя на редовете Y.

Добавянето на AB, където A = (a i j) и B = (b j k), където i = , j = , k = , присвоено на присвоения ред AB, се нарича C = (c i k), чиито елементи са присвоени на следното правило:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)

В противен случай, привидно, елементът на създаване AB е обозначен в следния ред: елементът на i-тия ред и k-тата колона е същият като сумата от творенията на елементите на i-тия ред A на подчинените елементи на k-тата колона B.

дупе 2.1. Намерете допълнителни бутилки AB i.

Решение. Maemo: A размер 2x3, размер 3x3, след това добавете AB = C main и елементи C level

3 11 = 1 × 1 + 2 × 2 + 1 × 3 = 8, 21 = 3 × 1 + 1 × 2 + 0 × 3 = 5, 1 2 = 1 × 2 + 2 × 0 + 1 × 5 = 7,

z 22 = 3×2 + 1×0 + 0×5 = 6, z 13 = 1×3 + 2×1 + 1×4 = 9, z 23 = 3×3 + 1×1 + 0×4 = 10 .

и TV BA не спи.

дупе 2.2. Таблицата показва брой единици продукти, които ежедневно се рекламират от мандри 1 и 2 до магазини M 1, M 2 и M 3, а доставката на един продукт от млекопреработвателно предприятие до магазин M 1 струва 50 дни. од., до магазин М 2 - 70, и М 3 - 130 ден. од. Защитете разходите за транспорт до завода за кожа.

Млекопреработвателно предприятие

Решение. Значително чрез А матрицата ни се дава за нашето разбиране и чрез
B - матрица, която характеризира скоростта на доставка на единица преработени продукти до магазините, след това,

,

Todi matrix vitrat за транспортиран matime изглед:

.

Е, първият завод в момента харчи 4750 гроша за транспорт. едно, друго - 3680 ден.

дупе 2.3. Шивашката промишленост произвежда зимни палта, демисезонни палта и дъждобрани. Планираното освобождаване за десетилетие се характеризира с вектора X = (10, 15, 23). Произвеждат се няколко вида платове: Т1, Т2, Т3, Т4. Таблицата показва нормите за изхабен плат (метри) на кожа. Вектор C = (40, 35, 24, 16) показва разнообразието на метър тъкан от типа кожа, а вектор P = (5, 3, 2, 2) - разнообразието на транспортирания метър тъкан на кожата Тип.

	Текстил Vitrata
Зимно палто
Демисезонно палто

1. Колко метра тъкан се нуждае от тип кожа за викториански план?

2. Знайте стойността на тъканта, която се използва за шиене на кожата.

3. Проверете качеството на всички тъкани, необходими за дизайна.

Решение. Значително чрез А матрицата, дадена ни за разбиране, тогава,

,

За да намерите броя на метри плат, необходими за чертане на план, трябва да умножите вектор X по матрица A:

Количеството плат, което се изразходва за шиене на тип кожа, може да се намери чрез умножаване на матрицата A и вектора C T:

.

Качеството на всички тъкани, необходими за изработване на план, се определя по следната формула:

Съгласно правилата за транспортни разходи, цялата сума на скъпия текстил е 9472 den. од., плюс стойност

X A P T =
.

Otzhe, X A C T + X A P T = 9472 + 1037 = 10509 (ден. од.).

Матриците в математиката са един от най-важните обекти и имат практическо значение. Често екскурзията до теорията на матрицата започва с думите: „Матрицата е ясна таблица...“. Нека да разгледаме по-отблизо тази екскурзия от друга страна.

Телефонните указатели с всякакъв размер и с произволен брой данни за абоната не са нищо повече от матрици. Такива матрици изглеждат по следния начин:

Ясно е, че ние използваме такива матрици почти всеки ден. Тези матрици се доставят с различен брой редове (те варират в зависимост от изданията на телефонната компания на телефонната компания), които могат да съдържат хиляди, стотици хиляди или милиони редове и за вас ще бъде отпечатан нов бележник, в който има по-малко от десет реда) и stovpts (представител на гражданите) организация, в която може да има елементи като място за сядане и номер на офиса и вашия бележник, където може да няма релевантни данни освен името, и по този начин има има само два елемента в него - име и телефон).

Дори и всякакви матрици да могат да се сгъват и умножават, както и да се извършват други операции върху тях, няма нужда да се сгъват и умножават телефонни номера, които нямат стойност, преди да могат да бъдат избледнели.

Матрицата обаче може и трябва да се сгъва и умножава и добавя по този начин към различни неща. Насочете задниците на такива матрици по-ниско.

Матрици, в които колоните са производството на единици продукти от този или друг тип, а редовете са редовете, в които се извършва производството на тези продукти:

Можете да добавите матрици от този тип, в които е осигурено производството на подобни продукти от различни предприятия, за да съберете общите данни от галуса.

Или матрици, които се формират например от една колона, в кои редове - средната консистенция на един или друг вид продукт:

Матриците на двата останали вида могат да се умножават, като резултатите ще бъдат матрица-ред, което осигурява консистенцията на всички видове продукти зад скалите.

Матрици, основни значения

Правоъгълна таблица, която се състои от числа, подредени в мредове и редове нсто процента, т.нар mn-матрица (или просто матрица ) и написано така:

(1)

В матрица (1) числата се наричат ​​ней елементи (както в първия индекс, първият индекс означава номера на реда, а другият - колоната, на която стои елементът; аз = 1, 2, ..., м; й = 1, 2, н).

Матрицата се нарича права кройка yakscho

добре м = н, тогава се извиква матрицата квадрат , А числото n е нейното в ред .

Вторично спрямо квадратната матрица A се нарича първична фигура, чиито елементи са елементите на матрицата А. Vín означава символ | А|.

Квадратната матрица се нарича не особено (или недокоснат , неединствен ), тъй като неговата основна не е равна на нула, тогава специален (или вироген , единствено число ), тъй като неговият произход е равен на нула.

Матриците се наричат равен обаче се избягват много редове и колони и всички свързани елементи.

Матрицата се нарича нулев , Тъй като всички тези елементи са равни на нула. Нулевата матрица е значима чрез символ 0 или .

Например,

Матрица-ред (или малък ) се нарича 1 н-матрица и матрица матрица (или стовпцевий ) – м 1-матрица.

Матрица А"как да изляза от матрицата Ачрез замяна на редове и колони в него, което се нарича транспониран матрица шодо А. По този начин, за транспонирана матрица (1), матрицата

Операция за преход към матрица А", транспониран в матрицата Асе нарича матрично транспониране А. За мн-матрица транспонирана є nm- матрица.

Транспонираната матрица е матрица А, тогава

(А")" = А .

дупе 1.Познайте матрицата А", транспониран в матрицата

И разберете какви са равните стойности на изходната и транспонираната матрица.

Диагонал на главата Квадратна матрица се нарича ясна линия, която свързва нейните елементи, които имат еднакви индекси. Тези елементи се наричат диагонал .

Нарича се квадратна матрица, за която всички елементи на диагонала на главата са равни на нула диагонал . Не е необходимо всички диагонални елементи на диагоналната матрица да са нула. Сред тях може да бъде равно на нула.

Квадратна матрица, в която всеки елемент от диагонала на главата е равен на едно и също число, равно на нула, а всички останали елементи са равни на нула, се нарича скаларна матрица .

От самотна матрица се нарича диагонална матрица, тъй като всички диагонални елементи са равни на единица. Например матрица за идентичност от трети ред е матрицата

дупе 2.Матрични данни:

Решение. Можем да преброим променливите, дадени от матрицата. Въз основа на правилото на trikutniks, ние знаем

Лидер на матрицата бможе да се изчисли с помощта на формулата

Лесно се премахва

Е, матрици А i - неединично (недевствено, неединично) и матрицата б- Особено (вироген, единствено число).

Произходът на единичната матрица, независимо в какъв ред, е очевидно древен.

Създайте самостоятелно задачите си върху матрицата и след това прегледайте решенията си

дупе 3.Като се има предвид матрицата

,

,

Установете, че те са неединични (неродови, неединични).

Формулиране на матрицата в математико-икономическия модел

Матрицата изглежда проста и структурираните данни за всеки даден обект се записват ръчно. Матричните модели са създадени, за да запазят тези структурирани данни и да подобрят различни задачи, използвайки тези методи на линейната алгебра.

Така матричният модел на икономиката се основава на модела „оттегляне-изход“, предложен от американския икономист от руски произход Василий Леонтьев. Този модел произтича от предположението, че целият индустриален сектор на икономиката е разделен на нчисти галузи. Кожата с галус произвежда продукти от повече от един тип, а различните галуси произвеждат различни продукти. Чрез този процес възникват интер-галусни връзки, което означава, че част от продукцията на кожните жлези се прехвърля към други галуси като ресурс за производство.

Относно продуктите аз- í galuzі (vymiryuvannya песен единица vymiryuvannya), която е събрана през зимния период, се обозначава чрез и се нарича ново издание аз- и галуси. Изводите трябва да се поставят ръчно н-компонентен ред на матрицата

Брой продуктови единици аз- и галузи, които трябва да се харчат й- като коефициент на преки инвестиции се обозначават изискванията за производство на един от неговите продукти.

Матрица A -1 се нарича гейт матрица по отношение на матрица A, тъй като A * A -1 = E и E е матрица на идентичност от n-ти ред. Гейт матрицата може да се използва и за квадратни матрици.

Възлагане на услугата. В допълнение към тази услуга в онлайн режим можете да разберете допълненията на алгебрата, транспонираната матрица A T, съюзническата матрица и матрицата на навиване. Решението ще бъде взето директно на сайта (онлайн) и без разходи. Резултатите се изчисляват във формат Word и Excel (това ви позволява да проверите решенията). див. дизайн на задника.

Инструкции. За да получите решение, трябва да зададете размера на матрицата. След това попълнете матрица A в новия диалогов прозорец.

Размер на матрицата 2 3 4 5 6 7 8 9 10

също и матрицата на Gate, използваща метода на Jordano-Gauss

Алгоритъм за намиране на гейт матрицата

1. Стойност на транспонираната матрица A T .
2. Стойности на добавките към алгебрата. Заменете елемента на матрицата с добавяне на алгебра.
3. Сгъване на матрицата за връщане с добавяне на алгебра: елементът на кожата на премахнатата матрица се разделя на източника на изходната матрица. Резултатната матрица е гейт матрицата за изходната матрица.

обидно алгоритъм за намиране на гейт матрицатаподобно на първата стъпка: първо се изчисляват алгебричните добавки и след това се изчислява свързаната матрица C.

1. Това означава, че чи е квадратна матрица. Ако не, тогава гейт матрицата не работи.
2. Изчисляване на първичната матрица A. Ако стойностите не са равни на нула, решението продължава, в противен случай матрицата не работи.
3. Стойности на добавките към алгебрата.
4. Попълване на обединителната (взаимна, присъединена) матрица C .
5. Сгъване на матрицата за връщане с добавяне на алгебра: елементът на кожата на добавената матрица C се разделя на източника на изходната матрица. Резултатната матрица е гейт матрицата за изходната матрица.
6. Извършете обръщане: умножете изхода и матрицата. В резултат на това матрицата е виновна.

Пример #1. Нека напишем матрицата, както следва:

Алгебрични допълнения.

A 1,1 = (-1) 1+1

-1 -2 5 4

∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

A 1,2 = (-1) 1+2

2 -2 -2 4

∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

A 1,3 = (-1) 1+3

2 -1 -2 5

∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

A 2,1 = (-1) 2+1

2 3 5 4

∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7

A 2,2 = (-1) 2+2

-1 3 -2 4

∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

A 2,3 = (-1) 2+3

-1 2 -2 5

∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

A 3,1 = (-1) 3+1

2 3 -1 -2

∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

A 3,2 = (-1) 3+2

-1 3 2 -2

∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

A 3,3 = (-1) 3+3

-1 2 2 -1

∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Тоди гейт матрицаможе да се запише като:

А -1 = 1/10

6 -4 8 7 2 1 -1 4 -3

А -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Друг алгоритъм за намиране на гейт матрицата

Нека начертаем друга диаграма за намиране на гейт матрицата.

1. Ние знаем произхода на квадратната матрица A.
2. Познаваме алгебричните добавки към всички елементи на матрицата A.
3. Пишем добавки към алгебрата на елементи от редове в колони (транспониране).
4. Разделяме скин елемента на отстранената матрица на оригиналната матрица A.

В интерес на истината операцията по транспониране може да се извърши както първоначално върху изходната матрица, така и накрая върху премахнатите алгебрични добавки.

Специален епизод: Обратимо, по отношение на единична матрица E е единична матрица E .